1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

ративной теории, они могли опереться лишь на предложенное первым автором при разработке им теории антагонистических игр в 1928 г. понятие

максимина, которое в случае N участников принимает вид

4

v(Pk) = sup inf JPk (zPk , zPN−k ),

zPk zPN−k

(Pk PN−k = PN , Pk ∩ PN−k = ),

P

ãäå JPk = Ji, Pk коалиция из k участников, zPk стратегия коалиции

i Pk

Pk.

Эта функция, названная характеристической функцией игры, задает верхнюю грань выигрышей, которую может с любой точностью обеспечить себе

коалиция Pk даже в случае ангонистического по отношению к ней поведения остальных N −k игроков. Сначала Дж.Нейман и О.Моргенштерн надеялись, что более или менее приемлемую устойчивость дележа x1 + . . . + xN коопера-

тивного дохода max JPN = v(PN ) можно обеспечить, если потребовать, чтобы этот дележ (который они предполагали принять в качестве решения коопе-

ративной игры) для всех возможных коалиций Pk удовлетворял условиям

P

xi ≥ v(Pk). Однако этим условиям, определяющим некоторое множество

i Pk

эквивалентных решений (названных впоследствии C-ядром кооперативной

игры), в большинстве игр не удовлетворяет ни один дележ, а в тех играх, в которых указанные условия удовлетворяются, число допустимых дележей оказывается слишком богатым.

Стремясь обеспечить существование решения любой игры, они допускают

к рассмотрению также и дележи P

xi ≤ v(Pk) для коалиций Pk с числом иг-

i Pk

роков 1 < k < N, называя подобные коалиции эффективными . А поскольку

получаемое в результате этого множество эффективных дележей не только велико, но и совершенно неудовлетворительно в содержательном отношении, то из него они пытаются отобрать наиболее предпочтительные дележи, которые можно было бы рассматривать в качестве решения игры. Этот отбор осуществляют с помощью введенного ими понятия доминирования , позволяющего выделить на этом множестве множество дележей, которое, как они надеялись, можно было бы рассматривать в качестве решений игры. Однако построенное Дж.Нейманом и О.Моргенштерном [33] понятие решения коопе-

ративной игры, основанное на х.ф. v и на указанной выше аксиоме домини-

рования , оказалось неудовлетворительным сразу в нескольких отношениях. Во-первых, указанные выше ухищрения с целью обеспечения непустоты ре-

11

шения любой игры оказались тщетными, так как позднее был найден пример игры, не имеющей решения Дж.Неймана и О.Моргенштерна. Во-вторых, если решение существует, то в общем случае состоит из очень богатого семейства так называемых частных решений , каждое из которых, в свою оче- редь, состоит из богатого множества дележей , причем значительная часть дележей-решений оказывается совершенно неудовлетворительной (неустой- чивой) с интуитивно-содержательной точки зрания; в то же время с точки

зрения приложений интересен только один устойчивый дележ (x1, . . . , xN ), представляющий собой единственное решение игры, т.е. единственный раздел кооперативного дохода v(PN ), удовлетворяющий всех участников игры. В-третьих, дележи из одного частного решения могут доминировать (т.е. быть предпочтительнее) над дележами из другого частного решения , что в совокупности с возможностью пустоты множества решений и чрезвычайной трудностью нахождения дележей-решений (неоценимо возрастающей с ростом числа игроков) делает решение Дж.Неймана и О.Моргенштерна совершенно неинтересным с точки зрения приложений.

