1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

Определение 1.13. Ситуацию q G назовем DiG-экстремальной, åñëè

D. Равновесия (1.1) (1.12), не учитывающие всех возможных объединений

участников в коалиции, будем называть базовой системой равновесий. Однако в задачах с тремя и более участниками к базовой системе может

быть добавлено еще множество равновесий, естественным образом расширяющих базовую систему за счет возможности образования всевозможных коалиций. Чтобы в некоторой мере упростить неизбежно довольно усложн¼нные обозначения коалиционных равновесий, нам прид¼тся в некоторых случаях использовать двусмысленные обозначения. Например, в некоторых

q является AP2 -экстремальной для конкретной коалиции из двух участников, имея в виду любую из воз-

можных коалиций, например, коалицию P12, èëè P13, èëè æå P23, а в других случаях будем говорить, что ситуация q является AP2 -экстремальной , ïîä- разумевая в последнем случае одновременную экстремальность по этим тр¼м

AP12 ∩ AP13 ∩ AP23 = AP2 -экстремальность (где опускаются слова конкретная коалиция ). Кроме того, когда говорится, к

примеру, о множестве AP2 , то в обозначении этого множества может иметься в виду как конкретная коалиция из двух участников, так и совокупность всех возможных коалиций из двух участников, если слова конкретная коалиция

опускаются. В этом последнем случае под обозначением AP2 понимается уже

пересечение множеств T 4

Aij = AP2 , а чтобы исключить недоразумения,

(i,j) P2

мы будем использовать в этом случая для множества AP2 второе обозначение A0P2 . Привед¼нные замечания относятся также и к произвольным коалициям с числом участников k.

Итак, сформулируем естественные обобщения базовых определений 1.1 1.12 на случай произвольных коалиций.

Определение 1.1a Ситуацию q = (qPk , qPN−k ) G, где под индексом Pk подразумевается любая конкретная коалиция из k участников, назовем APk -

экстремальной, если G(qPN−k ) = qPk , или каждому состоянию qPk G(qPN−k )\ qPk этой конкретной коалиции Pk можно поставить в соответствие по крайней

91

мере одно состояние qˆPN−k G(qPk ) остальных N − k участников, так, чтобы

и назов¼м эту ситуацию APk -равновесием (прич¼м в некоторых случаях будем

ций, которые можно составить из k участников. А следовательно, множество

âñåõ APk -равновесий представляет собой пересечение всех тех множеств ситу- аций, которые удовлетворяют ckN равенствам (1.1a), которые в совокупности можно рассматривать как некоторое векторное ckN -мерное равенство. При этом ситуацию q G назовем A0-равновесием, если она коалиционно экс-

тремальна для любой коалиции Pk, 1 ≤ k < N, из всего возможного числа

равновесий в задачах с тремя и более участни-

ками зачастую оказывается пустым, то создать на его основе какую-либо базовую систему конфликтных равновесий, обеспечивающую существование равновесия в любой задаче, не представляется возможным. Подобную систе-

му удалось построить лишь на основе понятия A-равновесия, существующего (по крайней мере в любой ε-аппроксимации) в любых конфликтных задачах, независимо от класса используемых в них платежных функций и множеств. A-равновесие можно получить из определения 1.1a, если рассматривать в н¼м

коалиции P1, состоящие только из одного участника.

Определение 1.2a Ситуацию q APk , где под индексом Pk подразумева-

ется любая конкретная коалиция из k участников, назовем BPk -экстремальной, если для этой конкретной коалиции выполняется равенство

ствам (1.2a), отвечающим числу всех возможных коалиций, которые можно

составить из k участников. А следовательно, множество всех BPk -равновесий представляет собой пересечение всех тех множеств ситуаций, которые удо- влетворяют ckN равенствам (1.2a).

Определение 1.3a. Ситуацию q APk , где под индексом Pk подразуме-

вается любая конкретная коалиция из k участников, назовем CPk -экстремальной, если для этой конкретной коалиции выполняется равенство

92

и назов¼м эту ситуацию CPk -равновесием, если она удовлетворяет ckN равен- ствам (1.3a).

¯

Определение 1.4a. Ситуацию q BPk назовем DPk -экстремальной, где под индексом Pk подразумевается любая конкретная коалиция из k участников, если для этой конкретной коалиции выполняется равенство

max JPk (q) = JPk (q );

q BPk

или, что то же самое, равенство

равенствам (1.4a).

Определение 1.5a. Ситуацию q CPk назовем DPk -экстремальной, если для конкретной коалиции Pk выполняется равенство

и назов¼м эту ситуацию DPk -равновесием, если она удовлетворяет всем ckN равенствам (1.5a)

и назов¼м эту ситуацию BP0 k -равновесием, если она удовлетворяет всем ckN равенствам (1.6a).

