131

Можно также сравнить наблюдаемые значения критерия χq2 с, так назы-

ваемыми, критическими точками распределения χкр2 : если χq2 < χкр2 - нет оснований отвергать гипотезу, если χq2 > χкр2 - принятую гипотезу отвер-

гают (см. Приложение 5).

Пример. Произведено 250 измерений с точностью до 1мк диаметра валиков, обработанных на токарном автомате. В таблице 8 приведены отклонения Х от номинального размера, разбитые на интервалы по 5 мк в каждом, и числа деталей ni , попадающих в указанные интервалы. Проверить статистическую гипотезу о нормальном распределении признака Х в

1.По данным выборки методом произведений найдем оценки генеральной средней и генеральной дисперсии:

Теоретические частоты для предполагаемого нормального распределения определяются по формуле

ui = xi − xв . Вычисления сведем в таблицу 9.

σв

132

133

При числе степеней свободы K = S – 3 = 2 и уровне значимости 0,05 по таблице Приложения 5 находим χкр2 = 6. Так как наблюдаемое значение критерия χq2 =1,24 меньше χкр2 = 6, гипотеза о соответствии данных

наблюдений нормальному закону распределения признака в генеральной совокупности не опровергается.

Замечание. При применении критерия χ2 Пирсона необходимо, чтобы как общее число значений признака n, так и числа наблюдений в

меньше установленного минимального значения, то один или несколько ближайших интервалов следует объединить. При этом соответственно уменьшится число степеней свободы k.

9.2. Критерий Колмогорова

В качестве меры расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями можно рассматривать максимум модуля разности между эмпирической и теоретической функциями распределения:

Dn = max F (x)− F(x).

А.Н.Колмогоровым было показано, что независимо от вида функции F(x) при неограниченном возрастании n (а практически при n не менее нескольких десятков) интегральная функция распределения случайной

Пусть, например, уровень значимости равен 0,01. Тогда, если

P(λn ≥ λ0 )> 0,01, то гипотеза о том, что Х имеет функцию распределения F(x), не противоречит опытным данным, и наоборот.

134

Критерий Колмогорова может быть использован также для решения вопроса о том, принадлежат ли две выборки объемов n1 и n2 одной генеральной совокупности.

При этом находят величину

распределения функцию K(λ) критерия Колмогорова.

Замечание. Достоинством критерия Колмогорова является его простота, а недостаток состоит в том, что его можно применять только, если предполагаемая теоретическая функция распределения F(x) полностью известна (то есть известен не только вид распределения, но и все входящие в него параметры).

Пример. Имеются две группы однородных деталей, изготовленных одним станком, по 60 штук в каждой. Результаты измерений длины Х после группировки данных приведены в таблице 11.

135

Проверить с помощью критерия Колмогорова гипотезу о том, что обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности.

1. Эмпирические функции распределения F1 (x) и F2 (x) для каждой из групп строятся как нарастающие суммы относительных частот (см. таблицу 11).

2. Максимум модуля разности между ними, как видно из таблицы

11, равен Dn1n2 = 0,1333.

3.Определив λ = Dn n n1n2 , где n1 = n2 = 60 и, следовательно,

1 2 n1 + n2

λ= 0,73, по таблице Приложения 6 для данного значения λ найдем

соответствующее значение вероятности P(λ)= 0,66089 > 0,01.

Следовательно, при уровне значимости 0,01 гипотеза о том, что обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, не опровергается.

136

10. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА

Как известно, если величины Х и У связаны между собой функциональной зависимостью, то зная значение одной величины, можно точно указать значение другой. В теории вероятностей и в математической статистике рассматривается другой, более общий тип зависимости между величинами, а именно, так называемая статистическая (вероятностная) зависимость.

Статистической называется зависимость между переменными величинами Х и У, при которой каждому значению одной величины Х соответ-ствует определенное распределение другой величины У, зависящее от того, какое значение приняла величина Х .

В частности, если при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, то такая статистическая зависимость называется

корреля-ционной.

Определение степени зависимости между случайными величинами по эмпирическим данным и является целью корреляционного анализа.

Для простоты будет рассмотрена зависимость между двумя случайными величинами. Если исследуется связь между несколькими случайными величинами, то говорят о множественной корреляции.

10.1. Корреляционная таблица

Пусть произведено достаточно большое число независимых опытов

обычно группируют и записывают в виде так называемой корреляционной таблицы.

Корреляционная таблица для двух переменных в общем случае имеет вид:

137

Таблица 12

В первой строке таблицы 12 указаны наблюдавшиеся значения случайной величины X,, в первом столбце – все наблюдавшиеся значения Y. Если число их велико, то каждый из интервалов, в котором заключены на-