1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

следующих трудно совместимых и почти противоречивых условиях. Каждый из участников заинтересован в максимальном выигрыше. Однако, к их совместному неудовольствию, максимальный выигрыш 1-го участника, равный

12 (в первой матрице J1), достигается в случае, когда 1-й участник выбирает свою третью стратегию, а 2-й участник четвертую (при этом реализуется ситуация a34, в которой выигрыш 1-го как раз и оказывается максимальным. Однако, к великому сожалению 1-го участника, выигрыш 2-го участника при этом оказывается одним из самых наименьших: равным всего лишь 3. Аналогично, максимальный выигрыш 2-го участника, равный 12, достигается в ситуации a21, когда он использует свою первую стратегию, а его противник свою вторую стратегию, прич¼м выигрыш последнего в этой ситуации равен всего лишь 4. Цель решения игры найти такую (или, в худшем случае, не одну, а несколько) ситуацию в игре, с которой каждый из игроков был бы вынужден согласиться и имел бы гарантии того, что противник не решится его обмануть. Иначе говоря, необходимо найти устраивающую обоих участников равновесную устойчивую ситуацию, которая играла бы роль решения некооперативной игры или явилась бы тем критерием, который позволил бы игрокам произвести справедливый дел¼ж кооперативного дохода, если бы игра допускала рассмотрение как кооперативная.

У читателя может возникнуть вопрос: а если бы игра была сформулирована так, что одни элементы плат¼жных матриц были бы положительными, а другие отрицательными, то в какой мере это повлияло бы на принцип решения подобной игры? Это никак не повлияло бы. Подобная игра с числовыми значениями разных знаков решается так же, как игра только с положительными значениями всех элементов матричных функций. Однако, чтобы не связываться с числами разных знаков, можно в игре с разнозначными элементами матриц к каждому элементу прибавить одно и то же достаточно большое положительное число (например, равное модулю значения самого большого по модулю отрицательного числа в этих матрицах). Прич¼м полученная в результате, казалось бы, новая игра только с положительными элементами плат¼жных функций имеет те же самые решения, что и исходная игра с разнозначными значениями. Поэтому всюду в дальнейшем мы используем в плат¼жных функциях только положительные числовые значе- ния.

Первый шаг к решению кооперативных или некооперативных игр и во-

A- равновесных ситуаций, которое в данной задаче зада¼тся следующими мат-

21

рицами:

Таким образом, из 12 элементов множества G существенными ( игровыми ) оказались только 5, вошедших во множество A. Любые же элементы, не вошедшие во множество A, могут быть улучшены для того или друго-

го игрока и, по существу, не являются объектами торга и не представляют серь¼зного интереса для участников (за исключением случаев, отдельно изу- ченных ниже в разделе о несимметричных равновесиях).

Поиск множеств A1 è A2 проводится следующим образом. Определим, к примеру, элементы множества A1. Очевидно, что максимальные значения в каждом из столбцов определяют элементы aij, обязательно принадлежащие множеству A1, а следовательно, в A1 входят элементы (a31, a12, a33, a34). Äàëü- нейшие элементы, входящие в A1, целесообразно искать по столбцам следующим образом. Сначала рассматривается элемент первого столбца, следующий по убыванию после максимального элемента этого столбца, т.е. элемент a21=4. Улучшить ситуацию a21 1-й участник может, попробовав перейти из ситуации a21 в ситуацию a31=10. При этом 2-й игрок попытается наказать 1-го изменением своей стратегии с первой на вторую, третью или четв¼ртую, т.е. переведя состояние игры в ситуации, соответственно, a32, a33 a34. Однако наказать 1-го игрока 2-му в этом случае не удастся, поскольку ни в одной из тр¼х ситуаций a32, a33, a34 1-й игрок не получил бы меньше, чем в исходной ситуации a21. Следовательно, ситуация a21 безусловно улучшаема для 1-ãî игрока, и поэтому она не может входить во множество A1. Ситуация же a41 тем более ненаказуема со стороны 2-го игрока, поскольку из не¼ 1-й игрок тоже переш¼л бы в ситуацию a33, т.е. улучшил бы свой выигрыш. Так что из первого столбца во множество A1 входит только один элемент a31.