Как показала история, невозможно построить удовлетворительную теорию кооперативных и некооперативных игр, не располагая достаточно разработанной теорией конфликтных равновесий. Когда в 1928 г. Дж.Нейман и О.Моргенштерн приступили к созданию подобной теории, в их распоряжении были только понятия максимина и минимакса в простейшем выражении. В том же 1928 г. Роусом [106] для моделей рынков, описываемых дифференциальными уравнениями, было сформулировано в неявной форме понятие неантагонистического равновесия, переоткрытое заново Дж.Нэшем, не знавшим о результатах Роуса, в 1951 г. [102]. И только в 1974 г. Э.Вайсбордом было сформулировано еще одно весьма полезное понятие угроз и контругроз [9], не содержащее в своем определении каких-либо искусственных норм поведения, согласно которому некоторая ситуация в игре устойчива, если на любую попытку коалиции увеличить свой выигрыш найдется ответ остальных участников игры, такой, что в окончательно реализовавшейся ситуации эта коалиция получит не больше, чем в исходной ситуации, а все остальные получат больше, чем в промежуточной ситуации, в которую пыталась перейти стремившаяся улучшить свой выигрыш коалиция. Заметим, что все остальные известные до 1980 г. понятия равновесия носят весьма искусственный характер, так как содержат в своем определении искусственно навязываемые игрокам нормы поведения, и не годятся для создания удовлетворительной теории кооперативных и некооперативных игр, в связи с чем на них

12

мы не останавливаемся.

Все перечисленные понятия равновесия, не вносящие в задачу каких-либо искусственных норм поведения, как взятые порознь, так и в любых своих комбинациях, не позволяют, однако, обеспечить не только единственность решения любой некооперативной или кооперативной игры, но даже существование решения. Для построения сколько-нибудь удовлетворительной теории кооперативных и некооперативных игр необходимо опереться на гораздо более богатое множество понятий равновесия, не вносящих в задачу каких-либо искусственных норм поведения игроков, среди которых обязательно должно быть понятие равновесия, непустого в любых игровых задачах. Удовлетворительную теорию конфликтных равновесий удалось создать лишь к началу XXI века в работах [43 83].

В предлагаемом читателям издании рассматривается весьма богатое множество понятий конфликтного равновесия, охватывающее результаты работ вплоть до 2009 г, которые позволили заложить основы теории конфликтных равновесий и теории игр, в которой любая игровая задача имеет решение и, как правило, всего единственное. Построенная теория конфликтных равновесий позволила с единых позиций подойти к решению всех возможных типов игровых задач антагонистических, некооперативных, кооперативных и задач принятия или отказа участников от сделанного им предложения. Теоретический материал излагается в предельно элементарной форме и снабж¼н большим количеством примеров, детально рассматриваемых и поясняемых (в отличие от материала монографии Теория конфликтных равновесий , предназначенного исключительно для математиков-профессионалов). Все конфликтные задачи рассматриваются в статике. Если же читателя интересуют возможности применения изложенных результатов в динамических конфликтных задачах, то ему следует обратиться к упомянутой монографии.

Завершая введение, заметим ещ¼, что излагаемые ниже результаты, помимо естественной их возможности использования в теории игр, экономике и политике, позволили (на основе динамической формы их представления, изложенной в последней главе монографии [74]) получить в последние годы ряд новых фундаментальных результатов [84-87] в областях знаний, весьма дал¼ких от теории игр. В частности, найдены общие управляемые уравнения электродинамики [84], призванные облегчить поиск систем управления термоядерной энергией; установлены возможности кратковременных межзв¼здных пол¼тов через посредство двойственной к нашей вселенной [84, 85]; построена экстремальная теория размерностей [86, 87], позволившая открыть

13

множество новых фундаментальных физических постоянных и вывести, исключительно математическим пут¼м, не опираясь ни на какие физические законы, все известные на сегодня дифференциальные уравнения физики и механики (обыкновенные и в частных производных, открывая попутно законы, которым эти уравнения подчиняются) и найти ряд новых уравнений, решения которых обладают удивительными свойствами. Например, найдены неизвестные до сих пор уравнения движения в гравитационном поле (и отвечающий им физический закон), часть решений (орбит) которых частично находится в нашем пространстве, а частично в двойственном к нему, а также уравнения, при движении по криволинейным траекториям которых инерциальные перегрузки самокомпенсируются, а "внутреннее" время на движущемся с любыми скоростями объекте останавливается.

