1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

Ðèñ. 3.4.

171

коалиций состоит из главной выигрывающей коалиции (1,3)= P 1, участники которой к своим гарантированным выигрышам w(1) è w(3) имеют возможнолсть добавить часть величины w = w(1,3) - w(1) - w(3) = 4, которую делят между собой отношении [0, 1], и из коалиции P 2, содержащей всего одно- го 2-го игрока, который может рассчитывать лишь на свой гарантированный выигрыш w(2)=4. Поскольку

J1 = w(1, 2, 3) − w(1, 3) − w(2) = 17 − 13 − 4 = 0,

то коалициям P 1 è P 2 делить между собой нечего, а следовательно, S-решение задается дележами:

x1 = 4 + 4 , x2 = 4, x3 = 5 + 4(1 − ).

Это решение изображается на рис. 3.4 отрезком kl.

Найдем классическое общее NM-решение, пользуясь аксиомой доминировани и определением NM-решения. Согласно аксиоме доминирования имеем

x1 + x2 ≤ w(1, 2) = 8, x1 > x¯1, x2 > x¯2; x1 + x3 ≤ w(1, 3) = 13, x1 > x¯1, x3 > x¯3; x2 + x3 ≤ w(2, 3) = 12, x2 > x¯2, x3 > x¯3.

Общее NM-решение состоит из отрезка ln, каждая точка которого не доминируется никакими дележами вне его (а следовательно, представляющего собой классическое C-ядро), и из бесконечного множества частных NM- решений, представляющих собой кривые типа ny на рис. 3.4, касательная в каждой точке которых составляет с нормалью к отрезку km угол не более 300. S-решение в этой задаче оказывается частью NM-решения.

Если в этой задаче воспользоваться для нахождения NM- è S-решений характеристической функцией v, то множества решений оказываются гораздо более обширными.

4. Кооперативная теория игр без использования характеристической функции.

Для радикального разрешения проблемы поиска понятия решения (справедливого дележа) в кооперативных играх необходимо предварительно построить совершенную теорию конфликтных равновесий, опираясь на которую можно надеяться удовлетворительно опеределить понятие справедливо-

го дележа. По существу как в классической NM-теории, так и в S-теории

172

все используемые аксиомы (кроме аксиомы (1.6)) и само понятие х.ф. вводятся только для того, чтобы обеспечить устойчивость решения-дележа. Однако обеспечить устойчивость могла бы только достаточно полная теория конфликтных равновесий.

С помощью изложенной в главах 1 и 2 теории конфликтных равновесий открывается возможность построить теорию кооперативных игр [69, 78, 80], не использующую понятия характеристической функции (х.ф.), явившейся основной причиной неудовлетворительности всех известных на сегодня теорий кооперативных игр и в наибольшей степени классической теории Неймана Дж. и Моргенштерна О.

До сих пор все попытки строить теории кооперативных игр основывались на использовании характеристической функции игры (1.3), игравшей роль основополагающей аксиомы, и, надо заметить, все эти попытки не увенчались сколько-нибудь приемлемым успехом.

Основная причина неудачи лежит в том, что построение удовлетворительной кооперативной теории невозможно без предварительного построения надежной теории конфликтных равновесий, без которой не представляется реальным найти устойчивый раздел (дел¼ж) кооперативного дохода между участниками кооперации, т.е. такой, с которым все они вынуждены были бы согласиться и не имели бы оснований для выхода из кооперации.

Âэтом разделе предпринимается попытка построения кооперативной теории на основе как можно более богатого множества понятий конфликтных равновесий, заменяющих собой х.ф. игры и любые аксиомы. Дело в том, что чем более богатое множество конфликтных равновесий используется, тем больше возможностей получить если и не единственную наисильнейшую равновесную ситуацию, то по крайней мере максимально узкое множество ситуаций равновесия, каждое из которых представляет собой наисильнейшее из существующих равновесий, а это, в свою очередь, обеспечивает получение решения кооперативной игры если даже и не в виде единственного дележа, то, по крайней мере, в виде достаточно узкого множества дележей, во всяком случае, существенно более узкого и притом гораздо более устойчивого и приемлемого для все игроков, чем обеспечивают известные теории кооперативных игр, основанные на понятии х.ф.

