Часть 4. Элементы математической статистики
Как уже отмечалось, теория вероятностей – математическая наука, задачей которой является вычисление вероятностей одних случайных событий по известным вероятностям других случайных событий; если известна функция распределения какой – либо случайной величины, то теория вероятностей предлагает методы нахождения ее числовых характеристик, функцию распределения другой случайной величины и так далее.
В решении большинства таких задач существенную помощь оказывает построение вероятностного пространства (,ℱ,Р). Более того, можно сказать, что вероятностное пространство является определяющим в создании математической модели эксперимента или случайного явления [2].
Практически любая, сколько-нибудь сложнаяреальная система может быть описана и проанализирована, с той или иной точностью, методами теории вероятностей, если удаетсяпостроить вероятностное пространство. Для этого необходимо знать вероятности исходных случайных событий или распределение вероятностей случайных величин, описывающих реальную систему.
В случаях, когда вероятностное пространство построить не удается, ограничиваются числовыми характеристиками.
Таким образом, чтобы описать реальную систему вероятностными методами, при функционировании которой возникают явления, описываемые случайной величиной (и, тем самым, обладающие статистической устойчивостью), необходимо выработать методы проверки теории на опыте. Однако одних методов недостаточно, поскольку, в силу специфики случайных явлений, необходимо решить следующую проблему: как зная лишь часть (эмпирические данные) сделать выводы о целом (распределение вероятностей, числовые характеристики и др.)? Для пояснения сказанного, рассмотрим три примера.
Пример 1. Найти траекториюS (t) движения точки, заданной уравнением
.
Траектория
будет определена, если задать начальные
условия, например,
.
Таким образом,
.
Пример 2. Используя симплекс – метод, максимизировать выражение:5y1+8y2, при ограничениях
Ответ:у1 = 1,у2 = 0,5.
Пример 3. На основании многолетних наблюдений установлено, что в августе, в среднем, 8 дождливых дней, а в сентябре – 13. Можно ли принять за вероятность события того, что наудачу взятый день дождливый –
а) в августе, число 8/31;
б) в сентябре, число 13/30;
в) в августе или сентябре – 21/61?
Решение. Если в примерах 1, 2 ответ содержится в самом методе, то здесь мы должны обосновать правомерность принятия частоты за вероятность. Это можно сделать на основании закона больших чисел для пп. а), б). Для п. в), сначала следует убедиться в статистической однородности объектов исследования, а затем, если это окажется правомерным, применить закон больших чисел. Так как однородность нарушена (август - лето, а сентябрь уже осень), то оценка будет слишком грубая и, в данном случае, неправомерна.
Ответ: а), б) – можно, в) – нельзя.
Математическая статистика- раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использованиястатистическихданных для теоретических исследований и практических выводов.
Статистические данные – есть результат эксперимента (наблюдения).
Результаты наблюдения бывают количественные (например, процентное содержание отдельного компонента в продукте) и качественные (например, органолептические оценки: вкус, запах, цвет и др.). Качественные результаты наблюдений всегда можно выразить количественно ( в нашем случае, в баллах).
Таким образом, статистические данные – набор числовых значений, полученных многократным повторением эксперимента.
Замечание. Математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, но не следует из неё, хотя только она позволяет испытать методы теории вероятностей на практике. Этим объясняется использование в математической статистике многих положений теории вероятностей (статистическое оценивание распределений и их числовых характеристик, закон больших чисел, теория ошибок, в основе которой лежит центральная предельная теорема и др.). С другой стороны, теория вероятностей изучает только такие случайные явления, которые имеют соответствующие им распределения вероятностей, а математическая статистика изучает массовые явления произвольной природы и, помимо вероятностных, имеет свои собственные методы с разработанной системой понятий и техникой вычислений.
Статистика имеет почтенный возраст, однако, как математическая статистика, эта наука завоевала право так называться лишь в 20 – м веке.
Математическая статистика (status-положение, состояние) в настоящее время включает в себя, последовательно:
а) сбор статистических данных– конечный набор отдельных элементов из некоторой совокупности (реального явления);
б) исследованиеэтих элементов - выявление закономерностей, присущих всей совокупности;
в) разработкуприемов иметодов анализаотобранных элементов;
г) прогнозированиеповедения явления.
Несмотря на то, что последний раздел относится к теории вероятностей, его выполнение необходимо для подтверждения адекватности модели реальной ситуации (явления).