14

ГЛАВА 1. КОНФЛИКТНЫЕ РАВНОВЕСИЯ В ЗАДАЧАХ С ДВУМЯ УЧАСТНИКАМИ

Âобщей теории конфликтных равновесий задачи с двумя участниками занимают особое место в связи с тем, что для них удается получить более понятные и содержательные результаты, хорошо укладывающиеся в интуитивные представления, чем в отношении задач с тремя и более участниками. По этой причине целесообразно начать изучение конфликтующих систем с задач с двумя участниками.

1.Понятия симметричных равновесий.

Âэтом разделе строится система постепенно усиливающихся симметрич- ных относительно двоих участников игровых равновесий, которая может быть применена для поиска решения любых конфликтных (игровых) задач и задач принятия или отказа от сделанного игрокам предложения. Каждый из

участников, выбирая свою стратегию (точку) qi, i=1,2, на игровом множестве G стремится получить максимум своей платежной функции (функционала)

Ji.

Заметим, что почти все рассмотренные ниже определения, теоремы и вновь вводимые понятия сразу после их формулировки комментируются на элементарном уровне, прич¼м все они остаются в силе для конфликтных задач, формулируемых на произвольных множествах с заданными на них произвольными ограниченными вещественными функциями, а не только для задач, удовлетворяющих следующему допущению.

Допущение 1.1. Пусть Qi, i = 1, 2 координатные оси двумерного эвклидова пространства Q = Q1 × Q2; q = (q1, q2) произвольная точка на плоскости Q; G произвольное замкнутое ограниченное множество в Q; G(qi), i = 1, 2, сечения множества G, проходящие через заданную в G точку q = (q1, q2); P rQiG проекция множества G на ось Qi; Ji(q1, q2), i = 1, 2, вещественные ограниченные функции, определ¼нные на G, непре-

рывные по каждой переменной в отдельности при всех допустимых фиксированных значениях другой.

i-й участник (игрок), выбирая стратегию (точку) qi из доступного ему сече- íèÿ G(qk) (k 6= i, i = 1, 2) множества G или из проекции P rQiG множества G Qi, стремится обеспечить максимум своей плат¼жной функции (функционала) Ji(q), i = 1, 2, прич¼м допустим только такой выбор своих стратегий

15

игроками, при котором точка (реализующаяся ситуация) q оказывается во множестве G. В противном случае игровая задача считается несостоявшейся.

Сформулируем ряд вполне естественных понятий равновесия (т.е. таких, в определения которых не вносится никаких искусственных норм поведения),

первое из которых, наиболее слабое , существует (с любой точностью ε) â

любых конфликтных задачах.

Точку (ситуацию) q G назовем Ai-экстремальной,

если при заданной стратегии qk, k 6= i, k = 1, 2, допустимой оказывается только одна стратегия qi = G(qk) или если любой стратегии qi G(qk) \qi

i-го игрока можно поставить в соответствие по крайней мере одну допу-

Ситуацию q назовем ситуацией A-равновесия, если неравенства вида (1.1) удовлетворяются в точке q G для обоих i = 1, 2.

Прежде всего подробно поясним смысл этого определения, являющегося ключом ко всему остальному.

На рис. 1.1 для случая двух переменных (q1, q2) изображ¼н возможный вид

множеств A1, A2 è A во множестве G, ограниченном кривой SKMP T LRUNS. Через рассматриваемую произвольно выбранную точку (q1, q2) G проведено два сечения множества G: G(q1) = T U è G(q2) = KL. Множество A1 îãðà- ничено кривой NF EHP T LRUN, множество A2 кривой SKMP T LRHW S, а множество A = A1 ∩ A2 кривой HP T LRH. Ситуация (q1, q2) A1 содер- жится во множестве A1, если 1-й игрок не в состоянии улучшить ее для себя

в том смысле, что если он попытается перейти в другую точку из доступных для него (а таковыми являются все точки из сечения G(q2) = KL множества G на рис. 1.1), например в точку (q1, q2) сечения G(q2), в которой он мог бы получить J1(q1, q2) > J1(q1, q2), то у 2-го игрока найдется такая ответная