Âнекоторых задачах для определения справедливого дележа в кооперативной игре на основе теории конфликтных равновесий потребуется использовать также понятие оптимальной последовательности коалиций (2.2), ос-

нованной на определении (2.1) функции π(Pk) из раздела 2.

173

Последовательность оптимальных коалиций P 1, P 2, P 3, . . . , P ω â (2.2) ââî-

дит следующие естественные ограничения на справедливый дележ кооперативного дохода, которые, однако, достигаются и требуют своего уч¼та лишь в очень редких задачах:

Теорема 4.1. Пусть JPN (q0) = v(PN ) максимальный доход кооперации из N игроков, а q единственное наисильнейшее равновесие. Тогда спра-

ведливый дележ x1 + . . . + xN = v(PN ) задается следующими равенствами с учетом неравенств (4.1):

причем если кооперативный доход достигается в равновесной ситуации q , ò. å. åñëè v(PN ) = JPN (q ), то кооперативная игра (как следует из форму-

лы (4.2)) имеет единственное решение (справедливый дележ), задаваемое, в случае ненарушения ограничений (4.1), равенствами xi = Ji(q ), опреде-

ляющими непосредственно выигрыши игроков в этой ситуации. Если же дележ (4.2) не удовлетворяет ограничениям (4.1), то ищется совмест-

ное решение системы (4.1), (4.2). А если в задаче не одно, а множество Q наисильнейших почти равноценных равновесий, то полное множество

претендующих на решение дележей в кооперативной игре получается подстановкой в вышеприведенные формулы всех ситуаций q Q по очереди.

Однако устраивающий всех участников единственный справедливый дележ в игре всегда может быть получен с учетом ранжирования силы равновесий. В частности, в случае существования в игре m почти эквивалентных наисильнейших равновесий (q1 , . . . , qm ), существенно более сильных, чем

существующие в игре другие равновесия, справедливый дележ кооперативного дохода находится из совместного решения системы неравенств (4.1)

174

и следующих равенств

k=1

Заметим, что неединственность последовательности оптимальных коалиций в (4.1) формально порождает и неединственность дележа. Однако эта неединственность всегда разрешима. Разрешимость подобной формальной неединственности демонстрируется ниже на примерах.

Доказательство. Покажем, что в случае выхода из кооперации свою справедливую долю от кооперативного дохода не в состоянии улучшить ни один из участников, т.е. дележи (4.2) и (4.3) обеспечивают устойчивое решение кооперативной игры при удовлетворении ограничений (4.1) даже в случае неединственной последовательности оптимальных коалиций.

Если в игре только одна ситуация сильного равновесия, в которой достигается и ситуация кооперативного выигрыша (между прочим, это случается далеко не редко: например, в тех случаях, когда в кооперативной ситуации выигрыши всех участников не очень сильно различаются по величине), то справедливый (т.е. устойчивый и не имеющий для участников иных альтернатив) дел¼ж (4.2) обеспечивают сами выигрыши игроков в равновесной ситуации, если ограничения (4.1) не нарушаются, поскольку независимо от того, кооперируются они или нет, они гарантированно получают свой выигрыш в этой равновесной ситуации. Для сравнения заметим, что в коперативной теории Неймана Моргенштерна этот естественный справедливый равновесный выигрыш (дел¼ж) никогда не мог бы быть найден, вследствие континуумиального множества дележей в этой теории, претендующих на право называться справедливыми, и отсутствия критерия отбора на этом множестве действительно единственного справедливого (устойчивого по отношению к возможным его переделам) дележа. Что же касается "справедливого"дележа по Шепли, то, как правило, он не совпадает с указанным наисильнейшим равновесием, а следовательно, не является устойчивым к возможным его переделам, в связи с чем и не может называться справедливым. Если же дел¼ж (4.2) нарушает ограничения (4.1), но при этом последовательность оптимальных коалиций в (4.1) единственна, то уравнения и неравества (4.1) и (4.2) решаются совместно и приводят к скорректированному (за свет неравенств (4.1)) дележу. В случае же более одной последовательности оптимальных коалиций в (4.1) формально образуется и столько же возможных дележей, из

175

которых, однако, всегда может быть найден единственный.

