1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

следующее из определения операции максимума. А из неравенств (1.30) и (1.31) следует, что если q абсолютное равновесие, то неравенство (1.30) об-

ращается в равенство, а следовательно, ситуация q равновесна также и в смысле (1.29)

Заметим, что теорему 1.5 можно распространить на случаи абсолютного è A0-абсолютного равновесий, если воспользоваться следующим замечанием:

Учитывая, что число возможных коалиций Pk, 1 ≤ k ≤ N − 1, равно S = 2N − 2, вместо исходной игры с N участниками при поиске A0-абсолютного

равновесия можно ввести в рассмотрение вспомогательную бескоалиционную игру на том же исходном множестве G ñ S участниками.

Пусть Rk, k = 1, N выпуклые компактные множества в хаусдорфовом линейном локально-выпуклом топологическом пространстве;

4

D связное замкнутое множество в R = R1 × . . . × RN , любые непустые

сечения D(rPk ), 1 ≤ k ≤ N − 1, которого выпуклы, причем D таково, что хотя бы для одного i = 1, N, каждое сечение W (ri) замкнутого выпуклого

множества W = Co{P rR1 D ×. . .×P rRN D} содержит в себе сечение D(ri);

далее, пусть Jk(r), k = 1, N, замкнутые ограниченные функционалы, отображающие W → E1, причем JPk (rPN−k , ·), 1 ≤ k ≤ N −1 непрерывное и вогнутое отображение множества RPk â E1 ïðè âñåõ rPN−k RPN−k . Тогда отображение F , имеющее 2N − 2 компонент вида:

замкнуто, переводит точки r D в выпуклые множества F (r) W

Доказательство этой теоремы по существу повторяет доказательство теоремы 1.5, если учесть, что сумма вогнутых функционалов есть вогнутый функционал. Из сравнения теорем 1.5 и 1.7 видно, что в теореме 1.7 по сравнению с теоремой 1.5 присутствуют два принципиальных усиления (дополнительных ограничений). Первое состоит в том, что в теореме 1.7 требуется,

чтобы все отображения JPk были непрерывными и вогнутыми по каждой из 2N −2 переменных rPk в отдельности, в то время как в теореме 1.5 вогнутость

требуется только по каждой из N переменных rP1 . Второе дополнительное ограничение в теореме 1.7 состоит в том, что в состоянии абсолютного или A0-абсолютного равновесия должны существовать пассивные угрозы со сто-

111

роны любой возможной коалиции

N коалиций PN−1; причем в случае абсолютного равновесия эти пассивные

угрозы должны иметься в отношении каждой точки в любом сечении G(rPk ), а в случае A0-абсолютного равновесия эти угрозы должны иметься в отноше-

нии более узких множеств A0(rPk ), в то время как в отношении множеств G(rPk ) \A0(rPk ) допускаются активные угрозы. Именно вследствие этого множество абсолютных равновесий, если оно не пусто, оказывается подмноже- ством множества A0-абсолютных равновесий.

Теорема 1.8. Пусть удовлетворяются допущения 1.1 и множество G непусто. Тогда, чтобы ситуация q G была A0-равновесием, необходимо и достаточно, чтобы неравенства

4

= JPk (¯qPk , q¯PN−k < q¯Pk ), i = 1, N. (1.32)

удовлетворялись для всех возможных коалиций Pk, 1 ≤ k < N.

Доказательство. Достаточность. Пусть неравенство (1.32) удовлетворяется для произвольно выбранной коалиции Pk, 1 ≤ k < N, è âåðõ-

няя грань в правой части этого неравенства достигается в некоторой точке (¯qPk , q¯PN−k ). Тогда из (1.32) следует, что для любой стратегии qPk G(qPN−k ) найдется зависящая от qPk стратегия qˆPN−k < qPk >, такая, что

А эти неравенства, согласно неравенству (1.1a), означают, что ситуация q APk -экстремальна. Допустим, далее, что верхняя грань в некотором се- чении G(qPN−k ) не достигается и что ситуация q , удовлетворяющая неравенству (1.33), не принадлежит множеству APk -экстремальных ситуаций. То-

гда из отрицания определения 1.1a следует, что найдется стратегия qPk G(qPN−k ), такая, что для любой стратегии qPN−k G(qPk ) окажется JPk (q ) < JPk (qPk , qPN−k ), что противоречит неравенству (4.6).