Аналогичным образом просматриваются все элементы второго столбца в J1 на предмет принадлежности множеству A1 остальных элементов это- го столбца, помимо уже найденного максимального элемента a12. Оценивая ситуацию a32, видим, что из не¼ 1-й игрок мог бы перейти только в ситуа- öèþ a12. Однако в этом случае 2-й игрок имеет возможность наказать 1-го, переведя игру в ситуацию a14, в которой 1-й игрок получил бы выигрыш, равный лишь 2. Так что поскольку ситуация a32 не может быть улучшена

22

1-м игроком, то она принадлежит множеству A1. А вот ситуация a22 вполне улучшаема для 1-го игрока, поскольку он уйд¼т от наказания, если из этой ситуации перейд¼т не в ситуацию a12, а в ситуацию a32. Необходимо иметь в виду, что в аналогичных случаях всегда следует переходить не в ситуацию, в которой можно получить как можно больше (т.е. не в ситуацию a12), à â ситуацию (a32), в которой уда¼тся уйти от наказания.

В третьем столбце из ситуации a13 1-й игрок мог бы перейти только в ситуацию a33. Однако 2-й участник наказал бы его, переведя игру в ситуацию

a32, в которой 1-й получил бы 7 вместо исходного значения 8. В то же время ситуацию a43 1-й игрок вполне мог бы улучшить, переведя игру в ситуацию a33, и 2-й игрок не в состоянии был бы ему помешать. В четвертом столбце матрицы J1 ситуации a14 è a24 вполне улучшаемы для 1-го игрока, если из любой из них он перейд¼т в ситуацию a34, а следовательно, обе эти ситуации не принадлежат множеству A1.

Множество A2 на метрице J2 ищется аналогично, при этом последовательно рассматриваются элементы каждой из четыр¼х строк. Например, макси- мальный элемент a13=11 в первой строке автоматически принадлежит множеству A2. Следующий (по убыванию) элемент a14 также принадлежит мно- жеству A2, поскольку при попытке 2-го игрока перейти из ситуации a14 â ситуацию a13 1-й игрок перев¼л бы игру в ситуацию a43, в которой 2-é èã- рок получил бы всего 1. Ситуация a12 также принадлежит множеству A2, поскольку при попытке 2-го игрока перейти из не¼ в ситуации a23 èëè a14 ó 1-го игрока найдутся наказания, роль которых исполняют, соответственно, ситуации a43 è a34.

Примем теперь множество A за исходное "игровое"множество в новой,

Найд¼м для этой вспомогательной конфликтной задачи (первой итерации

23

исходной задачи) множества A11, A12, A1:

Как видим, первая итерация исходной конфликтной задачи привела к тому, что множество A-равновесий сузилось с пяти ситуаций всего до двух, т.е. мы из пяти слабо равновесных ситуаций выделили две более сильные равновесные ситуации a13 è a33. Поскольку же эти две ситуации допускают сравнение между собой (так как лежат в одном и том же столбце), то можно провести ещ¼ одну итерацию, рассмотрев вспомогательную конфликтную задачу на двухточечном множестве со следующими платежными функциями:

Íàéä¼ì A2-равновесия на второй итерации:

принадлежит множеству A21, а ситуацию a13 1-й игрок в состоянии улучшить для себя, перейдя из не¼ в ситуацию a33, и у 2-го игрока не имеется при этом возможности его наказать. У 2-го же игрока (при любой фиксированной стратегии 1-го игрока) имеется только единственный выбор третьего столбца, а следовательно, обе ситуации a13 è a33 принадлежат множеству A22.

Таким образом, предварительный вывод состоит в том, что на роль наисильнейшего равновесия в данной задаче претендует только одна ситуация

a33. Однако понятие A-равновесия не да¼т удовлетворительного представления о том, какова реальная "конкурентная сила"этого равновесия, построенного лишь на принципе, что противники (конкуренты), используя наказания, не интересуются при этом собственным выигрышем в ситуации, с помощью которой наказывают другого участника конфликта. Замечательным

24

свойством A-равновесия является то, что любые понятия равновесия с любой конкретизацией наказания противника обязательно приводят к множествам равновесий, образующих подмножества во множестве A-равновесий. Поэтому

основное внимание в данной книге уделяется получению как можно большего числа естественных понятий конфликтного равновесия. Но прежде чем обращаться к формулировкам более сильных равновесий, рассмотрим основные

свойства A-равновесия.