стратегия (точка qˆ2), которую он имеет возможность выбирать, перемещаясь по доступному ему сечению G(q1) (т.е. по отрезку прямой MN), ÷òî â ðåà-

лизующейся в результате этого ситуации (q1, qˆ2) этот 1-й игрок получит не больше, чем в исходной ситуации (q1, q2), ò.å. J1(q1, qˆ2) ≤ J1(q1, q2). Так что если исходная ситуация (q1, q2) такова, что для любой стратегии (точки) q1 1-го игрока, выбираемой им из доступного ему сечения G(q2), у 2-го игрока

16

17

найдется такая ответная стратегия (точка) qˆ2 G(q1), выбираемая им из доступного ему сечения G(q1), что в результате выигрыш 1-го игрока в ситуации

(q1, qˆ2) не может оказаться больше того, что он имеет в исходной ситуации (q1, q2), то будем говорить, что эта исходная ситуация A1-экстремальна. Ëþ- áàÿ A1-экстремальная ситуация не может быть улучшена для 1-го игрока, т.е. на все его попытки улучшить свой выигрыш у 2-го игрока найд¼тся ответная стратегия наказания qˆ2, которая не позволит 1-му этого добиться.

С одной стороны, множество A1 состоит только из ситуаций, ни одну из которых 1-й игрок не в состоянии улучшить для себя, вследствие наличия реальных угроз со стороны 2-го игрока. Однако множество A1, хотя и состо- ит из ситуаций, наказуемых 2-м игроком, на самом деле, как мы убедимся в дальнейшем, оказывается состоящим из ситуаций с наибольшими для 1-го игрока выигрышами, а следовательно, у 1-го не имеется оснований жаловаться на то, что ни одну из ситуаций этого множества он не может улучшить.

Аналогичные рассуждения справедливы и в отношении другого игрока. Заметим, что точки R è S автоматически принадлежат множеству A2, ñî-

гласно следующему утверждению из определения 1.1, в котором следует положить i=2: Точку (ситуацию) q G назовем Ai-экстремальной, åñëè ïðè

заданной стратегии qk, k 6= i, k = 1, 2, допустимой оказывается только одна стратегия qi = G(qk) .

Таким образом, получается, что множества A1 è A2 очень выгодны, со- ответственно, для 1-го и 2-го игроков, поскольку они включают все самые выгодные для них ситуации. Так что борьба между ними разверн¼тся только на этих, самых выгодных для них ситуациях. И эта борьба, согласно излагаемому подходу к теории игр и конфликтов, никогда не может привести к результату, очень невыгодному как для обоих, так и для одного из участников.

Легко заметить, что если ситуация (q1, q2) такова, что в ней достигается максимальный выигрыш 1-го игрока в сечении G(q2) = KL, то она всегда

принадлежит множеству A1, поскольку в этом случае куда бы 1-й игрок ни переш¼л в сечении G(q2) из ситуации (q1, q2), везде он получит не больше, чем в исходной ситуации. По существу в этом случае роль наказующей стратегии qˆ2 2-го игрока в определении 1.1 играет сама исходная стратегия q2, è 2-му игроку в этом случае нет необходимости искать какие-либо иные стра-

тегия наказания. Это означает, что в любом сечении G(q2) имеется ситуация из множества A1, а следовательно, проекция множества A1 íà îñü q2 (íà ðèñ. 1.1) совпадает с проекцией на эту ось всего множества G. Аналогичные рас-

18

суждения можно провести в отношении 2-го игрока.

Заметим, что пересечение множеств A1 è A2, которое мы обозначаем бук- âîé A, представляет собой в общем случае относительно большое подмножество во множестве допустимых исходных ситуаций G, прич¼м множество взаимно наивыгоднейших ситуаций. Оно также выделяет на игровом множестве G подмножество G \ A, не представляющее интереса для игроков, поскольку из любой ситуации q G\A всегда безнаказанно может уйти хотя

бы один из игроков, улучшив значение своей платежной функции, и другой не в состоянии помешать ему это сделать.

