1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

Ситуацию q назовем C-равновесием, если q C1∩C2, ãäå Ci множество âñåõ Ci-экстремальных ситуаций , i=1,2.

Заметим, что формулировки всех несимметричных равновесий остаются G 6= G0 An-равновесие может не существовать,

хотя и является расширением A-равновесия. Более того, теоремы 1.5 и 1.6

справедливы с небольшими оговорками и в случае рассматриваемых конфликтных задач на частично пересекающихся множествах интересов.

И отметим ещ¼ ту естественную особенность для задач с пересекающимися интересами участников, что в подобных задачах на каждой из следующих итераций предпочтительнее использовать не итерации множеств Ak, а итера-

ции множеств Aki .

Покажем на модельных примерах, что, независимо от того, каковы возможности наказания одних участников другими, все интересы каждого из них, даже те, которые не имеют, казалось бы, никакого отношения к рассматриваемому между ними конфликту, влияют в той или иной степени на состояние равновесия в конфликте.

Пример 3.1. Пусть два участника располагают следующими матричными платежными функциями, которые они максимизируют:

Стратегия 1-го участника выбор i-й строки (этих матриц), а 2-го

выбор j-го столбца, что определяет ситуацию aij; например, в ситуации a11 платежная функция 1-го участника не определена, а 2-й получает в ней выиг- рыш 2. В ситуации a22 платежные функции обоих участников не определены.

В этой задаче

G = (a12, a21, a23, a32),

G0 = (a11, a12, a13, a21, a23, a31, a32, a33).

В явно конфликтных отношениях участники оказываются только на множестве G. Казалось бы, естественно предположить, что имеющий место кон-

фликт можно было бы разрешить, если найти наиболее сильное равновесие именно на этом множестве, что можно сделать с помощью теории конфликтных равновесий, изложенной в первом разделе. В этом случае исходная зада-

ча редуцируется до задачи на множестве G, т.е. сводится к следующей задаче

71

с платежными функциями

и множество всех ее равновесий оказывается следующим

B1 = C1 = B2 = C2 = B = C = (a12, a21),

¯ 0 ¯ 0 ¯ 0

D1 = D1 = D1 = a12, D2 = D2 = D2 = a21, D = D = D = ;

Таким образом, с учетом только пересекающихся интересов наиболее сильными равновесиями (между прочим по Нэшу) на G оказались ситуации a12 è a21, неразличимые с точки зрения устойчивости.

Исследуем теперь задачу с учетом всех, а не только явно замешанных в конфликте интересов участников, и найдем для нее наисильнейшие равновесия. Если в задаче допустимы лишь угрозы (3.1) (в этом случае задача рассматривается в точности так же, как рассматривались задачи в первом разделе), то получаем следующие равновесия

¯ ¯ ¯ ¯ n 0 0 0

D1 = a12, D2 = a32, D = D = ; D1 = D2 = D = a21.

В данном случае ситуация a21 оказывается единственным наисильнейшим равновесием. А следовательно, у 2-ãî игрока имеются все основания рассчи- тывать на долю от кооперативного дохода, большую половины. В этом проявляется влияние интересов участников, явно не связанных с рассматриваемым конфликтом.

В общем случае при любом типе угроз не связанные с конфликтом интересы в той или иной мере оказывают влияние на разрешение любого конфликта.

72

Для угроз (3.2) в данной задаче получаем следующие равновесия

откуда видно, что из двух ситуаций множества B ситуация a21 является более сильным равновесием, так как она еще и Dn-равновесна ( ò.å. "äîãî-

ворно"взаимно выгодна). К таким же результатам приводит рассмотрение и угроз (3.3).

Таким образом, даже этот простой пример демонстрирует, что, независимо от типа угроз, не связанные с конфликтом интересы участников оказывают влияние на результат конфликта.

Пример 3.2. Пусть два участника располагают следующими матричными платежными функциями, которые они максимизируют:

Стратегия 1-го участника выбор i-й строки (этих матриц), а 2-го

выбор j-го столбца, что определяет ситуацию aij; например, в ситуации a11 платежная функция 2-го участника не определена, а 1-й получает в ней вы- игрыш 1. В ситуациях a24, a31, a42 платежные функции обоих участников не определены. В этой задаче

G = (a12, a14, a22, a41, a43, a44),

G0 = (a11, a12, a13, a14, a21, a21, a22, a23, a32, a33, a34, a41, a43, a44).

По существу конфликт в этой задаче имеет место только на множестве G,

в связи с чем, казалось бы, можно упростить задачу (3.6) и рассмотреть ее только на этом множестве, применив для ее решения теорию конфликтных равновесий из первого раздела. В этом случае задача (3.6) сводится к задаче

73

4-го типа с платежными функциями

и множество всех ее равновесий оказывается следующим

B1 = C1 = (a12, a22, a43), B2 = C2 = (a22, a43), B = C = (a22, a43);

0 ¯ 0 ¯

D1 = D1 = D1 = D2 = D2 = D2 = a22.