Определение 1.7a. Ситуацию q BP0 k назовем DP0 k -равновесием, если она удовлетворяет векторному ckN -мерному равенству

93

¯0-равновесием, если

Определение 1.10a. Ситуацию q A назовем C

выполняется для каждой конкретной коалиции Pk, представляя собой систе-

заменяются определениями 1.2 1.12, которые мы называем базовыми. Рассмотрим некоторые отношения между равновесиями. Прежде всего за-

метим, что эквивалентом определения 1.1 A-равновесия, как показывает ни-

жеследующая теорема, являются приведенные в ней неравенства (1.14).

Теорема 1.1. При удовлетворении допущений 1.1 чтобы ситуация q G являлась A-равновесием, необходимо и достаточно, чтобы при всех i =

Эта теорема является естественным обобщением теоремы 1.1.1 из главы 1. Очевидно, е¼ можно ещ¼ более обобщить, если допустить к рассмотрению

любые коалиции Pk. В этом случае можно сказать, что для того, чтобы ситу- àöèÿ q G являлась A0-равновесием, необходимо и достаточно, чтобы для

всех возможных коалиций выполнялись неравенства

Однако поскольку множество A0 довольно-таки редко случается непустым, то прикладное значение неравенств (1.14a) весьма сомнительно.

94

Замечание 1.2. При удовлетворении допущений 1.1 супремум в правых частях неравенств в (1.14) может не достигаться лишь в довольно-таки редких точках q . Так что можно сказать, что почти все симметричные A-

равновесия в подавляющей части прикладных задач удовлетворяют неравенствам

Чтобы надеяться на существование решения любой задачи о конфликтных взаимодействиях, необходимо показать, что среди введенных выше понятий равновесия имеется равновесие, существующее в любых задачах по крайней

мере с любой желаемой точностью ε.

Теорема 1.2. В задаче, удовлетворяющей допущениям 1.1, существует симметричное A-равновесие с любой заданной точностью ε.

Доказательство. Вследствие ограниченности функционалов Ji, i =

1, N, величина

конечна, причем из самого определения этой величины следует, с одной стороны, что для любого ε1 > 0 найдется стратегия q1ε1 P rQ1 G, такая, что

откуда следует

множество всех стратегий q1ε1 , удовлетворяющих неравенству (1.17), то для

Однако из последних неравенств, если их сравнить с неравенством (1.1) при i = 1, следует, что любая ситуация (q1; q1ε1 ) G, ãäå q1 G(q1ε1 ), является

A1-экстремальной с точностью ε1. Далее, рассмотрим величину

95

из самого определения которой следует, по аналогии с вышепроведенным рассмотрением величины J10, что для любого ε2 > 0 найдется стратегия q2ε2 P rQ2 G(q1ε1 ), такая, что

J2[ˆq3 . . . qˆN ; q1ε1 ; q2] ≤ J20 − ε2 ≤ J2[q3 . . . qN ; q1ε1 ; q2ε2 ].

С учетом определения 1.1 отсюда получаем, что все ситуации (q3 . . . qN ; q1ε1 ; q2ε2 ) G(q1ε1 , q2ε2 ) являются A2-экстремальными с точностью (ε1, ε2). А поскольку множество G(q1ε1 , q2ε2 ) является подмножеством множества G(q1ε1 ), которое, как показано выше, является A1-экстремальным с точно- ñòüþ ε1, то отсюда следует, что любая ситуация из множества G(q1ε1 , q2ε2 ) оказывается одновременно A1- è A2-экстремальной с точностью (ε1, ε2). Продолжая этот процесс, получаем точку (q1ε1 , . . . , qNεN ) G, которая оказыва-

Òåîðåìà 1.3. При выполнении допущения 1.1 и компактности множеств Ai, i = 1, N, множество равновесных по Нэшу ситуаций оказывается под-

множеством множества ¯0-равновесий.

C

Доказательство. Пусть q равновесная по Нэшу ситуация. Тогда, если учесть, что Ai G è A(qi ) G(qi ) и тот очевидный факт, что если максимум некоторого функционала достигается в некоторой точке из G и эта точка принадлежит компактному множеству A G, то максимум этого функционала на множестве A окажется в этой же точке, то, с одной стороны, справедливы неравенства

следующие из определения операции максимума.