Если же ситуация единственного наисильнейшего равновесия не совпадает с ситуацией кооперативного дохода, то любому из участников невыгодно отказываться от дележа, определяемого формулами (4.1), (4.2), поскольку отказ от кооперации означает, в конечном счете, переход игры в равновесную ситуацию, в которой все участники получают меньше, чем в соответствии со справедливым дележом. Относительный выигрыш каждого участника в равновесной ситуации, в которой игра неизбежно оказывается в случае отказа от кооперации, служит основой разумного (справедливого) раздела, определяемого формулами (4.1) и (4.2).

В случае нескольких наисильнейших равновесий раздел кооперативного дохода производиться по формуле (4.3) (с учетом (4.1)), которая естественным образом обобщает формулу (4.2), учитывая выигрыши участников в группе наисильнейших равновесий. Поскольку дробная часть формулы (4.3)

определяет усредненную долю от суммарного выигрыша i-го участника в m

наисильнейших равновесиях, то в случае его отказа от дележа (4.3), остальные игроки имеют возможность перевести игру в одну из ситуаций наисильнейшего равновесия, где его выигрыш меньше, чем получаемая им доля от дележа, определяемого формулой (4.3) (с учетом ограничений (4.1)).

Продемонстрируем возможности применения этой теоремы для определения справедливого дележа в кооперативных играх на некоторых характерных примерах игровых задач с двумя и тремя участниками. Для решения этих примеров необходимо использование различных типов равновесий, введ¼нных в предыдущих главах.

Обратимся сначала к простейшему примеру из первого раздела с плат¼жными матрицами (1.8) и найдем в н¼м основные базовые равновесия: A1 =

(a11, a12, a21), A2 = (a12, a21, a22), A = (a12, a21); B1 = B2

¯ ¯ ¯ 0 0 0 =

C1 = C2 = C = D1 = D2 = D = a21; D1 = D2 = D = D1 = D2 = D a12. Таким образом, в этой игре имеется два наисильнейших равновесия рав-

новесие по Нэшу a21, совершенно не устраивающее обоих игроков, и не менее

сильное равновесие a12, в наибольшей степени устраивающее обоих участни- ков. Ситуация a12 обеспечивает участникам максимальные устойчивые выигрыши, которые в отсутствие кооперации не могут быть ими улучшены, и в то же время в этой ситуации достигается также и кооперативный выиг- рыш, равный 1, 8 · 1010, справедливый раздел которого (согласно теореме 1)

обеспечивают сами выигрыши участников в этой ситуации.

Рассмотрим аналогичный пример с немного (но существенно, с точки зре-

176

ния кооперативной теории) иными матричными плат¼жными функциями:

В стратегическом отношении эта игра абсолютно не отличается от игры с плат¼жными функциями (1.8) и все равновесные ситуации в ней те же самые. Отличие лишь в том, что кооперативное решение (в сумме одного триллиона) достигается в этой игре в совершенно неустойчивой (неравновесной) ситуации

a22, в которой 1-й игрок получает всю эту сумму, а 2-й не получает ничего. Понятно, что 2-й игрок никогда не позволит этой ситуации реализоваться, если участники заранее не договорятся о разделе выигрыша в этой ситуации. А следовательно, тот факт, что 1-й получает все, а 2-й ничего, не дает 1-му никакого преимущества перед 2-ым, поскольку именно от 2-го зависит этот выигрыш 1-го. В над¼жно удовлетворяющей обоих наисильнейшей равновесной ситуации a12 каждый из них выиграл бы, соответственно, 8 и 9 миллиардов. Однако, если бы они договорились разыграть кооперативную ситуацию a22, обеспечивающую выигрыш в один триллион, и договорились о справедливом разделе кооперативного выигрыша, то смогли бы получить личные доходы во много раз большие.

