144
10.5. Выборочный коэффициент корреляции
Умножим обе части равенства (10.8) на дробь σ |
x /σ |
y |
и обозначим |
||||||
полученное выражение через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
= |
|
|
− xy . |
|
||
r = ρ |
x |
xy |
(10.9) |
||||||
в |
y/ x σ |
y |
|
σ |
σ |
|
|
||
|
|
|
|
x y |
|
||||
Величина rв называется выборочным (эмпирическим) коэффици-
ентом корреляции и применяется в статистике в качестве точечной оцен-
ки теоретического коэффициента корреляции |
r = |
M(xy)− M(x)M(y) при |
|
|
σxσ y |
ограниченном объеме опытных данных.
Выборочный коэффициент корреляции является мерой тесноты линейной корреляционной зависимости между случайными величинами X и Y.
Из (10.9) следует, что
ρ |
y/ x |
= r |
σ |
y |
. |
(10.10) |
|
|
|||||
|
в σ |
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
Поэтому уравнение линейной среднеквадратической зависимости Y от X можно записать в виде:
y − y = rв σ y (x − x)
σx
или в более симметричной форме
yσ−y y = rв xσ−x x .
Аналогично, выборочный коэффициент регрессии X на Y равен
ρ |
|
= r |
σ |
x |
, |
(10.11) |
|
x / y |
в σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
а уравнение регрессии X на Y записывается в виде
145
|
|
x − x = r |
σ |
x |
(y − y) |
или |
|
x − x |
= r |
y − y |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
в σ |
y |
|
|
|
|
|
σ |
x |
в |
σ |
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из |
(10.10), (10.11) следует, что знак rв |
совпадает со знаками коэф- |
|||||||||||||
фициентов |
регрессии. Но |
|
так |
как |
регрессии |
одного знака, то |
|||||||||
ρy / x ρx / y |
> 0 |
и поэтому rв = ± |
|
, то есть выборочный коэфф и- |
|||||||||||
ρy / x ρx / y |
|||||||||||||||
циент корреляции равен среднему геометрическому из коэффициентов регрессии и имеет знак последних.
Свойства коэффициента корреляции
1. Если между величинами X и Y существует линейная функциональная связь
|
|
|
y = a x + в |
|
|
|
|
(a = ρy / x ≥ 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
то rв = ±1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
2 |
= |
|
− y2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Действительно, |
|
|
r = |
ρ |
|
|
|
x |
|
, |
|
σ |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
в |
|
|
y/ x σ |
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
|
= a2 |
|
|
+ 2aвx + в2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(ax + в)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Но |
|
|
|
y2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|||||||||||||||||||||||||
y2 = (ax + в)2 = a2 x 2 + 2aвx + в2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Cледовательно, |
σ y = a |
|
(x |
|
|
− x |
|
)= a σx |
и |
rв |
= a |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= ±1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
σ |
x |
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Равенство |
rв = ±1 является необходимым и достаточным условием |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ли-нейной функциональной связи между величинами Х и У. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Чем больше угол между линиями регрессии |
У на Х и |
|
|
Х на У, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тем меньше rв. |
Это наглядно иллюстрируется рисунком. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
146
Очевидно, |
ρy / x = tgα, |
1/ ρy / x = tgβ, |
|
следовательно, |
||||
|
tgϕ = tg(β −α)= |
1/ ρx / y − ρy / x |
|
1 |
− r2 |
|
||
|
|
|
|
= |
|
в |
. |
|
|
1+ ρy / x / ρx / y |
ρx / y + ρy / x |
||||||
|
|
|
|
|||||
Итак, с уменьшением rв увеличивается tgϕ. |
|
|
|
|
||||
При ϕ = 0 |
ρy / x =1/ ρx / y , |
rв = ±1, и л инии регрессии совпадают |
||||||
между собой и с прямой линейной функциональной зависимости.
