Часть 1. Понятие случайного события и его вероятности

Как уже отмечалось в предисловии, теория вероятностей изучает массовые случайные явления. А что же такое случай? Как к нему относиться? Если нам повезло, говорим о счастливом случае, если нет, то это – несчастливый случай. Однако, в целом, к случайностям мы относимся отрицательно, поскольку заранее не знаем, как себя эта случайность проявит. Конечно, случайность портила и портит жизнь человека, но она ему и помогает. Для борьбы со случайностью разработаны эффективные методы. Выясняется, что описание и формализация случайности является одним из самых мощных инструментов научного описания мира.

Под случаем мы обычно понимаем либо ограниченность необходимой информации, либо неумение её использовать, либо полное отсутствие информации (за исключением той информации, что она отсутствует). Итак, будем считать, что случай, случайность - понятия для нас интуитивно ясные.

Разобьем случайность на два класса: «хорошая» случайность – когда можно выявить какие-то закономерности её проявления (то есть имеет смысл говорить о её количественной оценке), и «дурная» случайность – закономерностей никаких нет (мистика, колдовство, прилёт инопланетян и др.)

«Хорошую» случайность, в отличие от «дурной», можно формализовать. Изучением именно «хорошей» случайности, и только ею, занимается современная теория вероятностей – математическая наука, которая по известным вероятностям одних случайных событий позволяет находить вероятности других случайных событий.

Случайные события будем называть просто событиями, а их количественную оценку - вероятностью события, которая является числом из промежутка . Прежде всего, мы научимся получать комбинации событий и вычислять соответствующие им вероятности. Это позволит нам адекватно оценить действительность, прогнозировать результаты, вырабатывать оптимальную стратегию поведения.

1. Операции над событиями

Первоначальным и, тем самым, математически неопределяемым понятием для нас, является пространство  случайных событий^*. Оно состоит из элементарных событий (точек) ₁, ₂, ..., _n,… представляющих неразложимый исход теоретического эксперимента. Количество точек из  может быть конечно или счетно. Стандартная запись: _1 ₂ ..., _n ... . Любой конечный (или даже счетный) набор элементарных событий, например,  , назовем случайным событием. Случайные события обозначают буквами: А, В, ….

Пусть  =  . Будем говорить, что событие,  произошло, если наступило одно из элементарных событий, .

Объединением (суммой) двух событий А и В называется событие АВ, состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий А или В.

Пересечением (произведением) событий А и В называется событие АВ, состоящее из элементарных событий, содержащихся одновременно в событиях А и В.

Дополнением (разностью) событий А и В называется событие А\В, состоящее из элементарных событий события А, не содержащихся в событии В.

Пусть   , тогда противоположным событию А называется событие  , состоящее из элементарных событий пространства , не содержащихся в событии А, то есть =  \ А.

Пусть А, В  . Они образуют алгебру событий, если:

1. А  В  ,

2. А  В  ,

3.  .