Теорема 1.1. Чтобы ситуация q G была Ai-экстремальной â êîí- фликтной задаче, удовлетворяющей допущениям 1.1, необходимо и достаточно удовлетворения условия

Доказательство. Достаточность. Допустим сначала, что верхняя грань в правой части неравенства в (1.2) достигается, так что максимин в (1.2)

достигается в точке (¯qi, q¯k < q¯i >). Тогда из (1.2) следует, что для любой

частности, стратегия qˆk = q¯k < qi >, доставляющая минимум функционалу Ji в сечении G(qi)), такая, что

а это и означает, согласно определению 1.1, Ai-экстремальность ситуации q . Если же допустить, что верхняя грань в некотором сечении не до-

стигается (что, между прочим, возможно лишь для исключительно редко встречающихся ситуаций q ) и что ситуация q , удовлетворяющая неравен-

ству (1.2), не принадлежит множеству Ai, то тогда из отрицания определения

1.1 следует, что найдется стратегия qi G(qk), такая, что для любой стратегии qk G(qi) окажется Ji(q ) < Ji(qi, qk), что противоречит неравенству

(1.2).

Необходимость. Пусть ситуация q удовлетворяет неравенству (1.1). Это неравенство только усилится, если в качестве стратегии qˆk < qi > взять стратегию q¯k < qi >, доставляющую функционалу Ji минимум в сечении

G(qi). Поскольку в определении 1.1 Ai-экстремальности утверждается, что неравенство (1.1) выполняется для любой стратегии qi G(qk), то, следовательно, оно сохранится и в случае, если берется то предельное значе- ние переменной qi на множестве G(qk), для которого определена величина sup Ji(qi, q¯k < qi >), равная правой части неравенства (1.2). Отсюда сле-

Ai-экстремальная ситуация q удовлетворяет неравенству (1.2)

25

Следствие 1.1. Чтобы ситуация q G являлась симметричным A-

равновесием, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись оба неравенства (1.2).

Следствие 1.2. При численном решении задач A-равновесные ситуации q ищутся приближенно, в связи с чем для приложений неважно, является ли ситуация q точно A-равновесной, или же равновесной с допустимой точностью ε, ãäå ε сколь угодно малое число.

Теорема 1.2. В конфликтной задаче существует симметричное A-равновесие с любой заданной точностью ε.

Доказательство. Поскольку каждое сечение G(qi) компактно, а функ- ционал Ji непрерывен по qi, то в каждом из этих сечений достигается максимум, а ситуации, в которых он достигается, в силу определения 1.1 являются Ai-экстремальными, а следовательно, множества A1 è A2 не пусты.

Предположим сначала, что в некоторой точке q0 = (qi0, qk0 < qi0 >) достигается максимин

Из последнего равенства в (1.4) следует неравенство

Ji(qi0, qk) ≥ Ji(q0), qk G(qi0),

а из первого равенства в (1.4) следует, что для любой стратегии qi найдется зависящая от qi стратегия qˆk < qi >, такая, что

Ji(q0) ≥ Ji(qi, qˆk < qi >).

Из неравенств (1.5) и (1.6) следует неравенство

Ji(qi0, qˆk < qi0 >) ≥ Ji(qi, qˆk < qi >), qk G(qi0),

показывающее в силу определения 1.1, что любая ситуация (qi0, qk) из сечения G(qi0) Ai-экстремальна. Из того, что в сечении G(qi0) в силу принятых допущений достигается максимум функционала Jk(qi0, qk) ïî qk в некоторой точке

qi P rQiG qk G(qi)

26

ãäå (¯qi, q¯k < q¯i >) предельная точка на множестве G, в которой определя-

ется верхняя грань ¯

Ji â (1.7).

qk<qiε> G(qiε)

