2. Элементы комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, занимающийся решением задач, связанных с выбором и расположением элементов из некоторой совокупности.

В классической теории вероятностей комбинаторика, в основном, используется для выбора и подсчета числа комбинаций событий с идентичными свойствами. Кроме того, первоначально комбинаторика применялась для нахождения вероятностей событий, обладающих различного вида симметриями.

Пример 1. Сколько существует различных k - мерных векторов, координаты которых составлены из чисел множества А =  1, 2, ..., n .

Решение. Будем исходить из того, что два вектора считаются равными, если соответствующие координаты представлены одинаковыми цифрами, иначе  различные.

Число различных k -мерных векторов находим следующим образом.

Первой координатой может являться любое из n чисел множества А, второй - также любое из n чисел, то есть, для каждого фиксированного числа первой координаты имеем n вариантов для второй. Таким образом, всего имеем n  n = n² двумерных различных векторов, далее по индукции получаем, что всего различных k -мерных векторов будет n^k.

Пример 2. Сколько существует различных трехзначных чисел?

Решение. Всего цифр десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. На первом месте может быть любая цифра, кроме нуля, на втором и третьем месте любая из десяти цифр. Следовательно, всего различных чисел 9  10² = 900.

Пример 3. Сколько существует различныхk- мерных векторов, у которых числовые значения координат , взятых из множестваА=1, 2, ...,n, не повторяются.

Решение. Аналогично примеру 1, первой координатой может являться любая из n цифр множества А, второй - любая из оставшихся (n – 1) цифр, не совпадающей с первой, и т.д. Таким образом, получаем всего

различных векторов.

В частном случае, при k = n имеем различных векторов. Это число обозначается  (эн - факториал).

Замечание. Часто n! называют перестановками, так как n! количественно определяет число различных перестановок элементов, из которых они состоят. Например, число перестановок трехтомного собрания сочинений равно шести: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), где цифра означает номер тома.

Пример 4. Сколько существует различных k - мерных векторов, у которых числовые значения координат, взятых из множества А = 1, 2, ..., n, не только не повторяются, но и их координаты принадлежат различным подмножествам множества А. Напомним, что два множества считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом.

Решение. Пусть х – число таких k - мерных векторов. Возьмем один из них. Всего существует k! перестановок координат этого вектора. Умножая k! на х, получим число векторов, удовлетворяющих условию примера 3, но тогда

.

Отсюда искомое число векторов равно

,

или

.

Если k  n, то х = 0.

Каждый из примеров представляет собой достаточно распространенный способ выбора в комбинаторике.

Мы будем придерживаться «урновой» схемы: имеется сосуд, в котором находятся n тщательно перемешанных шаров различающихся только своими порядковыми номерами. Если из урны извлечено k шаров, то будем говорить, что имеем выборку объема k. Шары из урны извлекаются случайным образом, подобно лототрону, при этом извлечение шаров может осуществляться с возвращением или без возвращения.

При выборе с возвращением фиксируется номер шара, а сам он возвращается в урну; при выборе без возвращения - шар в урну не возвращается, то есть выборка не содержит повторяющихся шаров.

Итак, из урны последовательно извлекается k шаров. Сколько различных вариантов выборки объема k можно получить, если выбор осуществляется:

а) с возвращением, и порядок следования шаров в выборке важен. Число вариантов равно n^k . Этот способ называется простым случайным выбором, и соответствует примеру 1;

б) без возвращения, и порядок следования элементов в выборке важен. Число вариантов равно . Способ выбора называется размещениями. В соответствие с примером 3, имеем

,

при k  n, ;

в) без возвращения, порядок следования элементов в выборке не важен. Способ выбора называется сочетаниями, число вариантов равно и, в соответствие с примером 4, вычисляется по формуле:

,

при k  n  .

Рассмотрим несколько частных случаев, имеющих самостоятельное значение.

Определение. Выборкой объема k из n элементов с повторениями называется такая выборка, в которой любой из k ее элементов может повториться более одного раза.