Но как справедливо разделить между собой этот триллион? Теория Неймана Моргенштерна не дает ответа на этот вопрос, поскольку считает справедливыми (равноценными) любые дележи в рассматриваемой игре, а "вектор"Шепли в общем случае не обеспечивает устойчивости дележа. Однако, основываясь на своих выигрышах в наисильнейшей равновесной ситу-

àöèè a12, участники наверняка могут договориться разделить триллионный кооперативный выигрыш в той пропорции, в какой соотносятся между собой их выигрыши в конфликтно устойчивой и выгодной для них обоих ситуации (a12), т.е. в пропорции (8:9), поскольку в случае несогласия любого из них на подобный дележ игра всегда может быть переведена (согласно теореме 4.1) в одну из равновесных ситуаций (причем в отсутствие кооперации взаимно выгодной для них является только ситуация a12). Òàê ÷òî òîò ôàêò, что всю сумму кооперативного дохода формально выигрывает 1-й игрок, а 2-й не выигрывает ничего, не дает 1-му никакого преимущества. Не дает 1-му никакого преимущества и ссылка на то, что в этой игре имеется еще и вторая столь же устойчивая ситуация a21 (равновесная по Нэшу), в которой его выигрыш вдвое больше (2 против 1), чем у 2-го. Но поскольку 1-й не захотел бы получить эти 2 по сравнению с почти половиной триллиона в случае коопера-

177

q3

6

J(9,3,7) J(8,3,4)

N P

Ðèñ. 3.5

тивного дележа, то у него реально не имеется никаких шансов рассчитывать на дележ в более выгодном отношении, чем (8:9), разве что с поправкой в размере 2 в соответствии с формулой (4.3), возникающей в связи с тем, что в

игре имеется еще и вторая ситуация сильного равновесия a21. В самом деле, ведь в отсутствие кооперации только ситуация a12 взаимно выгодна для обо- их и устойчива в этой игре, и ни один из них реально не в состоянии получить выигрыш больше, чем в этой ситуации.

Продемонстрируем возможности применения Теоремы 4.1 для определения справедливого дележа в кооперативных играх в задачах с тремя участниками на наиболее интересных примерах игр, в первом из которых имеются две практически эквивалентные равновесные ситуации, существенно разли- чающиеся по выигрышам в них всех участников.

Пример 4.1. Рассмотрим игру с тремя участниками, каждый из которых располагает всего двумя стратегиями. Пусть J = (J1, J2, J3) платежная вектор-функция в этой игре. Поскольку стратегия qi(t) i-го участника принимает всего два значения, то каждая из функций Ji принимает всего 8 значений, которые при расчете равновесий удобно изобразить в трехмерном пространстве, например, в виде параллелограмма на рис. 3.5 с вершинами E,

F , H, K, L, M, N, P , в которых значения функций Ji(q1, q2, q3) суть следующие:

J(E) = (3,4,9), J(F ) = (0,9,4), J(H) = (3,4,8), J(K) = (2,4,8), J(L) = (3,2,5), J(M) = (7,7,5), J(N) = (9,3,7), J(P ) = (8,3,4).

Обращаясь к рис. 3.5, найдем в сформулированной задаче сначала все

178

базовые равновесия:

A1 = (E, H, K, L, M, N, P ), A2 = (E, F, H, K, M, N, P ),

A3 = (E, F, H, K, L, M, N, P ), A = (F, H, K, M, N, P ),

B10 = (E, H, K), B20 = (M, N, P ), B30 = (E, H, M), B0 = , A12 = (F, M, N, P ), A13 = (E, M, N, P ),

A23 = (E, F, H, K, M), A0P2 = (M), A0 = A ∩ A0P2 = (M),

B12 = (M, N, P ), B13 = (E, M, N, P ), B23 = (E, H, K, M), BP2 = BP0 2 = (M), B ∩ BP2 = B0 ∩ BP0 2 = .