откуда, в свою очередь, следует, что при любом qk < qiε > G(qiε):

С другой стороны, из (1.7) следует, что при любой допустимой стратегии qi P rQiG − Qiε, ãäå Qiε обозначает множество всех тех удовлетворяется неравенство (1.8), найдется стратегия qˆk < qi > G(qi), такая, что

¯

Полагая в (1.1a) Ji = Ji, из (1.9) и (1.10) получаем неравенство

Ji(qiε, qk < qiε >) ≥ Ji(qi, qˆk < qi >)

означающее (в силу неравенств (1.1a)), что любая ситуация (qiε, qk < qiε >) G, ãäå qk < qiε > G(qiε), Ai-экстремальна с точностью ε. А из равенств

аппроксимации) в любых конфликтных задачах с произвольными плат¼жными функциями (функционалами), определ¼нными на произвольных подмножествах произвольных пространств, то в отношении любых других по-

нятий равновесия, усиливающих понятие A-равновесия (а следовательно, составляющих различные подмножества множества ситуаций A), не возникает

никакой необходимости беспокоиться о том, в каких задачах существуют эти более сильные равновесия, т.е. не имеется никакой необходимости доказы-

вать теоремы существования для любых усилений A-равновесия, в отличие

27

от классической теории игр, в которой доказательство теорем существования известных понятий равновесия было необходимо даже не столько с чисто тео-

ретической точки зрения, сколько с практической. Поскольку A-равновесие

всегда существует, то, при наличии любого набора более сильных понятий равновесий, существующих при неизвестных условиях, имеются основания утверждать, что любая конфликтная (игровая) задача имеет решение. Однако, чем богаче набор естественных понятий конфликтного равновесия (не вносящих в игру каких-либо искусственных норм поведения участников), тем шире круг задач, в которых существует всего одно наисильнейшее равновесие.

Итак, роль наислабейшего из равновесий (при наличии любых базовых систем равновесий) может выполнять A-равновесие, существующее в любых

конфликтных задачах и выделяющее в исходном игровом множестве G подмножество G \ A, не представляющее интереса для игроков, поскольку для любой ситуации q G \ A всегда найдется игрок, который имеет возмож-

ность уйти из этой ситуации, улучшив значение своей платежной функции, и остальные участники ему не в силах помешать. Заметим, что если ситуация q Ai, òî i-му игроку нецелесообразно отклоняться от нее ввиду угрозы

со стороны другого игрока (что следует из самого определения множества Ai). Следовательно, устойчивость этой ситуации окажется тем сильнее, чем выгоднее она для другого участника (в связи с чем он тоже не станет от нее отклоняться). Это приводит к следующему естественному усилению A-

равновесных ситуаций, не вносящему никаких искусственных ограничений на поведение игроков.

Определение 1.2. Ситуацию q Ai назовем Bi-экстремальной, åñëè образующая е¼ стратегия другого игрока удовлетворяет условию

множество всех Bi-экстремальных ситуаций.

Поиск, например, множества B1 проводится следующим образом. При лю-

бом выборе 1-м игроком своей стратегии q1 из проекции P rQ1 A1 предоставляется возможность выбрать свою стратегию q2, приводящую к си- туации (q1, q2), в которой достигается максимум его плат¼жной функции J2

в сечении A1(q1). Множество B1 представляет собой объединение всех подобных ситуаций, получаемых в сечениях Ai(qi). Аналогично ищется множество

B2.

28

В отличие от множества A-равновесий множество B-равновесий может

оказаться пустым, что, однако, крайне редко встречается в задачах с двумя участниками. Но именно таким редким примером и является пример 1.1.

Согласно определению 1.2, поиск, например, множества B1-экстремальных

ситуаций проводится на множестве A1 2-ûì игроком для своей плат¼жной функции J2. Обращаясь к рис. 1.1, видим, что ситуация (q1, q2) A1 окажет- ñÿ B1-экстремальной, если в этой точке достигается максимум функции (про-

тивника) J2 в сечении множества A1, т.е. максимум функции J2 на множестве A1(q1), состоящем из двух отрезков прямых (T E) è (F U) (при фиксирован- ной точке q1). Аналогично, ситуация (q1, q2) окажется B2-экстремальной, если в сечении A2(q2) (т.е. на отрезках KW è HL) функция J1, рассматриваемая как функция аргумента q1 (при фиксированном q2), достигает максимума.

