Часть 2. Случайные величины и функции распределения

Пусть дано произвольное вероятностное пространство (ℱ,Р).

Введем одно из основных понятий теории вероятностей – случайную величину. Интуитивно, случайная величина – это переменная (функция), которая в результате эксперимента принимает одно из множества своих возможных значений.

Определение: Измеримая [2] функция , определенная на пространстве элементарных событий  и принимающая значения из области действительных

чисел, называется случайной величиной

  ,  ,   R . (21)

Поскольку для любого элементарного события  определена вероятность его реализации, то очевидно, что каждое значение случайной величины так же имеет свою вероятность. Таким образом, с каждой случайной величиной связано распределение вероятностей (в определении это измеримость).

Различают два основных вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Случайная величина, которая принимает конечное илисчетноечисло значений, называется дискретной.

Например, к дискретным случайным величинам относятся:

а) число отказов технического устройства за определенное время;

б) количество посетителей столовой в каждый рабочий день за месяц;

в) число появлений гербов при подбрасывании монеты в серии из n испытаний.

Случайная величина называется непрерывной, если она принимает значения из интервала или, может быть, всей действительной оси.

Например, к непрерывным случайным величинам относятся:

а) время работы технического устройства до первого отказа;

б) отсутствие посетителей в столовой в течение не более чем один час;

в) величина ошибки измерения физических величин.

Дискретная случайная величина полностью определяется своим законом распределения, который можно представить в виде табл. 1:

Таблица 1

	x1	x2	…	xn	…
p	p1	p2	…	pn	…	(pi=1)

где х_i, iN возможные значения случайной величины, а р_i – соответствующие им вероятности. При этом сумма вероятностей всех значений случайной величины всегда равна единице.

В общем случае, случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Определение. Функцией распределения F(х) случайной величины  называется вероятность события   х, х  R , то есть

F(х) = Р   х, х  R . (22)

Функция распределения существует для любой случайной величины.

Свойства функции распределения.

1. Монотонность: х₁ х₂)F (х₁)F (х₂);

2. непрерывность слева:

;

3. число разрывов 1-го рода не более чем счетно (ступенчатая функция);

4. F(-)= 0;

5. F(+)= 1.

Любая функция, удовлетворяющая свойствам 1) – 5), является функцией распределения и обратно.

Для любой дискретной случайной величины можно построить ее функцию распределения. Более того, можно сказать, что величина называется случайной, если она имеет функцию распределения.

Определение. Индикатором событияАназывается случайная величина:

I_А () =

Пример 1. Построить функцию распределения индикатора событияА, если известно, чтоР р.

Решение. Случайная величинаI_А () – дискретная. Закон ее распределения имеет вид:

IА	0	1	.
р	1-р	р

Функцию распределения определим формулой:

график которой представлен на рис. 6.

Рис. 6

Очевидно, что вероятностная характеристика случайной величины, полученная из функции распределения с помощью формальных математических операций и определенная на всей действительной оси, несет столько же информации о случайной величине, что и сама функция распределения. Исключение могут составлять некоторые точки действительной оси, число которых не более чем счетно.

К такой характеристике можно отнести плотность.

Определение. Функция(х), удовлетворяющая условиям:

а) (х)0,хR,

б) ,

называется плотностью случайной величины .

Из определения видно, что плотность играет ту же роль, что и закон распределения дискретной случайной величины.

Физически, плотность характеризует распределение единичной массы на действительной оси. Ёе изменение на участке длиной х, примыкающего к точкех, оценивается интегралом

.