Таким образом, в задаче (3.6), рассматриваемой лишь на множестве общих интересов G, без учета всех остальных интересов ( G0 \ G) участников,

абсолютным наисильнейшим равновесием оказалась ситуация a22. Рассмотрим теперь задачу (3.6) (как задачу 1-го типа) с учетом всех, а

не только общих, интересов участников, и найдем для нее наисильнейшие равновесия. Имеем

A = (a22, a44); B1 = (a14, a22, a44), B2 = (a22, a42, a44), B = (a22, a44);

Ситуация a22 теперь уже не является единственным наисильнейшим рав-

a44 по существу эквивалентна ей (и даже чуть сильнее, так как является не только B-равновесной, но еще и Dn-равновесной).

Следует отметить, что угрозы (3.1), естественные для задач, формулируемых на едином для всех участников множестве интересов G, не учитывают все особенности задач, в которых G0 6= G и в которых более естественны

74

угрозы (3.2) и (3.3). Однако при любом типе допустимых угроз учет не связанных с конфликтом интересов G0 \ G неизбежно влияет на решение задач,

например, для угроз (3.2) получаем следующие равновесия

A1 = (a12, a13, a14), a22, a32, a33, a41, a43, a44),

A2 = (a12, a14, a21, a22, a23, a34, a41, a43, a44),

A = (a12, a14, a22, a41, a43, a44);

B1 = (a12, a22, a43), B2 = (a22, a41, a43, a44), B = (a22, a43);

¯ 0

C1 = (a12, a43), C2 = (a41, a44), C = D = ; D = D = a22;

откуда видно, что ситуация a22 оказывается более слабым равновесием (так как C = ), чем в случае игры на множестве G. В задаче с угрозами (3.3)

решение по существу такое же.

Даже рассмотренный простой пример показывает, что на разрешение любого конфликта в какой-то мере влияют и те интересы участников, которые явно не связаны с конфликтом.

Полезно отметить, что начинать решать задачи с пересекающимися интересами участников следует сначала со слабых угроз (3.1), поскольку в этом случае при расч¼те более сильных угроз (например, (3.2)) нет необходимости

искать заново множества Ai, а достаточно лишь проверить на принадлеж- ность к множеству Ai только те ситуации, которые при слабых угрозах не вошли во множество Ai. Дело в том, что множества Ai при переходе от более слабых угроз к более сильным могут только расширяться, а следовательно, с переходом к расч¼ту более сильных угроз требуется лишь определить, какие ещ¼ дополнительные элементы следует присоединить к уже известным из предшествующих расч¼тов (более слабых угроз) множествам Ai.

4.Равновесия в многозначных игровых задачах

Âсложившейся (классической) теории игр многозначные игры по существу не рассматривались. Вообще конфликтные задачи с многозначными плат¼жными функциями до сих пор почти не изучены как вследствие того, что по существу отсутствует адекватная постановке многозначных игровых задач теория многозначных функций, так и вследствие ряда присущих подобным играм (и функциям) особенностей, одна из которых, касается, например, того, следует ли учитывать реальную достижимость того или иного значения каждой плат¼жной функции в точке многозначности или же следует признавать эти значения равновероятными.

75

По существу само понятие многозначности исключает и возможность единственного подхода к этой проблеме хотя бы потому, например, что многознач- ность допускает как учет реальной достижимости того или иного значения каждой плат¼жной функции в точке многозначности, так и возможность признавать эти значения эквивалентными (равновероятными).

Таким образом, многозначные игры допускают по крайней мере две естественные постановки: первая все значения платежных функций в реализуемых в игре точках многозначности равновероятны, и вторая играют роль только реально достижимые в точках многозначности значения плат¼жных функций. В каждой из этих двух постановок, в свою очередь, снова возникает неоднозначность в самом подходе к проблеме многозначности: представляется естественным рассмотреть в первую очередь два крайних подхода к построению понятий равновесия, определяющих предельно ослабленные и предельно усиленные равновесия, первые из которых, для краткости, назовем просто равновесиями, а вторые усиленными равновесиями. Усиленная базовая система равновесий с достаточной полнотой рассматривается ниже в главе 2, посвященной некооперативным играм с любым конечным числом участников. Этот же раздел посвящен лишь начальному знакомству с многозначными игровыми задачами, в связи с чем рассматриваются многознач- ные некооперативные игры только с двумя участниками и только один вид многозначных равновесий ослабленных. Демонстрация основных понятий многозначности и процедура поиска наисильнейшего равновесия проводятся на примере простой антагонистической игры.

