1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

q3

6

J(9,3,7) J(8,3,4)

N P

LM J(7,7,5)

J(3,4,9) q1

Ðèñ. 2.1

ствующих итерациях найти наисильнейшие равновесия.

Пример 1.1. Рассмотрим игру с тремя участниками, каждый из которых располагает всего двумя стратегиями. Пусть J = (J1, J2, J3) платежная вектор-функция в этой игре, в которой из теоретически 8 возможных ситуаций E, F, H, K, L, M, N, P (рис. 2.1), достижимых для тр¼х пар стратегий участников, реально доступными являются только шесть, т.е. это игра с двумя запрещ¼нными ситуациями F и L, в которых выигрыши игроков не определены; а в остальных, доступных для участников ситуациях значения их платежных функций суть следующие: J(E) = (3,4,9), J(H) =(3,4,8), J(K)

= (2,4,8), J(M) = (7,7,5), J(N) = (9,3,7), J(P ) = (8,3,4). Все 6 значений каждой из трех платежных функций указаны на рис. 2.1 тройкой чисел в скобках (J1, J2, J3) около каждой из допустимых ситуаций E, H, K, M, N, P (например, в ситуации E значения плат¼жных функций игроков (J1, J2, J3) = (3,4,9)), рассматриваемых в системе координат (q1, q2, q3), ãäå qi двузнач- ная стратегия i-го игрока, причем в данной игре не играет роли конкретное

числовое значение каждой из стратегий. Найдем наисильнейшее равновесие в этой некооперативной игре.

Найд¼м основные базовые и усложн¼нные равновесия:

A1 = A2 = (E, H, K, M, N, P ), A3 = (E, H, K, M) = A,

A12 = (E, H, M), A13 = (E, M, N, P ), A23 = (E, H, K, M),

AP2 = (E, M), A0 = A ∩ AP2 = (E, M),

B1 = (E, H, K), B2 = (M, N, P ), B3 = (E, H, M), B = ,

C1 = B1, C2 = B2, C3 = B3, C = ,

B10 = (E, H, K), B20 = (E, M), B30 = (E, H, M), B0 = E,

C10 = (E, H, K), C20 = M, C30 = (E, H, M), C0 = ,

101

B12 = (E, H, M), B13 = (E, M, N, P ), B23 = (E, H, K, M), BP2 = (E, M), C12 = (E, H, M), C13 = (E, M, N, P ), C23 = (E, H, K), CP2 = E,

0 0 0 0 0 ˆ 0

B12 = B13 = B23 = BP2 = CP2 = (E, M), D = ,

E это наисильнейшее равновесие в рассматриваемой конфликтной задаче.

И поскольку это равновесие ярко выявилось уже на нулевой итерации, то проводить 1-ю итерацию нет необходимости, учитывая трудо¼мкость поиска равновесий в задачах с тремя участниками. Правда, следующии итерации позволяют обычно выстроить все равновесия в иерархическую цепь, выделяя наисильнейшие и вс¼ более слабые равновесия. Однако нам в данном случае иерархическая цепочка из равновесий не нужна по крайней мере потому, что ярко выявилось одно наисильнейшее равновесие.

Покажем, каким образом ищутся равновесия в играх с тремя (и более) участниками. Прежде всего объясним процедуру поиска Ai-экстремальных

ситуаций. Начн¼м с поиска множества A1. Из ситуации q = E, ïðè ôèê-

4 1 (заметим, что сированной в этой ситуации совместной стратегии qP23 = q

здесь возможно ещ¼ и второе обозначение для остальных N − 1 участников)

двух других участников, 1-й игрок может попытаться перейти только в ситуацию H. Но поскольку в обеих этих ситуациях в сечении G(q1 ) (т.е. вдоль

линии EH) плат¼жная функция 1-го игрока принимает одно и то же значе- ние J1(E)=3 (т.е. максимальное значение), то обе эти ситуации принадлежат

множеству A1. Ситуация K автоматически принадлежит множеству A1, òàê как в сечении G(q1 ) (т.е. вдоль линии F K), включающем точку K, ó 1-ãî

игрока не имеется других ситуаций, кроме самой ситуации K, куда бы 1-й игрок мог перейти. Точно так же автоматически принадлежит множеству A1 и ситуация N, из которой 1-му игроку также некуда переходить. Сравним оставшиеся две ситуации M è P в сечении G(q1 ), проходящем через эти точ- ки и лежащем на линии MP . Поскольку в этом сечении максимум плат¼жной функции J1 достигается в точке P и равен 8, то эта точка автоматически принадлежит множеству A1. Что же касается оставшейся точки M, то она также принадлежит множеству A1, поскольку при попытке 1-го игрока перейти из ситуации M, где значение его плат¼жной функции J1(M) = 7, в ситуацию

102

P коалиция P23, в составе 2-го и 3-го игроков, имеет возможность наказать 1-го игрока, переведя игру в ситуацию K (или в ситуацию H), в которой 1-й игрок получает J1(K) = 2, т.е. не только не больше, но даже строго меньше, чем он имеет в исходной ситуации M. Аналогичным образом находится, что множество A2 совпадает со множеством A1.