А теперь посмотрим, как этот поиск множества B1-экстремальных ситуа- ций следует проводить в отношении матричных функций J1 è J2 из примера 1.1. Поскольку ищется максимум J2 на множестве (на матрице) A1

симум J1 на множестве (на матрице) A2, то следует прежде всего наложить матрицу A1 (как некий трафарет) на матрицу J2 и матрицу A2 на матрицу J1 (в частности, можно обвести кружочком те элементы на матрице J2, êîòî- рые совпадают с элементами матрицы A1 и, аналогично, обвести кружочком те элементы на матрице J1, которые совпадают с элементами матрицы A2). В результате подобного наложения матрицы Ai на матрицу Jk, k 6= i, образуются следующие вспомогательные матрицы

первая их которых используется для нахождения множества B2 , а втораямножества B1. Определяя в матрице f1 максимум в каждом из столбцов, получаем элементы множества B2, а определяя в матрице f2 максимум в каждой строке, находим элементы множества B1:

B1 = (a13, a32), B2 = (a31, a12, a33, a24).

Отсюда получаем B = B1 ∩ B2 = , т.е. множество B в этой конфликтной задаче пусто. Однако найти наисильнейшее равновесие в этой игре помогает вышеописанная итерационная процедура, в рамках которой легко найти B-равновесия на первой итерации: B11 = (a13, a33), B21 = (a32, a33), B1 = a33.

29

Таким образом, мы нашли, что ситуация a33 является не только слабым A1- равновесием и единственной ситуацией A2-равновесия, но и существенно бо- лее сильным B1-равновесием.

Множество Bi-экстремальных ситуаций (а следовательно, и множество B) можно усилить (т.е. сузить), если допустить, что i-й игрок предлагает про-

тивнику выбирать наивыгоднейшую для него (для противника) ситуацию не в сечениях Ai(qi ), а в существенно более выгодных для противника сече- ниях G(qi ), но, однако, исключать из рассмотрения те сечения G(qi ), ìàê-

симум плат¼жной функции противника Jk в которых оказывается вне сече- íèÿ Ai(qi ). Это означает, что исключаются из рассмотрения все те сечения G(qi ) (а следовательно, и лежащие в них сечения Ai(qi )), в которых максимум функции Jk(qi , qk) в сечении G(qi ) оказывается вне сечения

этих рассуждений ясно, что получаемое в результате множество равновесий (которое назов¼м множеством C-равновесий) должно составлять лишь под-

множество во множестве B-равновесных ситуаций. Однако оказывается, что это относительно усложн¼нное определение C-равновесия в задачах с двумя

игроками (но не с тремя и более) вс¼ же оказывается более общим, чем клас- сическое равновесие по Роусу Нэшу CN , т.е. содержит в себе это последнее.

Определение 1.3. Ситуацию q Ai назовем Ci-экстремальной, åñëè образующая ее стратегия другого игрока удовлетворяет условию

множество всех Ci-экстремальных ситуаций.

Поиск множества C1 проводится аналогично поиску множества B1, íî ñî следующими особеностями. При любом выборе 1-м игроком своей стратегии q1 из проекции P rQ1 A1 2-му игроку предоставляется возможность найти максимум своей плат¼жной функции во вс¼м сечении G(qi). И если этот максимум оказывается также и в сечении A1(q1), то ситуация (q1, q2), в которой этот максимум достигается, считается принадлежащей множеству C1. Множество C1 представляет собой объединение всех подобных ситуаций, получаемых в сечениях A1(q1). Прич¼м множество C1 может быть лишь частью множества

B1.

Верн¼мся к примеру 1.1 и подсчитаем для него C-равновесие на всех ите- рациях. Чтобы найти множество C1-экстремальных ситуаций, следует наложить матрицу A1 (как трафарет) на матричную плат¼жную функцию J2 è сначала в первой строке матрицы J2 найти максимальный элемент (каковым

30