3. При rв = 0 отсутствует линейная корреляционная зависимость между X и Y. Отметим, что при этом может существовать нелинейная связь между X и Y (корреляционная или функциональная).
4. Если коэффициент корреляции rв определен по выборке объема n из неограниченной генеральной совокупности, то можно считать коэффициент корреляции генеральной совокупности приближенно равным rв. При этом средняя квадратичная ошибка будет равна
σr =1−nrв2 .
При достаточно большом n (практически при n > 50) для оценки коэффициента корреляции нормально распределенной генеральной совокупности можно пользоваться формулой (rв − 3σr ≤ r ≤ rв + 3σr ).
10.6. Методика вычисления rв и построения линии регрессии
Методику вычислений rв рассмотрим на конкретном примере. Пример. Результаты измерений угловых колебаний ведущего моста
автомобиля X и угловых колебаний подрессоренной массы (галопирование) Y сведены в корреляционную таблицу 14. Найти уравнение линейной среднеквадратической регрессии Y на X, установить тесноту связи между признаками. Для каждого интервала значений X вычислить фактические значения условных средних yi и их значения по уравнению регрессии.
Расчет может быть значительно упрощен, если перейти от величин X и Y к условным вариантам по формулам
147
|
|
|
|
u j = |
x j − C1 |
, |
vi = |
y |
i |
− C |
2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
h1 |
|
|
h2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Легко убедиться в том, что при этом |
|
|
|
|
|
|||||||||||
σ |
x = h1σ |
u , |
σ |
y = h2σ |
v , |
|
|
x = h1 |
u |
+ C1, |
|
y = h2v + C2 , |
||||
xy = h1h2 uv + C2h1u + C1h2v + C1C2.
Поэтому выборочный коэффициент корреляции rв в новых обозначениях не меняется по величине и будет равен
rв = uv − u v .
Трудоемкость расчета связана с вычислением uv. Для составления корреляционной таблицы в условных вариантах добавим к исходной корреляционной таблице (поле которой выделено толстыми линиями) дополнитель-
ные строки u j , ∑nuvvi , |
u j ∑nuvvi |
и столбцы |
vi , |
∑nuvu j , |
vi ∑nuvu j . |
|||||
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
j |
j |
В качестве ложного нуля |
С1 |
для |
X примем находящуюся примерно в се- |
|||||||
редине вариационного ряда для |
X |
величину |
C =15 10−3 , |
аналогично |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
принимаем С |
2 |
=13,2 10 |
−3. |
Шаг |
|
h |
(k =1,2) |
равен разности между |
||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
двумя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соседними вариантами: |
h1 = 6, h2 = 5,6. |
Легко показать, что суммы эле- |
||||||||
ментов нижней строки и правого столбца равны между собой:
∑u j ∑nuvvi = ∑vi ∑nuvu j = nuv.
j |
i |
i |
j |
nuv целесообразно вычислять по обеим формулам . Их совпадение должно свидетельствовать о правильности вычислений.