Необходимость. Пусть ситуация q удовлетворяет неравенствам (1.1a) для всех возможных коалиций Pk, 1 ≤ k < N. Для произвольно взятой коалиции Pk неравенство (4.1) только усилится, если в качестве стратегии qˆPN−k < qPk > взять стратегию q¯PN−k < qPk >, доставляющую функционалу JPk минимум в

сечении G(qPk ). Если же учесть, что неравенство (1.1a) удовлетворяется для любой стратегии qPk G(qPN−k ), то оно должно иметь место и в том слу-

112

чае, когда рассматривается то предельное значение переменной qPk на множе-

qPk >), равная правой части неравенства (1.32). Отсюда следует, что APk - экстремальная ситуация q удовлетворяет неравенству (1.32).

2. Несимметричные равновесия в задачах со многими участниками

Определим ряд несимметричных (относительно всех участников) понятий равновесия, первое из которых, названное An-равновесием, является наибо-

лее слабым , существующим в ε-аппроксимации в любых игровых задачах и включающим в себя даже A-равновесие.

Для определения (несимметричного) An-равновесия необходимо сначала выделить на Ai-ом множестве (i = 1, N) наихудшую для i-го игрока ситуа-

Определение 2.1. Ai-экстремальную ситуацию q , i = 1, N, назовем An-равновесием, если Jj(q ) ≥ Jjmin(Aj), j = 1, N \ i.

С точки зрения любых приложений множество всех несимметричных An-

N

равновесий целесообразно задавать в виде суммы An = S Ani , где через Ani

i=1

обозначено подмножество множества An-равновесий, задаваемое определением 2.1 при фиксированном i.

Согласно определению 2.1 каждая ситуация из множества Ani - несимметричных равновесий устойчива к отклонениям от нее i-го игрока в

смысле определения Ai-экстремальных ситуаций, т.е. на любое отклонение i-го игрока от этой ситуации у остальных игроков найдется стратегия

наказания, обеспечивающая неравенство (1.1). В то же время для остальных игроков эта ситóàöèя относительно выгодна в том смысле, что в ней каждый j-й игрок, j = 1, N \ i, получает не меньше, чем в самой худшей для него

ситуации из множества Aj, от которой он отклониться не пожелал бы вследствие наличия угроз (согласно определению 1.1) со стороны остальных игроков. В указанном смысле любая ситуация из каждого из множеств

i = 1, N, оказывается устойчивой к отклонениям от нее любого из N игроков, а совокупность всех этих множеств дает множество An всех несимметричных An-равновесий.

Множество An-равновесных ситуаций никогда не бывает пустым, как это показывается в следующей теореме, а следовательно, это множество может

113

рассматриваться как множество наислабейших всегда существующих равновесий, что позволяет строить на его основе понятия более сильных равновесий и при этом не интересоваться тем, когда эти более сильные равновесия существуют.

Теорема 2.1.В любой игровой задаче существует An-равновесие с любой заданной точностью ε.

Эта теорема по существу является следствием теоремы 1.2, если учесть, что, согласно нижеследующему предложению 2.1, множество всех

q An достаточно, чтобы ситуация q содержалась даже всего лишь в одном

из множеств Ani .

Для приложений An-равновесие едва ли представляет интерес, так как более сильное A-равновесие никогда не пусто и выделяет на множестве G подмножество G \ A, не представляющее интереса для всех игроков с точки зрения A-равновесий вследствие того, что для любой ситуации q G\A íàé-

дется хотя бы один игрок, который может уйти из этой ситуации, улучшив значение своей платежной функции, и остальные ему не в силах помешать это сделать. Однако представляют интерес более сильные (чем An) несиммет-

ричные равновесия, построенные по той же методике, что и An-равновесие. Первое усиление An-равновесия дается следующим определением.

Определение 2.2. Ситуацию q Bi, i = 1, N, назовем Bn-равновесной,

S BiN , а следовательно, достаточно показать, что Bkn Ank при любом k =

i=1

1, N. Пусть q Bkn, а следовательно, Ji(q ) ≥ Jimin(Bi) äëÿ âñåõ i = 1, N \

114

k. Поскольку согласно определению 1.2 Bk Ak при любом k = 1, N, òî

следствием этих включений являются неравенства Jkmin(q ) ≥ Jkmin(Ak), k = 1, N. Но тогда тем более выполняются неравенства Ji(q ) ≥ Jimin(Ai), i = 1, N

Одним из усилений Bn-равновесия является нижеследующее Cn-

равновесие.

Определение 2.3. Ситуацию q Ci, i = 1, N, назовем Cn-равновесной,

равновесие.

По аналогии с определениями 2.1 2.4 могут быть определены и другие типы равновесий, включая любые коалиционные.

В любой задаче желательно нахождение единственного наисильнейшего из существующих симметричного равновесия. В случае, если наисильнейшее из существующих симметричных равновесий не единственно, полезно искать также и все непустые несимметричные равновесия (каждое из которых не меньше соответствующего ему симметричного) и применять итерационную схему генерирования новых понятий равновесия, даваемую теоремой 1.4.