Поскольку множество A-равновесий никогда не пусто (по крайней мере, в -аппроксимации) и в любой конфликтной задаче определяет взаимно вы-

годное множество ситуаций, никакая из которых не может быть улучшена для себя ни одним из участников конфликта, то представляется естественным считать, что только это множество и является существенным для всех игроков и именно на н¼м следует искать любые наиболее сильные игровые равновесия (за редким исключением, связанным с введением в последующем в рассмотрение, помимо вполне естественных симметричных понятий равно-

весий, усиливающих понятие A-равновесия, ещ¼ и понятий несимметричных равновесий).

Но если мы согласны принять множество A за наиболее широкое множество в G, с которым участники готовы считаться, то логично рассмативать множество A также в качестве своего рода исходного игрового множества, наподобие множества G, и на множестве A снова пытаться искать аналог множества A, который назов¼м множеством A1-равновесных ситуа- ций. А затем можно снова на множестве A1 искать множество A2, è òàê далее до тех пор, пока, начиная с некоторой k-ой итерации, не окажется, что Ak = Ak+1 = Ak+2 = . . .. В крайнем случае мы прид¼м к предельно- му множеству A∞, прич¼м, очевидно, получим следующую цепь включений

G A A1 . . . A∞.

Самое удивительное, как мы увидим в дальнейшем, так это то, что, какие бы естественные понятия конфликтного равновесия (т.е. не содержащие никаких искусственных норм поведения участников) мы ни вводили, все они оказываются входящими во множество A∞. Так что, оказывается, с одной сто-

роны, что если какое-либо понятие конфликтного равновесия не содержится A∞, то имеются основания предполагать, что это понятие не

вполне естественно, а с другой, что если множество A∞ в некоторой задаче свелось к единственной точке на G, то и любые другие понятия равновесия

19

(не содержащие никакой навязываемой участникам искусственности), усиливающие понятие A-равновесия, должны указать на эту же точку в игровой задаче. Однако для того, чтобы выяснить, какой же силы это единственное равновесие, недостаточно знать только понятие A-равновесия, а необ-

ходимо располагать также и другими понятиями равновесий, усиливающих A-равновесие. И, тем более, это важно, когда множество A∞ состоит не из

единственной точки, что и случается почти во всех задачах. А следовательно, знание и других более сильных равновесий становится особенно важным в общем случае. Чем богаче исходная базовая система равновесий, тем больше возможностей найти в игре всего одно наисильнейшее равновесие. Следующий пример является тем редким примером, когда предельное множество Ak

сходится к единственной точке.

Пример 1.1. Рассмотрим конфликтную задачу с двумя участниками, в которой плат¼жные функции (функции выигрыша) J1(q1, q2) è J2(q1, q2) задают выигрыши игроков после того, как они веберут одну из множества своих допустимых стратегий q1 Q1 è q2 Q2. В рассматриваемом примере мно- жество Q1 состоит из четыр¼х стратегий, представляющих собой выбор 1-м игроком одной из четыр¼х строк матричной плат¼жной функции J1, à ìíî- жество Q2 состоит из четыр¼х стратегий 2-го игрока, представляющих собор выбор им одного из четыр¼х столбцов его плат¼жной матрицы:

Эта задача может рассматриваться как некооперативная или кооперативная игра. В последнем случае игроки, действуя совместно (согласованно, скооперировавшись) могут получить вместе максимальный выигрыш, достигае-

мый в ситуации a33 и равный 20=11+9, если договорятся, что 1-й игрок выберет третью строку, получив выигрыш, равный 11, а 2-й третий столбец, получив при этом выигрыш, равный 9. (Заметим, однако, что задача о справедливом разделе между игроками этого наиболее выгодного для них обоих кооперативного выигрыша являлась наиболее трудной задачей теории игр на протяжении всего 20-го столетия). В рассматриваемом примере игровое множество G состоит из тех 12 ситуаций aij в вышеприведенных матрицах, в элементах которых вписаны значения платежных функций. Каждый из игроков должен найти такую свою стратегию (из четыр¼х возможных) при

20