Многозначность плат¼жных функций неизбежно порождает многознач- ность и понятий равновесия, так что в отношении многозначных игр совершенно естественно говорить не только о множественности типов равновесий, но и о неединственности цепей из иерархически связанных равновесий, при- чем среди множесва этих цепей можно выделить наиболее слабую (рассматриваемую в этом разделе) и наиболее сильную (рассматриваемую в главе 2) цепи, различающиеся тем, что каждое равновесие из первой цепи слабее аналогичного ему равновесия из второй цепи. Заметим, что наиболее сильная цепь равновесий позволяет существенно сузить множество ситуаций, претендующих на роль решения игры, что во многих случаях обеспечивает нахождение единственного наиболее устраивающего всех игроков равновесия.

Рассматриваемое в главе 2 понятие сильной иерархической цепи многозначных равновесий в практическом отношении нередко оказывается полезнее понятия слабой иерархической цепи (вводимой в рассмотрение в этом

76

разделе) в связи с тем, что если в некоторой иерархической цепи самое слабое (всегда существующее) равновесие оказывается слишком уж слабым (другими словами, слишком общим), то и наиболее сильное равновесие в этой цепи в содержательном отношении может оказаться малоинтересным для всех участников игры, например, вследствие того, что в ситуации наисильнейшего из существующих (в слабой цепи) равновесий реализуются все возможные значения платежных функций игроков (как это демонстрируется ниже на примере), а следовательно, в этой ситуации выигрыш каждого из участников игры оказывается неопределенным, как если бы в игре вовсе не было найдено никакого равновесия. В подобном случае решение задачи зачастую позволяет найти именно сильная цепь равновесий, рассмотренная в главе 2.

Заметим, что многозначность может неявно присутствовать в задачах, которые по самой своей постановке кажутся вполне однозначными. Подобное может иметь место, например, в дифференциальных играх. Игры с многозначными плат¼жными функциями (к которым относятся и некоторые классы дифференциальных игр, в частности, игры с плавающими краевыми условиями), остаются почти не изученными. Заметим, что многозначность может присутствовать в игровой задаче как в явной, так и в неявной форме; например, в неявной форме она может возникнуть в дифференциальной игре, определяемой вполне однозначными задающими ее функциями и уравнениями, как следствие нежестко закрепленных концов траектории, в результате чего (при одном и том же управлении) траектории могут соединять разные точки фазового пространства и на них значения плат¼жных функционалов могут быть не одинаковыми. Уже только в связи с этим плат¼жные функционалы в дифференциальной игре оказываются неоднозначными функциями управляющих переменных, именно через посредство которых у игроков и открывается единственная возможность управления траекторией движения.

Âявной же форме многозначность появляется, когда формулирующие задачу функции оказываются неоднозначными.

Âданном разделе рассматривается один из крайнимх подходов к проблеме выбора понятий игрового равновесия в многозначных задачах, приводящий к понятиям наиболее слабых многозначных равновесий, а в главе 2 рассматривается второй крайний подход, приводящий к понятиям наиболее сильных многозначных равновесий. Поскольку рассмотренные в этом разделе понятия многозначного равновесия не зависят от числа участников, то рассматрива-

ются задачи не с двумя, а с любым числом N участников.

Допущения 4.1. Пусть Qi метрические компакты, а G непустое

77

4

подмножество в их произведении Q = Q1 × . . . × QN , такое, что любые непустые его сечения G(qi) è G(qi), i = 1, N являются компактными множествами, и пусть на множестве Q определены ограниченные многознач-

ные плат¼жные функции (функционалы) Ji[q], i = 1, N.

Предполагается, что i-й игрок, выбирая стратегию (состояние) qi, i = 1, N, из доступного ему множества G(qi), ãäå qi = q1,. . . , qi−1,qi+1, . . . ,qN èëè èç проекции P rQiG множества G на множество Qi, стремится обеспечить мак- симум своей многозначной плат¼жной функции (функционала) Ji[q], q =

q1 . . . qN (заключение аргумента в квадратные скобки указывает на факт мно-

гозначности функции).

Определение 4.1. При удовлетворении допущений 4.1 ограниченный многозначный функционал Ji[q] назовем компонентно замкнутым на G, если для каждого непустого сечения G(qi) (соответственно, для сечения G(qi)) множество значений J[q1, . . . , qi−1,·, qi+1, . . . , qN ] (соответственно, множество значений Ji(·, qi, ·)) замкнуто в E1×G(qi) (соответственно, замкнуто в E1 × G(qi)), i = 1, N.

Допущения 4.2 Пусть Q метрическое пространство, а G компакт в Q и пусть на Q определены ограниченные многозначные функционалы Ji,

i = 1, N.