Пример 4.1. Рассмотрим игру с тремя участниками, в которой каждый участник располагает всего двумя стратегиями. Пусть J = (J1, J2, J3) платежная вектор-функция в этой игре, в которой, очевидно, реализуется всего 8 ситуаций (обозначим их буквами E, F, H, K, L, M, N, P ), в каждой из которых значения платежных функций игроков пусть будут следующими:

J(E) = (5, 6, 5), J(F ) = (3, 5, 6), J(H) = (2, 8, 3), J(K) = (4, 7, 5),

J(L) = (7, 1, 6), J(M) = (8, 4, 5), J(N) = (4, 3, 4), J(P ) = (6, 2, 6).

Все 8 возможных ситуаций и значения платежных функций в них изображены на рис. 2.3 в системе координат (q1, q2, q3), ãäå qi стратегия i-ãî

115

q3

6

J(4,3,4) J(6,2,6)

N P

игрока. Базовая система равновесий да¼т следующие результаты:

AP12 = (E, F, H, K, L, M, P ), AP13 = (L, M), AP23 = (E, F, H, K), A1 = (E, F, K, L, M, N, P ), A2 = (E, F, H, K, M, N, P ),

A3 = (E, F, K, L, M, N, P ), A = (E, F, K, M, N, P ), A0 = B1 = (E, F, K), B2 = (E, M), B3 = (E, K, M), B = (E),

0 ¯ 0 ¯ 0 ¯ 0 ¯

D1 = D1 = (E), D2 = D1 = (E), D3 = D3 = (E, K, M), D = D = (E),

C1 = (E, F, K), C2 = (M), C3 = (E, K, M), C = , Bn = Cn = (E, F, K, M),

0n ¯ n

D1 = (E), D2 = (M), D3 = (E, K, M), D = , D = D = (E),

Ðèñ. 2.3

0-, ¯ 0n-, ¯ n n- и ¯0- Ситуация (E), являющаяся одновременно D D-, D D -, D C

равновесной, претендует на роль единственного наисильнейшего равновесия в этой игре. Этот вывод подтверждает и следующая итерация игры:

Таким оборазом, ситуация E в этой игре является единственной наисильнейшей и несимметричные равновесия подтверждают это.

116

3. Конфликтные задачи с пересекающимися интересами участников

В этом разделе дается обобщение теории конфликтных равновесий на все возможные типы задач с частично пересекающимися множествами интересов. Предлагаемая теория обеспечивает надежное и устойчивое разрешение конфликтов не только с учетом пересекающихся в зоне конфликта интересов участников, но и с учетом всех тех их интересов, которые явно не замешаны в конфликте.

Как классическая теория игр, так и общая теория конфликтных равновесий разрабатывались для единого для всех участников множества допустимых ситуаций. И это представляется вполне естественным, если учесть, что конфликты возникают лишь на множестве пересекающихся интересов. Однако полное игнорирование возможного влияния на состояние конфликта тех интересов (участников), которые явно не связаны с рассматриваемым конфликтом, может приводить к неполноценному, как это демонстрируется на примерах, разрешению конфликта.

Обобщение теории конфликтов [46, 74] на задачи, рассматриваемые на не совпадающих, а всего лишь на частично пересекающихся множествах интересов участников конфликта, было поëó÷ено в работах [70, 71].

Допущение 3.1. Пусть Qi, i = 1, N, метрические пространства и

Q = Q1× . . .×QN ; Gi, i = 1, N, компактные множества в пространстве

N

4 T

Q, причем G = Gi 6= ; и пусть на множестве Gi определена непрерыв-

1=1

ная функция (функционал) Ji(q), i = 1, N, q = q1 . . . qN Q.

Пусть i-й участник некоторого конфликтах имеет возможность выбирать

номера тех конкретных участников, которые образуют заданную коалицию Pk, состоящую из k игроков. Исходным понятием для построения базовой системы конфликтных равновесий служит следующее обобщение понятия A-

равновесия.

Определение 3.1. Точку (ситуацию) q Gi назовем Ai- экстремальной, если при заданной стратегии qi допустимой оказывает- ся только одна стратегия qi = Gi(qi ) или если любой стратегии qi

117

Gi(qi ) \ qi i-го участника можно поставить в соответствие по крайней

i 4 i

мере одну допустимую стратегию qˆ = qˆ < qi > Gi(qi) остальных участников так, чтобы имело место отношение

для задачи 1-го типа:

Ситуацию q назовем ситуацией A-равновесия в задаче, соответственно, 1-го, 2-го или 3-го типа, если условия (3.1), (3.2) или (3.3) удовлетво-

