Следствия из аксиом

Следствие 1.

Р    = 0.

В самом деле, имеем =и=, то естьинесовместны.

Следовательно, 1 = Р=Р=по аксиоме 3=Р+Р= 1 +Р. ОтсюдаР= 0._▼

Следствие 2.

Если А  , то Р   = 1 – Р   .

Доказательство сразу следует из условия А   = , А   = ._▼

Следствие 3.

Если А  , то 0  Р  А   .

В самом деле, так как  , тоРРР, тогда. Знак равенства возможен тогда, когдаА=илиА=, илииА._▼

Следствие 4 (Теорема сложения).

Для любых А, В   имеет место

РАВ=РА+РВ-РАВ.

В самом деле, имеем

А  В = А  ( В \ ( А  В )) и В = ( А  В)  ( В \ ( А  В )).

События правой части несовместные, отсюда

Р  А  В  = Р  А  + Р  В \ ( А  В ),

Р  В  = Р  А  В  + Р  В \ ( А  В ).

Вычитая из первого равенства второе, получаем

РАВ-Р В=РА-Р АВ._▼

Следствие 5.

Для любых А, В  ,

Р  А  В   Р  А  + Р  В .

Доказательство следует из условия Р  А  В    и следствия 4. _▼

Очевидны обобщения на произвольное число событий.

Определение. События А, В из вероятностного пространства (,ℱ,Р) называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей этих событий, то есть

Р  А  В  = Р  А  Р  В .

Из определения сразу следует, что

1. Для любого А   события А и  независимы.

2. Если Р  В  = 0 и событие А   произвольно, то В и А независимы.

3. Если события А и В_i независимы, i = 1, 2 и В₁  В₂, то А и ( В₁\ В₂ ) независимы.

4. Если события А и В_i независимы и В_i попарно несовместны, то есть i j В_i  В_j = , то А и также независимы.

5. Событие А не зависит от самого себя тогда и только тогда, когда либо , либо .

6. Если события А и В несовместны, то есть А  В =  и Р  А   0, , то А и В зависимы.

В самом деле, пусть события А и В независимы, тогда , но по условию . Получили противоречие, то есть А и В - зависимы._▼

Замечание 1. Понятие независимости в теории вероятностей имеет более глубокий смысл, чем независимость обычная. Принято считать события независимыми, если они не связаны причинно. На практике, понятие зависимости и независимости случайных событий относительно. Если события слабо связаны, и эта связь несущественно влияет на конечный результат, то такие события считают независимыми, поскольку в этом случае построение математических моделей реальных ситуаций становится много проще. Наиболее глубоко в теории вероятностей изучены именно независимые события.

Замечание 2. Из аксиоматического построения вероятности события следует, что событие случайно, если оно не достоверно и не невозможно. Это определение через отрицание и из него следует, что имеет смысл говорить о вероятности как о некотором определенном, но неизвестном нам числе. Утверждение, что вероятность событияАсуществует, нуждается в обосновании, а если оно принято в качестве гипотезы, то в последующей проверке. Это следует учитывать при построении математических моделей реальных ситуаций.

Рассматривая вероятность события как число из промежутка [0,1], мы обычно предполагаем в какой его части это число будет находиться. И чем больше мы имеем информации о случайном событии, тем точнее предположение. Это позволяет нам определить вероятность как меру возможности (уверенности) появления случайного события.

Именно так Блез Паскаль в письме Пьеру Ферма в 1654 году написал: «Я считаю более простым и естественным принять степень уверенности в появлении достоверного события равной единице. Тем самым, возможность наступления случайных событий соизмеряется с тем, какую часть единицы они составляют».

Так впервые была формализована связь между случайным событием и числом, его измеряющим, – вероятностью.