Определение 4.2. При удовлетворении допущений 3.2 ограниченный многозначный функционал J[q] назовем замкнутым на G, если множество его значений замкнуто в E1 × G.

Предложение 4.1. Всякий замкнутый функционал компонентно замкнут.

Доказательство. В самом деле, в случае замкнутого функционала множество J[q] ×G его значений замкнуто в E1 ×G. А поскольку любые сечения

замкнутого множества J[q] × G замкнуты, то функционал оказывается компонентно замкнутым

Определение 4.3. Верхней (нижней) огибающей многозначного функ-

infJi[q]) äëÿ âñåõ q G.

Следующие два определения представляют собой обобщения определений A-равновесия и равновесия по Нэшу на многозначные игровые задачи.

Определение 4.4. Ситуацию q G назовем многозначной Ai- экстремальной (соответственно достижимой Adi -экстремальной) â èãðå с многозначными функционалами Ji[q], i = 1, N, если при заданной стра-

78

тегии qi допустимой оказывается только одна стратегия qi = G(qi ) èëè если любой стратегии qi G(qi ) \ qi i-го игрока можно поставить в со-

где некоторое (соответственно некоторое из множества достижимых зна- чений) из множества значений Ji[ˆqi < qi >, qi] функционала Ji (в каждой из точек (ˆqi < qi >, qi)) не больше некоторого значения Ji[q ] в точке q . Ñèòó- àöèþ q назовем ситуацией многозначного A-равновесия (соответственно

ситуацией достижимого Ad-равновесия), если неравенства (4.1) удовлетворяются в точке q äëÿ âñåõ i = 1, N.

Заметим, что отличие A-равновесия от Ad-равновесия â òîì, ÷òî â ïåð-

вом из них в каждой точке многозначности любой конкретной платежной функции все значения этой платежной функции рассматриваются как эквивалентные. Однако в реальных условиях в зависимости от текущего состояния игры перейти в ту или иную точку многозначности оказывается возможным не произвольным, а только определенным образом (например, только

вдоль каких-либо координатных сечений множества G). И при этом переходе

в точке многозначности реализуется вполне определенное значение платежной функции из всего возможного множества ее значений в этой точке. Так что реально достижимыми при переходе из некоторой заданной ситуации в некоторую другую, доступную игроку, осуществляющему этот переход, ситуацию многозначности платежной функции оказываются вовсе не все значения многозначной платежной функции в этой последней ситуации.

Ad-равновесий даются следующими ниже определениями.

Определение 4.5. Ситуацию q G назовем ситуацией многозначного (соответственно достижимого) равновесия по Нэшу в игре с многознач- ными функционалами Ji, åñëè

где некоторое из множества (соответственно некоторое из множества достижимых для i-го игрока) значений Ji[qi , qi] функционала Ji â êàæ- дой из точек (qi , qi) не больше некоторого (соответственно некоторого из множества достижимых для i-го игрока) значения Ji[q ] в точке q .

Совершенно аналогично многозначному равновесию по Нэшу можно опре-

делить и многозначное ¯0-равновесие. Все рассмотренные выше остальные

C

79

однозначные равновесия также без труда переформулируются на случай многозначных задач.

Определение 4.6. Ситуацию q G назовем ситуацией оптимисти- ческого равновесия по Нэшу, если

Определение 4.7. Ситуацию q G назовем ситуацией пессимисти- ческого равновесия по Нэшу, если

Определение 4.8. Ситуацию q G назовем оптимистической Aopti - экстремальной, если в формулировке определения 4.4 неравенство (4.1) заменить следующим

Ситуацию q назовем ситуацией оптимистического Aopt-равновесия, если неравенства (4.5) удовлетворяются в точке q G для всех i = 1, N.

Ситуацию q G назовем пессимистической Api - экстремальной, если в формулировке определения 3.4 неравенство (3.1) заменить следующим

неравенства (.6) удовлетворяются в точке q äëÿ âñåõ i = 1, N. Предло-

жение 4.2. Если функционалы Ji, i = 1, N, компонентно замкнуты, то чтобы ситуация q была равновесной в смысле (3.2), необходимо, чтобы она

была равновесной в смысле (4.3) и (4.4).

Доказательство. Пусть ситуация q G равновесна в смысле (4.2).

Тогда в силу компонентной замкнутости функционалов Ji имеют место также и неравенства

Что же касается теорем существования равновесий (4.3) и (4.4), то в каче- стве них могут рассматриваться все известные теоремы существования по Нэшу для однозначных функционалов, когда их условиям удовлетворяют âåðõ-

íÿÿ ( ¯

Ji) и нижняя (Ji) огибающие многозначного функционала Ji (i = 1, N).

80