Но из неравенств (1.19) и (1.20) следует, что если q равновесная по Нэшу ситуация, то неравенства (1.19) обращаются в равенства, а следовательно, эта ситуация равновесна также и в смысле (1.10)

Заметим, что приведенной выше базовой системы равновесий все же недостаточно, чтобы обеспечить единственность решения любой игровой зада- чи. Наибольшая брешь между вышеприведенными понятиями равновесия лежит между A- è B0-равновесиями. Чтобы в какой-то мере заполнить эту

брешь, дополним приведенную выше систему равновесий еще и равновесием по Вайсборду [9, с. 142 143].

96

Определение 1.14 [9, c. 142 143]. Скажем, что коалиция Pk имеет

возражение, если она может изменить предложенную ситуацию q íà ñè- туацию (qPN−k , qPk ), ãäå qPk G(qPN−k ), òàê, ÷òî

а остальные игроки имеют контрвозражение, если существует ситуация qPN−k G(qPk ), такая, что

Равновесием возражений и контрвозражений (равновесием по Вайсборду, или, короче, AB-равновесием) назовем ситуацию q G, в которой или

отсутствуют возражения у игроков, или, если они имеются, на всякое возражение любого игрока найдется контрвозражение у остальных.

Непосредственно из определений равновесий следует, что всегда AB A, причем равновесие по Нэшу оказывается подмножеством множества AB- равновесий. Множество AB, казалось бы, весьма привлекательное с интуитивно-

содержательной точки зрения, вопреки ожиданию, во-первых, может не вклю- чать в себя интуитивно заведомо наилучшие для всех игроков ситуации, являющиеся устойчивыми в смысле базовой системы (1.1)-(1.12), как это демонстрируется на приведенном ниже примере с тремя учатниками, во-вторых, множество AB лишь незначительно меньше множества A, причем для его

сужения необходима разработка какой-то новой иерархической системы естественных понятий равновесия, однако делать это не имеет смысла, поскольку, в-третьих, множество AB может быть пустым. Однако множество AB âñ¼ æå

может быть полезно использовать в качестве еще одного базового равновесия, причем особенно в тех случаях, когда найти единственное решение не уда¼тся.

Заметим, что поиск множества AB-равновесий еще более трудоемок, чем поиск весьма трудоемкого в вычислительном отношении множества A- равновесий. Если множество AB использовать в качестве одного из базовых равновесий (в предположении, что множество A уже найдено), то вопрос о его

существовании перестает иметь значение, поскольку возможность находить равновесие (решение) в любых некооперативных играх основывается на том,

что в любой игре существует (по крайней мере с точностью ε) A-равновесие.

Теорема 1.4. В играх с N участниками между равновесиями, задава-

емыми определениями 1.1 1.12, имеют место следующие иерархические связи:

97

Доказательство. Большая часть зависимостей между равновесиями была доказана в первой главе, и эти зависимости сохраняются и для конфликтных задач с любым числом участников. Поэтому докажем только те зависимости между равновесиями, которые требуют своего уточнения для задач с

тремя и более участниками. Покажем, что всякая B-равновесная ситуация является также B0-равновесной,

Пусть множество B не пусто и q B. По определению множества B в ситуации q достигаются N максимумов в (1.2). Отсюда следует, во-первых,

T

i=1

удовлетворяются также и N условий (1.6). А эти последние говорят о том, что ситуация q является также и B0-равновесной. Следовательно, любая B- равновесная ситуация является также и B0-равновесной. И эта зависимость имеет место на любой итерации, поскольку на любой k-й итерации как бы

заново решается новая конфликтная задача на исходном игровом множестве

Ak.

Заметим, что непосредственно из определений равновесий следует, что на любой итерации множество B0-равновесных ситуаций содержит в себе мно-

жество D0-равновесных ситуаций, а множество B-равновесных ситуаций со-

держит в себе множество ¯

D-равновесных ситуаций.

Покажем, что базовое ¯ 0-равновесие содержит в себе базовое ¯

D D- равновесие. На эту зависимость между этими равновесиями указывает уже

тот факт, что в самом своем определении ¯ 0-равновесие содержит элементы

D

определения ¯ ¯ ¯ 0-равновесий сле- D-равновесия. Из самих определений D- è D

¯

дует, что они, когда существуют, содержатся во множестве A, поскольку D-

è ¯ 0-равновесные ситуации определяются, в конечном итоге, на пересечении

D

98

множеств Ai, ò.å. íà A. Кроме того, аргумент функции Ji â (1.4) è (1.8) îäè-

наков. Однако в случае базового ¯

D-равновесия множество P rQiAi значений аргумента функции Ji в (1.4) включает в себя множество Ai(qi ) значений