Множество A3 ищется на вертикальных отрезках EL, F M, HN è KP . Ситуации E è M 3-й игрок не в состоянии улучшить, так как вдоль отрезков EL è F M у него не имеется возможности перейти в какое-либо другое со- стояние, если коалиция P12 из 1-го и 2-го игроков фиксирует свои стратегии в ситуациях E è M (при этом фиксируются отрезки, соответственно, EL è F M). Сравним выигрыши 3-го игрока в ситуациях H è N. Вдоль сечения HN игрового множества G 3-й игрок имеет максимум J3(H) = 8 в ситуации H, которая, следовательно, автоматически принадлежит множеству A3. À ïðè попытке улучшить для себя ситуацию N, в которой он получает J3(N) = 7, 3- й игрок имеет возможность перейти только в ситуацию H, прич¼м коалиция

P12 не в состоянии помешать ему улучшить свой выигрыш с 7 до 8, поскольку вс¼, что она может попытаться сделать против 3-го игрока, так это перевести игру в ситуации K èëè E, но и в этих двух ситуациях 3-й игрок вс¼ равно

получает не меньше 8. Это означает, что ситуация N не может принадлежать множеству A3. Точно такое же рассмотрение пары ситуаций K è P показывает, что ситуация K автоматически принадлежит множеству A3, поскольку в ней 3-й игрок получает J3=8, а в ситуации P всего 4. А вот с ситуацией P 3-й игрок никогда не согласится, поскольку несомненно перейд¼т в ситуацию K, в которой коалиция P12 не в состоянии его наказать, так как из K она могла бы перевести его только в ситуации H è E, в которых он получил бы не меньше 8, т.е. больше значения J3 = 4, которое он имеет в исходной ситуации P .

Продемонстрируем теперь, как ищутся коалиционные множества

Множество A12 включает те ситуации, которые коалиция P12 не в состоя- нии улучшить для себя. Пусть зафиксирована стратегия 3-го участника, при которой коалиция P12 имеет возможность выбора среди ситуаций EHK. Íàè- лучшей для коалиции P12 является такая ситуация из этих тр¼х доступных для не¼, в которой она получает максимальный выигрыш. Очевидно, таких ситуаций две: это ситуации E è H, в которых JP12 =7. Следовательно, обе эти ситуации принадлежат множеству A12. А c ситуацией K коалиция P12 íèêî- гда не согласится, поскольку безнаказанно может перейти из не¼ в ситуации E èëè H, увеличив свой выигрыш по сравнению с ситуацией K, ïðè÷¼ì 3-é

103

игрок не в состоянии как-либо наказать эту коалицию . Следовательно, ситуации E è H принадлежат множеству A12, а ситуация K не принадлежит. Если же 3-й игрок использует свою вторую стратегию, делающую доступными для коалиции P12 ситуации M, N è P , то эта коалиция предпочт¼т максимальный выигрыш среди этих тр¼х, равный JP12 =14 и достигаемый в ситуации M (а следовательно, M A12). Любую же из ситуаций N è P êî- алиция P12 в состоянии улучшить для себя безнаказанно переходом из них в ситуацию M, из которой у 3-го игрока не имеется возможности куда-либо перейти с целью наказать коалицию P12, поскольку переход из ситуации M в несуществующую по условиям задачи ситуацию F невозможен (ситуации F è L являются запрещ¼нными, недоступными). Аналогичным образом находятся и множества A13 è A23.

Рассмотрим нахождение множеств Bi. Из определения множества B1 ñëå- дует, что 1-й игрок при каждой фиксированной своей стратегии предлагает остальным игрокам (т.е. коалиции P23) выбрать наилучшую для них страте- гию на множестве A1, т.е. на множестве, на котором эта коалиция держит под угрозами любые попытки 1-го улучшить свои стратегии. Так что подобный шаг со стороны 1-го игрока это двойной реверанс в сторону коалиции P23, вдвойне выгодный для не¼. При фиксировании 1-м игроком одной из двух своих возможных стратегий, например стратегии q10, приводящей к реализации сечения G(q10) = (HKP N), коалиция P23 выбирает в сечении A1(q10), в данном случае совпадающем с сечением (HKP N) (поскольку A1 совпадает со всем игровым множеством G), наивыгоднейшие для себя ситуации H è K, â êîòî-

рых она получает максимальный в этом сечении выигрыш, равный J23=12. À при выборе 1-м игроком второй своей стратегии q11, приводящей к реализации сечения G(q11) = (EM), коалиция P23 выбирает в сечении A1(q11), в данном случае совпадающем с сечением G(q11), свой максимум в этом сечении, равный J23=13, достигаемый в ситуации E. Аналогично ищутся множества B2 è

B3.

