- •В.А. Павский
- •Оглавление
- •Часть 1. Понятие случайного события и его вероятности……..9
- •Часть 2. Случайные величины и функции распределения…….52
- •Часть 3. Предельные теоремы…………………………………………….130
- •Часть 4. Элементы математической статистики………………..141
- •Введение
- •Часть 1. Понятие случайного события и его вероятности
- •Операции над событиями
- •Кроме того, если выполнено условие
- •Следствия из аксиом
- •Из определения сразу следует, что
- •Элементы комбинаторики
- •Пример 5. Сколько существует размещений с повторениями при выборкеkшаров изn?
- •1.3 Вычисление вероятностей событий
- •1.3.1 Классический метод вычисления вероятностей
- •Пример.Поnящикам случайно распределяютсяnшаров. Считая, что ящики и шары различимы, найти вероятности следующих событий:
- •1.3.2 Геометрический метод вычисления вероятностей
- •1.3.3 Статистическое определение вероятности
- •1.3.4 Условная вероятность
- •Произвольны, причем рв.
- •Формула (6) считается определением, ниоткуда не выводится и является отражением здравого смысла. Поясним это на примере геометрического изображения событий (рис. 3).
- •Теорема умножения.ПустьА,в,тогда
- •1.4 Формула полной вероятности и формула Байеса (Bayes) Формула полной вероятности
- •Применяя теорему умножения получим
- •Применяя (9), получим
- •Формула Байеса
- •Вероятности ,, называютапостериорнымивероятностями гипотезВk, поскольку оценка происходит после того, как событиеАпроизошло.
- •1.5 Независимые испытания
- •1.6 Локальная теорема Муавра – Лапласа
- •Интегральная теорема Муавра-Лапласа
- •Функция - табулирована, ее значения приведены в табл. 4 приложения.
- •Сравнивая решение задачи п.1.5. А), б), можно предположить, что, так как – наивероятнейшее число, с большой вероятностью реализуется событие40k60, с центром в точкеk0:
- •1.8 Формула Пуассона
- •Часть 2. Случайные величины и функции распределения
- •Например, к дискретным случайным величинам относятся:
- •Свойства функции распределения.
- •Свойства плотности
- •Примеры основных распределений
- •2.1 Числовые характеристики случайных величин
- •2.1.1 Математическое ожидание, мода, медиана
- •Моменты
- •Свойства дисперсии
- •2.2 Вычисление числовых характеристик стандартных распределений
- •1. Биномиальное распределение.
- •Приложения нормального распределения
- •2.3 Функции от случайных величин
- •2.3.1 Функции от одного случайного аргумента
- •2.3.2 Многомерные случайные величины
- •2.3.3 Условные законы распределения
- •2.3.4 Моменты многомерных случайных величин
- •Свойства коэффициента корреляции
- •2.3.5 Случайные процессы
- •2.3.5.1 Марковские процессы
- •2.3.5.2 Непрерывные цепи Маркова
- •2.3.5.3 Потоки событий
- •2.3.6 Основы теории массового обслуживания
- •Часть 3. Предельные теоремы
- •Вместо (111), часто используют неравенство
- •3.1 Закон больших чисел
- •3.2 Центральные предельные теоремы
- •Часть 4. Элементы математической статистики
- •4.1 Оценка функций распределения
- •Свойства эмпирической функции распределения
- •4.2 Точечные оценки неизвестных параметров законов распределения
- •Итак, пусть имеем выборку (122). Для оценки математического ожидания
- •4.3 Доверительный интервал
- •Окончательно
- •4.4 Проверка статистической однородности
- •Заключение
- •Обозначения
- •Приложение
- •Значения некоторых числовых величин
- •Продолжение таблицы 5
- •Продолжение таблицы 7
- •Библиографический список
В.А. Павский
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КЕМЕРОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ПИЩЕВОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
В.А. Павский
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТАМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Рекомендовано СибРУМЦ высшего
профессионального образования для
межвузовского использования в качестве
учебного пособия для студентов
технологических специальностей
Кемерово 2005
УДК: 519.2 (07)
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Кемеровского технологического института пищевой промышленности.
Рецензенты:
Заведующий кафедрой математической кибернетики КемГУ, доктор физ.-мат. наук, профессор Данилов Н.Н.
Кафедра высшей и прикладной математики Кемеровского института (филиал) РГТЭУ, заведующий кафедрой, кандидат физ.-мат. наук, доцент Астраков С.Н.
Павский В.А. Лекции по теории вероятностей и элементам математической статистики: учебное пособие. – Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2004. – 184 с.
ISBN5-89289-252-2
Учебное пособие содержит классические разделы стандартного курса теории вероятностей для технических вузов. Приведены основные понятия из теории случайных процессов, теории массового обслуживания и сведения из математической статистики, необходимые при оценке неизвестных распределений и параметров распределений случайных величин и процессов.
П
ISBN5-89289-252-2- Кемеровский
технологический институт
пищевой промышленности
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………….....5
Часть 1. Понятие случайного события и его вероятности……..9
Операции над событиями………………………………………….………..10
Элементы комбинаторики………………………………………….……….16
Вычисление вероятностей событий……………………………….……….22
Классический метод вычисления вероятностей…………………....23
Геометрический метод вычисления вероятностей.………...……....30
Статистический метод вычисления вероятностей ………………....32
Условная вероятность………………………………………………...35
Формула полной вероятности и формула Байеса ..……………………….37
Независимые испытания…………………………………………………….41
Локальная теорема Муавра-Лапласа……………………………………….45
Интегральная теорема Муавра-Лапласа…………………………………...47
Формула Пуассона…………………………………………………………..49
Часть 2. Случайные величины и функции распределения…….52
2.1. Числовые характеристики случайных величин……………………………61
2.1.1. Математическое ожидание, мода, медиана………………………....63
2.1.2. Моменты…………………………………………………………….…66
Вычисление числовых характеристик стандартных распределений…….70
Функции от случайных величин……………………………………………75
Функции одного случайного аргумента…………………………….75
Многомерные случайные величины………………………………...79
Условные законы распределения……………………………………82
Моменты многомерных случайных величин……………………….94
Случайные процессы………………………………………………..103
2.3.5.1.Марковские процессы…………………………………….....107
2.3.5.2.Непрерывные цепи Маркова……………………………......112
2.3.5.3.Потоки событий……………………………………………...114
Основы теории массового обслуживания………………………….119