Найденные базовые равновесия приводят к предварительному выводу, что в качестве одного из возможных кандидатов на роль наисильнейшего равно-

весия выступает ситуация (M). Найдем базовые равновесия на 1-й итерации, т.е. равновесия в игре, рассматриваемой только на множестве ситуаций A, которые позволят как уточнить силу равновесия ( M), так и выявить новые равновесия. Соответствующие расчеты игры на множестве A приводят к следующим равновесиям

A11 = A12 = (E, H, K, M, N, P ), A13 = (E, H, K, M) = A1,

туацию (M), но еще и ситуацию (E). Это означает, что множество ситуаций A0 в этой задаче сильнее множества ситуаций A01. А следовательно, ситуация (E) рассматриваемая как A0-равновесная ситуация, немного слабее ситуации (M). С другой стороны, на множестве A01-равновесных ситуаций (E, M) ñè- туация (E) оказалась DA1- è B01 ∩ BP012 -равновесной, в то время как ситуация (M) таковой не является. Это говорит о том, что ситуации (E) è (M) почти эквивалентны.

Âигре два практически эквивалентных наисильнейших равновесия (E)

è(M). Дележ кооперативного дохода в размере 19 (независимо от того, в

какой из ситуаций (M) èëè (N) игроки его получают) производится с уче- том только выигрышей участников в равновесных ситуациях ( E) è (M). Â

179

случае же несогласия кого-либо из участников с этим дележом игра может быть переведена в одну из равновесных ситуаций, причем в ту, в которой выигрыш несогласного с дележом участника оказывается меньше его доли при справедливом дележе.

Прежде чем искать справедливый дележ, найдем предварительно характеристическую функцию игры и последовательность оптимальных коалиций, которая предъявляет к дележу некоторые ограничения:

v(1) = 2, v(2) = 3, v(3) = 4, v(1, 2) = 9, v(1, 3) = 12, v(2, 3) = 12. π(1, 2) = 2, π(1, 3) = 3, π(2, 3) = 5/2.

Максимальное значение π= 3 достигается только для одной коалиции (1,3) = P 1 (а следовательно, в данной игре имеется всего одна последовательность

оптимальных коалиций). Поскольку игроков всего 3, то роль второй оптимальной коалиции P 2 выполняет игрок 2. Оптимальная коалиция P 1 = (1,3)

гарантирует себе выигрыш в размере 12, а оптимальная коалиция P 2 = (2) ãà- рантирует себе выигрыш в размере 3, а следовательно, дележ кооперативной игры должен удовлетворять ограничениям x1 + x3 ≥ v(1, 3) = 12, x2 ≥ 3.

Так как в этой игре два равноценных равновесия ( E) è (M), то, применяя формулу (4.3), получаем

Этот дележ удовлетворяет ограничениям (4.1), налагаемым оптимальными коалициями, и является справедливым. В самом деле, если в отсутствие

кооперации в игре реализуется устойчивая ситуация ( E), то 1-й игрок получа-

ет выигрыш всего лишь 3 вместо его кооперативной доли 5,4, а 2-й получает 4 вместо его доли 6. А если 3-й игрок не согласен со своей долей 7,6, то 1-й

и 2-й игроки вполне могут перевести игру в устойчивую ситуацию ( M), â

которой выигрыш 3-го окажется всего лишь 5.

Заметим, что ограничения (4.1), предъявляемые оптимальными коалициями, довольно редко оказывают влияние на формулы (4.2) и (4.3). Однако следующий пример демонстрирует возможность подобного влияния.

Пример 4.2. Рассмотрим игру с тремя участниками, в которой платежные функциим игроков принимают следующие значения: J(E) = (5,6,5), J(F )

=(3,5,6), J(H) = (2,8,3), J(K) = (4,7,5), J(L) = (7,1,6), J(M) = (8,4,5), J(N)

=(4,3,4), J(P ) = (6,2,6). Все 8 возможных ситуаций и значения платежных функций в них изображены на рис. 3.6 в системе координат (q1, q2, q3), ãäå qi

180