Любое из множеств Ci ищется аналогично множествам Bi, с тем отличи- ем, что максимум каждой рассматриваемой коалиции ищется не в сечениях множества Ai, а в соответствующих сечениях множества G. И если этот максимум оказывается в ситуации, принадлежащей соответствующему сече- нию множества Ai, то эта ситуация считается принадлежащей множеству Ci; в противном случае рассматриваемое сечение вообще не учитывается. Рассмотрим, к примеру, поиск множества C3. Пусть 3-é игрок фиксирует свою первую стратегию q30, приводящую к реализации сечения G(q30) = (EHK).

104

Максимум выигрыша коалиции P12 в этом сечении достигается в ситуациях E è H и равен J12=7. Так как эти ситуации входят во множество A3, òî обе они принадлежат множеству C3. Пусть теперь 3-й игрок фиксирует свою вторую стратегию q31, реализующую сечение G(q31) = (MNP ). В этом сече- нии максимум коалиции P12 достигается в ситуации M и равен J12(M)=14. Поскольку ситуация M является элементом множества

принадлежит множеству C3.

Рассмотрим, далее, нахождение множеств Bij. По своему определению, множество B12 означает, что коалиция P12 при любой зафиксированной сво- ей стратегии предоставляет возможность 3-му игроку выбрать наилучшую для него ситуацию на множестве ситуаций A12, ни одну из которых сама эта коалиция не в состоянии улучшить для себя. Т.е. коалиция P12 предлагает 3-му игроку очень выгодный для него выбор. У этой коалиции на плоскости (q1, q2) имеются 4 стратегии (например, их можно на этой плоскости отметить буквами E, F, H, K). Учитывая, что A12 = (EHM), замечаем, что только три стратегии коалиции P12 обеспечивают реализацию тр¼х ситуаций, входящих во множество A12. При фиксации любой из этих тр¼х стратегий у 3-го игрока имеется только единственный выбор, реализующий каждую из ситуаций E, H è M. Следовательно, B12 = (E, H, M). Множество B13 ищется на множе- ñòâå A13 = (E, M, N, P ). Коалиция P13 фиксирует свои возможные стратегии, которые обеспечивают реализацию множества A13. Ïðè ýòîì ó 2-ãî игрока в сечениях EF è LM имеется всего единственный выбор ситуаций E è M на множестве A13. А в сечении NP обе ситуации N è P принадлежат множеству A13 и обеспечивают 2-му игроку одинаковый максимум J2(N) = J2(P )=3. Следовательно, B13 = (E, M, N, P ). Что же касается коалиции P23, òî îíà по очереди фикструет свои стратегии, обеспечивающие реализацию хотя бы одного из элементов множества A23. Поскольку в каждом из получаемых се- чений у 1-го игрока имеется только единственный выбор одной из стратегий множества A23, то все ситуации этого множества образуют множество B23.

Множества Cij ищутся по аналогии с множествами Bij, учитывая те раз- личия между этими множествами, которые имеются между множествами Bi

èCi.

Âследующем примере, аналогичном предыдущему, вполне можно обойтись без коалиционных и вообще усложн¼нных равновесий.

Пример 1.2. Рассмотрим игру, аналогичную рассмотренной в примере 1.1, в которой каждый из трех игроков по прежнему располагает всего двумя стратегиями, но при отсутствии в задаче запрещ¼нных ситуаций. При

105

q3

6

J(2,7,5) J(3,6,3)

N P

Ðèñ. 2.2

использовании обозначений из предыдущего примера в данной задаче принимаются следующие численные значения для тр¼хмерной вектор-функции

J = (J1, J2J3):

J(E) = (3, 4, 4), J(F ) = (1, 7, 6), J(H) = (0, 6, 6), J(K) = (2, 5, 4),

J(L) = (1, 4, 7), J(M) = (2, 8, 5), J(N) = (2, 7, 5), J(P ) = (3, 6, 3).

Все 8 значений каждой из трех платежных функций указаны на рис. 2.2 тройкой чисел в скобках (J1, J2, J3) около каждой из ситуаций E,F H,K,L,M,N,P . По-пержнему qi двузначная стратегия i-го игрока, причем конкретное числовое значение каждой из стратегий несущественно. Найдем наисильнейшее равновесие в этой некооперативной игре.