¯ 0 ¯ аргумента Ji в (1.8). Отсюда следует, что D D. В самом деле, пусть q

¯

D-равновесная ситуация. Это означает, что в точке qi функция Ji, согласно

(1.4), достигает максимума на множестве P rQiAi. Если же учесть, во-первых, что сечение множества Ai в точке q = (qi , qi ) представляет собой

подмножество множества P rQiAi, во-вторых, что max Ji на этом последнем множестве достигается, согласно (1.4), в точке qi è, в-третьих, что если теперь рассматривать точку (qi , qi ) не на множестве P rQiAi, а на его подмножестве Ai(qi ), то на этом подмножестве она также обеспечивает максимум функции Ji, что означает, согласно (1.8), что ситуация (qi , qi ) оказывается также и

¯ 0-равновесием.

D

Легко видеть, что, используя понятие A-равновесия, можно построить счетную систему усиливающихся Ak-равновесий, такую, что Aki +1 Aki , i =

ходное игровое множество в некоторой вспомогательной игре 1-й итерации, то в этой игре можно найти A1i -экстремальные ситуации и A1-равновесие, èã- рающие в ней ту же роль, какую в исходной игре играют соответственно мно-

ционный процесс, на k-й итерации определяется множество Ak-равновесных ситуаций, причем Ak+1 Ak.

Получаемое на k-й итерации Ak-равновесие более сильное, чем Ak−1-

равновесие на предыдущей итерации, в то время как подобные же итерации, проводимые в отношении более сильных равновесий, почти всегда приводят к иерархическим цепочкам не усиливающихся, а ослабляющихся равновесий.

мождать доказательство лишними деталями, предположим, что все множества Ak, k = 0,1,2,..., компактны.

¯0 ¯1 также. Из самого определения Убедимся, что если q C , òî q C

¯0

C -равновесия следует, что q A. Прежде всего, по аналогии с тем, как в

хотя бы одно из равенств (1.3), в которых множество A заменено на A1. Îä- нако это невозможно, если учесть, что точка q является точкой максимума функций Ji в сечениях q A1 A è ÷òî qi A1(qi ) A(qi ) (ò.å.

99

если учесть, что если максимум некоторой функции Ji достигается в точке qi некоторого компактного множества A(qi ) и эта точка принадлежит также компактному подмножеству A1(qi ) этого множества, то максимум функции

Ji íà A1(qi ) достигается в той же точке qi ).

Учитывая, что A-равновесие (по крайней мере, в ε-аппроксимации) существует в любой задаче и что любая ситуация из множества G\A всегда может

быть улучшена для себя по крайней мере одним из участников, вполне естественно пренебречь этим несущественным множеством и заново исследовать игру, определяя в ней равновесия типа (1) (8) и любые другие, принимая за

исходное игровое множество теперь уже не множество G, а множество A, è

называя найденные на нем равновесия равновесиями 1-й итерации. Затем на множестве A1, как на исходном игровом множестве, можно поставить вто-

рую вспомогательную задачу, и т.д. Вследствие того, что любое множество Ak никогда не бывает пустым (в ε-аппроксимации), эта итерационная схе-

ма позволяет в любой конфликтной задаче найти наисильнейшее равновесие, которое, благодаря множеству типов равновесий (1.1) (1.12), (1.1a) (1.12a) и итерационной схеме их применения, почти всегда оказывается единственным. Смысл подобного итерационного подхода к решению задачи в том, что на каждой следующей итерации те равновесия, которые были пустыми на предыдущей итерации, могут уже оказаться не пустыми и выявить наисиль-

нейшее равновесие. Это связано с тем, что на каждой следующей (K + 1)- й итерации почти всегда и почти все типы равновесий, усиливающие Ak-

равновесие, становятся более слабыми (т.е. более многочисленными), в то время как Ak+1-равновесия усиливаются (т.е. множество Ak+1 не может быть

больше множества Ak).

В общем случае поиск наисильнейшего равновесия в задачах с любым числом участников упрощается за счет того, что на каждой следующей итерации слабейшие из равновесий (типа Ak) усиливаются (т.е. множества Ak îò èòå-

рации к итерации становятся вс¼ более меньшими по размерам), а остальные более сильные типы равновесий, наоборот, почти всегда ослабляются (т.е. включают в себя вс¼ больше и больше ситуаций, прич¼м если на некоторой предыдущей итерации они оказывались пустыми, то на следующей итерации могут уже стать непустыми и на следующих итерациях увеличиваться в

Ak включает в себя все наисиль-

нейшие равновесия. В связи с этим если исходная конфликтная задача состоит из конечного множества элементов, то, нередко, проще всего оказывается найти сначала предельное множество Ak, а затем уже на некоторых предше-

100