Из определения 3.1 следует, что задачи 1-го типа характеризуются наиболее слабыми угрозами (3.1), задачи 2-го типа более сильными (3.2), а задачи 3-го типа самыми сильными угрозами (3.3). Отличительной особенностью задач 1-го типа является то, что в них в качестве ситуаций-угроз (3.1) используются только такие, в которых платежная функция участника, которому угрожают, определена. А в задачах 2-го типа помимо угроз (3.1) допускаются еще и такие ситуации-угрозы, в которых платежная функция участника, которому угрожают, не определена, в то время как платежная функция хотя бы одного из угрожающих участников определена. Угрозы (3.3) допускают переходы из ситуаций множества G0 в любые ситуации из

множества P rQ1 G0 . . . × . . . P rQN G0, что означает использование в качестве угроз ситуаций, в которых платежные функции всех участников не определены. Заметим, что угрозы (3.3) естественны для задач, в которых у участников нет запрета на все доступные им стратегии из множеств P rQiG0.

Если задача рассматривается на множестве G общих интересов всех участников, то определение 3.1 переходит в определение A-равновесия, существующего в любых задачах. Однако в случае G0 6= G A-равновесие может оказаться пустым в задачах 1-го и 2-го типа.

118

Задачи 4-го типа это задачи с угрозами (3.1) (и (3.1a), см. ниже), рассматриваемые только на G, в которых учитываются лишь пересекающиеся

интересы участников (G). Решаются они как обычные задачи теории конфликтных равновесий.

Теорема 3.1. В задачах 3-го и 4-го типа существует любой заданной точностью ε.

Доказательство почти не отличается от доказательства задаче на едином для всех участников множестве интересов.

В качестве одного из возможных усилений A-равновесия рассмотрим следующее естественное его расширение, учитывàþùее возможность образования любых коалиций Pk èç k игроков (k = 1, N) и представляющее собой непосредственное обобщение понятия A0-равновесия.

Определение 3.1a. Ситуацию q = (qPk , qPN−k ) GPk назовем коали- ционно экстремальной для коалиции Pk, состоящей из k конкретно опре-

дел¼нных игроков, если GPk (qPN−k ) = qPk , или каждому состоянию qPk GPk (qPN−k ) \ uPk коалиции Pk, состоящей из k конкретно перечисленных в

ней участников, можно поставить в соответствие по крайней мере одно состояние qˆPN−k GPk (qPk ) остальных N −k участников, так, чтобы имело место отношение

для задачи 1-го типа

Ситуацию q назовем ситуацией A0-равновесия в задаче, соответственно,

1-го, 2-го или 3-го типа, если условия (3.1a), (3.2a) или (3.3a) удовлетворяются в точке q äëÿ âñåõ Pi, i = 1, N − 1, т.е. если она одновременно

коалиционно экстремальна для любой коалиции Pk, 1 ≤ k < N.

Множество A0-равновесий оказывается весьма существенным усилением (сужением) множества A-равновесий для игровых задач с числом участников больше двух. A0-равновесие (äàæå â ε-аппроксимации и даже в задачах

119

на едином для всех участников множестве G) зачастую пусто и поэтому име-

ет очень ограниченное прикладное значение. Поэтому в качестве базы для построения более сильных понятий равновесия естественно рассматривать

только множество A-равновесных ситуаций, хотя, к сожалению, даже это по-

следнее множество в задачах с пересакающимися множествами интересов может оказаться пустым в случае G0 6= G.

Следующие понятия равновесия, являющиеся, с одной стороны, усилениями определения 3.1, а с другой обобщениями на поставленные выше конфликтные задачи на пересекающихся множествах соответствующих понятий равновесия из первого раздела, справедливы в отношении всех рассматриваемых типов зàäà÷ (в задачах 4-го типа в этих определениях следует принять

Gk = G, k = 1, N).

¯0-равновесием, если

Определение 3.2. Ситуацию q A назовем C

Следующее понятие равновесие является обобщением классического понятия равновесия по Роусу Нэшу на рассматриваемые задачи с частично пересекающимися множествами допустимых ситуаций и оказывается усиле-

íèåì ¯0-равновесия.

C

Определение 3.3. Ситуацию q назовем равновесной по Роусу Нэшу в задачах с несовпадающими множествами интересов участников (или,

короче, ¯N -равновесием), если

C

Определение 3.4. Ситуацию q Ai назовем Bi-экстремальной, åñëè она удовлетворяет условию

жество всех Bi-экстремальных ситуаций.

Следующее определение C-равновесия в задачах с двумя участниками сов-

падает с определением равновесия по Роусу Нэшу, однако в задачах с числом участников больше двух оно не имеет с ним ничего общего.

Определение 3.5. Ситуацию q Ai назовем Ci-экстремальной, åñëè она удовлетворяет условию

120