1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы.

Рассмотр.опыт: бросание монеты. Он имеет 2 взаимоисключ.исхода: выпадение «герба» или «решки». Исход бросания монеты явл.случайным. Какова вер-ть выпадения «герба»/«решки»? Даже не прибегая к расчету, можно ответить – ½. Интуитивно такой ответ основывается на том, что рассматриваемые исходы равноправны по отношению к условиям опыта, т.е. равновероятны. Рассмотрим некотор.опыт с конечным числом взаимоисключ.исходов, к-рые равновероятны. А – некотор.событие, связанное с указанными исходами. Вер-ть Р(А) можно опред.как долю тех исходов, в рез-те к-рых это событие осуществл., где N – общ.число исходов, М – число тех из них, к-рые приводят к наступлению соб.А. Напр., при бросании монеты имеется 2 взаимно исключающих равновероятных исхода, и если А – любое из этих событий, то М=1, а вер-ть Р(А)=½. При бросании игр.кости N=6, А – выпадение определенного числа очков (1, 2,…, 6), Р(А)=1/6. При подьрасывании монеты 1 раз, никто не возьмется предсказать определенно, выпадет или не выпадет «герб», но если испытание проводится большое кол-во раз, то можно с уверенностью ожидать, что «герб» выпадет примерно в половине случаев. Эта закономерность связ. не с физической природой событий, а лишь с числом появления этого события при большом числе испытаний. Она фактически опирается на аксиому: если по каким-либо причинам возможности осущ-ния некотор.событий одинаковы, то эти события и происходить должны одинаково часто.

Частотой события нзв отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к числу всех произведенных испытаний. Рассматривать непосредственно частоту нельзя, т.к. частота сама по себе явл.случайной величиной, зависящей от конкретной серии испытаний. Однако замечено, что при очень большом числе испытаний частота почти перестает изменяться, приближаясь к некоторой величине. Для примера приведем результаты, полученные экспериментаторами при бросании монеты:

Бюффон: из 4040 опытов 2048 «герб» (частота 0,5080)

Пирсон: из 12000 опытов 6019 «герб» (частота 0,5016)

Пирсон: из 24000 опытов 12012 «герб» (частота 0,5005)

Частота приближается к числу ½.

Относительная частота соб.А опред.след.равенством:

Числовая хар-ка сл.события, обладающая тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отличается от этой хар-ки, нзв вероятностью события.

Группы, составленные из каких-либо предметов (напр., букв, цветных шаров, кубиков, чисел и т. п.), нзв соединениями (комбинациями).

Предметы, из которых состоят соединения, нзв элементами.

Различают три типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.

Размещениями из n элементов по m в каждом нзв такие соединения, из к-рых каждое содержит m элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо лишь порядком их расположения.

Число размещений из n элементов по m в каждом вычисл. по след. формуле:

или

При размещении с повторениями:

Перестановками из n элементов нзв такие соединения, из к-рых каждое содержит все n элементов и к-рые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.

При перестановке с повторениями:

Сочетаниями из n элементов по m нзв неупорядоченные

выборки содержащие m элементов, взятых из числа данных n элементов, к-рые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Сочетания с повторениями:

2. Математическая формализация случайного эксперимента. Пространство элементарных событий. Классификация событий. Операции над событиями и свойства операций.

Случайным нзв событие, к-рое может произойти или не произойти в рез-те некотор. испыт.

Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включ. опред. усл-я и приводящий к одному из неск. возм. исходов. Исходом опыта м.б. рез-тат наблюдения или измерения.

Возможные исходы w_i эксперимента G нзв элементарными событиями, если они явл.взаимоисключ.и в рез-те опыта одно из них обязательно происх.

Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные.

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, нзв достоверным

Событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания), нзв невозможным.

Неск-ко событий нзв несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других.

Неск-ко событий нзв совместными, если в рез-те эксперимента наступление одного из них не исключает появления других.

События нзв единственно возможными, если в рез-те испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет.

Сов-ть всех единственно возможных и несовместных событий нзв полной группой событий.

Два ед. возм. и несовмест. соб. нзв противоположными.

События нзв равновозможными, если в рез-те испытания по условию симметрии ни одно из них не явл.объективно более возможным, чем другие.

Сов-ть Ω всех элемент.событий w_i в опыте G нзв пространством элемент.событий. Пространство элемент.событий – это математическая модель опыта, в к-рой любому событию ставится в соответствие некоторое подмнож-во пространства Ω.

Мн-во Ω м.б. конечным, счетным или несчетным.

Операции над событиями:

Соб. А₁ и А₂ нзв равными, если осуществление соб.А₁ влечет за собой осуществление соб. А₂ и наоборот.

А₁=А₂

Суммой (объединением) соб. А и B нзв соб.C, к-рое означает осущ-е хотя бы одного из соб. А или B.

Произведением (пересечением) соб. А и B нзв соб. C, к-рое означает, что одновременно осущ-ся и А и B.

Разностью соб. А и B нзв соб. C, к-рое означает, что происх. соб. А, но не происх. соб. B.

Соб. Ā нзв противоположным по отношению к соб. А, если оно состоит из элемент.соб., не входящих в соб.А, но входящих в простр-во элемент.соб. Ω.

Ā=Ω\А

А+Ā=Ω

Несовместные события:

А∙B=Ø

Свойства операций:

1. Ω+А=Ω

2. Ω∙А=А

3. А∙А=А

4. А+Ø=А

5. А∙Ø=Ø

6. (А\В)∙(В\А)=Ø

7. А+Ā=Ω

8. А∙Ā=Ø

9. 

10. 

11. 

12. 

13. А+В=В+А

14. А∙В=В∙А

15. (А+В)+С=А+(В+С)

16. (А∙В)∙С=А∙(В∙С)

17. С(А+В)=СА+СВ

18. А+ВС=(А+В)(А+С)