- •В.А. Павский
- •Оглавление
- •Часть 1. Понятие случайного события и его вероятности……..9
- •Часть 2. Случайные величины и функции распределения…….52
- •Часть 3. Предельные теоремы…………………………………………….130
- •Часть 4. Элементы математической статистики………………..141
- •Введение
- •Часть 1. Понятие случайного события и его вероятности
- •Операции над событиями
- •Кроме того, если выполнено условие
- •Следствия из аксиом
- •Из определения сразу следует, что
- •Элементы комбинаторики
- •Пример 5. Сколько существует размещений с повторениями при выборкеkшаров изn?
- •1.3 Вычисление вероятностей событий
- •1.3.1 Классический метод вычисления вероятностей
- •Пример.Поnящикам случайно распределяютсяnшаров. Считая, что ящики и шары различимы, найти вероятности следующих событий:
- •1.3.2 Геометрический метод вычисления вероятностей
- •1.3.3 Статистическое определение вероятности
- •1.3.4 Условная вероятность
- •Произвольны, причем рв.
- •Формула (6) считается определением, ниоткуда не выводится и является отражением здравого смысла. Поясним это на примере геометрического изображения событий (рис. 3).
- •Теорема умножения.ПустьА,в,тогда
- •1.4 Формула полной вероятности и формула Байеса (Bayes) Формула полной вероятности
- •Применяя теорему умножения получим
- •Применяя (9), получим
- •Формула Байеса
- •Вероятности ,, называютапостериорнымивероятностями гипотезВk, поскольку оценка происходит после того, как событиеАпроизошло.
- •1.5 Независимые испытания
- •1.6 Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Функция - табулирована, ее значения приведены в табл. 4 приложения.
- •Сравнивая решение задачи п.1.5. А), б), можно предположить, что, так как – наивероятнейшее число, с большой вероятностью реализуется событие40k60, с центром в точкеk0:
- •1.8 Формула Пуассона
- •Часть 2. Случайные величины и функции распределения
- •Например, к дискретным случайным величинам относятся:
- •Свойства функции распределения.
- •Свойства плотности
- •Примеры основных распределений
- •2.1 Числовые характеристики случайных величин
- •2.1.1 Математическое ожидание, мода, медиана
- •Моменты
- •Свойства дисперсии
- •2.2 Вычисление числовых характеристик стандартных распределений
- •1. Биномиальное распределение.
- •Приложения нормального распределения
- •2.3 Функции от случайных величин
- •2.3.1 Функции от одного случайного аргумента
- •2.3.2 Многомерные случайные величины
- •2.3.3 Условные законы распределения
- •2.3.4 Моменты многомерных случайных величин
- •Свойства коэффициента корреляции
- •2.3.5 Случайные процессы
- •2.3.5.1 Марковские процессы
- •2.3.5.2 Непрерывные цепи Маркова
- •2.3.5.3 Потоки событий
- •2.3.6 Основы теории массового обслуживания
- •Часть 3. Предельные теоремы
- •Вместо (111), часто используют неравенство
- •3.1 Закон больших чисел
- •3.2 Центральные предельные теоремы
- •Часть 4. Элементы математической статистики
- •4.1 Оценка функций распределения
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •4.2 Точечные оценки неизвестных параметров законов распределения
- •Итак, пусть имеем выборку (122). Для оценки математического ожидания
- •4.3 Доверительный интервал
- •Окончательно
- •4.4 Проверка статистической однородности
- •Заключение
- •Обозначения
- •Приложение
- •Значения некоторых числовых величин
- •Продолжение таблицы 5
- •Продолжение таблицы 7
- •Библиографический список
Продолжение таблицы 7
n-1 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999 |
n-1 |
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
40 60 120
|
127 127 127 127 127
127 127 127 127 127
126 126 126 0,126 |
257 256 256 256 256
256 256 256 256 256
255 254 254 0,253 |
391 390 390 390 390
390 389 389 389 389
388 387 386 0,385 |
532 532 532 531 531
531 531 530 530 530
529 527 526 0,524 |
686 686 685 685 684
684 684 683 683 683
681 679 677 0,674 |
859 858 858 857 856
856 855 855 854 854
851 848 845 0,842 |
1,063 1,061 1,060 1,059 1,058
1,058 1,057 1,056 1,055 1,055
1,050 1,046 1,041 1,036 |
1,323 1,321 1,319 1,318 1,316
1,315 1,314 1,313 1,311 1,310
1,303 1,296 1,289 1,282 |
1,721 1,717 1,714 1,711 1,708
1,706 1,703 1,701 1,699 1,697
1,684 1,671 1,658 1,645 |
2,08 2,07 2,07 2,06 2,06
2,06 2,05 2,05 2,04 2,04
2,02 2,00 1,980 1,960 |
2,52 2,51 2,50 2,49 2,48
2,48 2,47 2,47 2,46 2,46
2,42 2,39 2,36 2,33 |
2,83 2,82 2,81 2,80 2,79
2,78 2,77 2,76 2,76 2,75
2,70 2,66 2,62 2,58 |
3,82 3,79 3,77 3,74 3,72
3,71 3,69 3,67 3,66 3,65
3,55 3,46 3,37 3,29 |
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
40 60 120
|
Библиографический список
1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии. - М.: Высшая школа, 1985. – 327 с.
2. Боровков А.А. Теория вероятностей, - М.: Наука, 1986. – 432с.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 2002. - 576 с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.
5. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. - М.: Наука, 1988. – 446с.
6. Карлин С. Основы теории случайных процессов. - М, «Мир», 1971.
7. Кафаров В.В., Дорохова И.Н., Арутюнов С.Ю. Системный анализ процессов химической технологии. – М.: Наука, 1985. – 440 с.
8. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. - М.: Машиностроение, 1979. – 432 с.
* Мы рассматриваем дискретное пространство, являющееся частным случаем более общего пространства элементарных событий. Для изучаемого курса теории вероятностей этого достаточно. Более общие случаи будем оговаривать особо.
* О независимости случайных величин смотри ниже
*Последовательность {n} сходится по вероятности к, если для всякого0,Р{n- }0 приn. Формула (113) определяется как сходимость по вероятности дополнительной вероятности к событию {n-}.