143
Таблица 14
|
|
u |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(-12)-(-6) |
(-6)-0 |
0-6 |
6-12 |
12-18 |
18-24 |
24-30 |
30-36 |
|
|
|
V |
y 103 |
x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ny = nv |
∑nuvu j |
vi ∑nuvu j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
-9 |
-3 |
3 |
9 |
15 |
21 |
27 |
33 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
-12 – (-6,4) |
-9,2 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
3 |
4 |
-16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
-6,4 – (-0,8) |
-3,6 |
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
6 |
5 |
-15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
-0,8 – 4,8 |
2,0 |
|
|
1 |
1 |
3 |
6 |
2 |
|
13 |
7 |
-14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
4,8 – 10,4 |
7,6 |
|
1 |
2 |
2 |
4 |
5 |
|
|
14 |
-4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
10,4 – 16,0 |
13,2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
5 |
|
1 |
16 |
-6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
16,0 – 21,6 |
18,8 |
1 |
1 |
3 |
5 |
5 |
4 |
1 |
|
20 |
-12 |
-12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
21,6 – 27,2 |
24,4 |
|
3 |
6 |
7 |
2 |
2 |
1 |
1 |
22 |
-21 |
-42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
27,2 – 32,8 |
30,0 |
2 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
6 |
-10 |
-30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx = nu |
|
4 |
6 |
14 |
22 |
18 |
28 |
5 |
3 |
100 |
|
|
|
∑nuvvi |
|
7 |
6 |
11 |
21 |
-4 |
-23 |
-5 |
-1 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u j ∑nuvvi |
|
-28 |
-18 |
-22 |
-21 |
0 |
-23 |
-10 |
-3 |
|
|
-125 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величины u,v,σu ,σv при большом числе наблюдений подсчитываются методом произведений, а при сравнительно малом числе наблюдений - непосредственно, исходя из определения этих величин по формулам:
|
|
|
|
|
∑u j nu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u |
= |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
= (−4) 4 + (−3) 6 + (−2) 14 + (−1) 22 +1 28 + 2 5+ 3 3 = −0,37, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∑vi nv |
|
|
|
|
(−4) 3 + (−3) 6 + (−2) |
13+ (−1) 14 +1 20 + 2 22 + 3 6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
v = |
i |
|
|
|
|
|
|
= |
= 0,12, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
∑u2j nu = 2,71, |
|
|
|
|
|
= |
1∑vi2nv = 3,30, |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 |
|
v |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1,60; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− v 2 = |
|
|
|
=1,81. |
|||||
σ |
u |
= |
|
|
u2 |
− |
u |
|
2,71− (−0,37)2 |
|
|
σ |
v |
= |
|
|
v2 |
3,30 − 0,122 |
||||||||||||||||||||||||||||
Искомый коэффициент корреляции равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
u |
v = −1,25− (−0,37) 0,12 = −0,416. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= |
uv |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,60 1,81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σuσv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Возвращаясь к старым переменным, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = h u + C =[6(−0,37) +15] 10−3 =12,78 10−3 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
= (5,6 0,12 +13,2) 10−3 =13,87 10−3 , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = h v + C |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
σ |
x |
= h σ |
u |
= 6 1,60 10−3 = 9,60 10−3; |
σ |
y |
= h σ |
v |
|
= 5,6 1,81 10−3 |
=10,14 10−3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Приближенное (теоретическое) уравнение линейной регрессии примет вид
y −13,87 10 |
−3 = −0,416 |
10,14 |
10−3 |
(x −12,78 10−3 ) |
|
|
|
9,6 |
10−3 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
или окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
y = −0,44x +19,49 10−3. |
(10.12) |
||||
Фактические значения условных средних, вычисленные по данным корреляционной таблицы, равны:
yx=−9 =13,2 +184,8 + 2 30 = 23,
|
145 |
|
yx=−3 = 7,6 +13,2 +18,8 + 3 24,4 =18,8. |
||
|
6 |
|
Аналогично |
|
|
yx=3 =17,6, |
yx=9 =18,55, |
yx=15 =13,62, |
yx=21 =8,6, |
yx=27 = 7,6, |
yx=33 =11,33. |
Эти значения, а также условные средние, найденные по уравнению регрессии (10.12) при x = x j , приведены ниже в таблице 15:
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-9 |
-3 |
3 |
9 |
15 |
21 |
27 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По данным кор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
реляционной |
23 |
18,80 |
17,6 |
18,55 |
13,62 |
8,60 |
7,60 |
11,33 |
|
таблицы |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По уравнению |
23,45 |
20,81 |
18,17 |
15,53 |
12,89 |
10,25 |
7,61 |
4,97 |
|
регрессии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из таблицы, согласование фактически наблюдавшихся и расчетных условных средних удовлетворительное.
Эмпирическая и приближенная (теоретическая) линии регрессии Y на X показаны на рисунке.