2.3.2 Многомерные случайные величины

Развитие аппарата многомерных случайных величин в теории вероятностей так же важно, как и развитие функций нескольких переменных в математическом анализе.

Пусть имеем вероятностное пространство (,ℱ,Р), (совпадает сRⁿ) с заданными на нем случайными величинами₁=₁(),₂=₂(),…,_n=_n(),.

Определение. Случайную величину=₁,₂, …,_n) назовемn– мерным случайным вектором, являющимся отображениемRⁿ. Отображение измеримо, в том смысле, что для любого множества из классаℱопределена функция распределения.

, где. (45)

Функция распределения (45) однозначно определяет распределение вероятностей Р₁х₁,₂х₂,…,_nx_nи обладает свойствами, вполне аналогичными свойствам функции распределения одной переменной, а именно,:

1. неубывающая по каждому аргументу вектора ;

2. ;

3. непрерывна слева по каждому аргументу;

4. ;

5. 

Дальнейшее построение теории многомерных случайных величин приведем для двухмерного случайного вектора ().

Пусть не обязательно совпадает сR². Рассмотрим случайный вектор (,_R², где_=_ _. Любое подмножествоА _ назовем событием. Классℱопределим как алгебру событий, каждое из которых можно получить из множеств

(ху)), гдех_,у_.

Вероятность события Аопределим как

Р_=РА_.

Тем самым построено вероятностное пространство _,Р_), как частный случай рассмотренного ранее.

Из свойств функции распределения легко получить:

а) Ра₁ в₁,у=Fв₁,у) -F(а₁,у)

Графическая иллюстрация представлена на рис. 17 (включение границы в допустимую область обозначено жирной чертой).

б) Ра₁ в₁,а₂ в₂=Fв₁,в₂) -F(а₁,в₂) - F(в₁,а₂) +F(а₁,а₂)

Графическая иллюстрация представлена на рис. 18.

0

Рис. 17 Рис. 18

Распределение вероятностей случайного вектора назовем дискретным, если он принимает не более, чем счетное число значений.

Распределение случайного вектора назовем абсолютно непрерывным, если для любого подмножества А, со значениями изR²,

или в эквивалентной форме

. (46)

Функция х,уназывается плотностью распределения случайного вектора. Из (46) следует, что

.

Если существует плотность х,у, то существуют и плотности_(х),_(у).

Рассмотрим два примера, часто используемые в приложениях.

Пример (полиномиальное распределение).

Пусть - целочисленный случайный вектор. Распределениезададим формулой:

,

где 0 к₁ +к₂ n,р₁=РА₁,р₂=РА₂, 1 -р₁-р₂ =Р\А₁А₂),А₁,А₂,А₁ А₂

Применим описанное распределение при построении математической модели процесса разделения сыпучих материалов [7].

При разделении сыпучего материала на три группы по среднему диаметру частиц (события А_i) установлено, что вероятностьРА_iчастицы принадлежать группеiравнар_i,i=1,2,3. Распределение вероятностей, того, что средиnчастицк_iчастиц принадлежит группеi(к₁+к₂+к₃=n) определяется по формуле полиномиального распределения, гдек₃ =n -к₁–к₂.

Пример (Двумерное нормальноераспределение).

Пусть дана двумерная случайная величина . Будем говорить, что она нормально распределена, если ее функция распределения имеет вид:

где - называется эллипсом рассеивания [3], а- называется коэффициентом корреляции, о котором будем говорить ниже.