Базовая система равновесий да¼т следующие результаты:

B10 = (F, M, N), B20 = (F, M, N), B30 = (F, M), B0 = (F, M) B1 = (F, M, N), B2 = (F, M, N), B3 = (F, M), B = (F, M), C1 = (F, M, N), C2 = (F, M), C3 = (F, M), C = (F, M),

Одно из наиболее сильных непустых равновесий, C-равновесие, включа- ет две не вполне эквивалентные ситуации (F, M), а другое непустое силь-

íîå ¯0

C -равновесие задается парой ситуаций (N, K), причем очевидно, что

≥ ≥ ¯0-равновесные ситуации для всех игроков M N K, а следовательно, C

106

неприемлемы для игроков по сравнению с ситуацией M. Но тогда и среди AB-равновесных ситуаций (F, N) ситуацию N следует отбросить как неприемлемую для всех игроков. Так что наилучшей равновесной парой ситуаций является пара (F, M).

Чтобы найти единственное наиболее устраивающее всех наисильнейшее равновесие в этой игре, необходимо воспользоваться теоремой 1.5, которая дает следующую первую итерацию базовой системы равновесий:

A11 = (K, M, N), A12 = (F, K, M, N),

A13 = (F, K, M, N), A1 = (K, M, N),

AB1 свелось к неприемлемой паре точек (K, N), а множество D0, расширив- шись, стало непустым и указало на наиболее сильное равновесие в данной игре, задаваемое ситуацией M. Эта ситуация наиболее приемлема для всех

игроков, наиболее устойчива к угрозам (как показывает сама базовая система равновесий) и дает игрокам максимальные и наиболее справедливые выигрыши с учетом всех возможных взаимных угроз. Заметим, что ситуация

M, наилучшая для игроков также и с интуитивной точки зрения, не вхо-

дит не только в первую итерацию равновесия по Вайсборду, но и в само это равновесие (AB).

Однако использование равновесия по Вайсборду в качестве базового равновесия может быть полезным как с точки зрения определения единственного равновесия в игре, так и просто в качестве возможной альтернативы для

игроков.

Базовые равновесия и теорема 1.4 позволяют найти наисильнейшее из существующих равновесий в любой игровой задаче, причем в подавляющей ча- сти задач насильнейшее равновесие оказывается единственным. Вследствие этого с точки зрения практических приложений отпадает необходимость в

теоремах существования равновесий, более сильных, чем A-равновесие. Ес-

107

ли с математической точки зрения подобные теоремы и представляют определенный интерес, то с точки зрения нахождения решения игровой задачи они по существу бесполезны, поскольку независимо от того, существует или нет данный тип равновесия в данной конкретной задаче, в качестве решения задачи может рассматриваться только наиболее сильное из существующих равновесий, в поиске которого никакая теорема существования помочь не в состоянии. К тому же, любые теоремы существования любого сильного понятия равновесия могут носить лишь весьма частный характер.

Теоремы существования равновесия по Нэшу в течение десятилетий доказывались лишь потому, что это было единственное известное равновесие, красивое и простое, не вносившее в игру никаких искусственных норм поведения. В условиях же, когда установлена сомнительная прикладная ценность этого равновесия в широком классе задач (как это продемонстрировано во введении) и найдены новые равновесия, в содержательном отношении даже более привлекательные, чем это равновесие, продолжать поиски новых теорем его существования становится уже бесперспективным. Заметим, что наиболее общей теоремой существования равновесия по Нэшу является, повидимому, нижеследующая теореìà, доказанная автором в [49, 50].

Теорема 1.5. Пусть Rk, k = 1, N, выпуклые компактные множества в хаусдорфовом линейном локально-выпуклом топологическом пространстве; D - связное замкнутое множество в R = R1 ×. . .×RN , любые непустые се- чения D(rk) (k = 1, N) которого выпуклы, причем D таково, что, хотя бы для одного i 1, N, каждое сечение W (ri) замкнутого выпуклого множества W = Co{P rR1 D × . . . × P rRN D} содержит в себе сечение D(ri); далее, пусть Jk(r), k = 1, N, замкнутые ограниченные функционалы, отображающие W → E1, причем Jk(rk, ·), k = 1, N, непрерывное и вогнутое отображение Rk â E1 ïðè âñåõ rk Rk, а отображение Jk(·, rk), k = 1, N,

замкнуто, переводит точки r D в выпуклые множества F (r) W и обладает свойством неподвижной точки: существует r F (r); кроме того, точка r является равновесием по Роусу-Нэшу, т.е.

108

Доказательство. Из условий леммы следует, что, какова бы ни была точка r W , по крайней мере одна из компонент отображения F не пуста, что

является следствием компактности всех сечений и непрерывности на них отображений Jk(rk, ·), k = 1, N, что гарантирует достижение максимума в (1.18). Отображение F (r) переводит точки r W в замкнутые выпуклые множества F (r) W , что следует из того, что отображения Jk(rk, ·) вогнуты, а сечения D(rk) выпуклы.

Из самого вида (1.22) отображения F (r) следует, что его неподвижные точки, если они существуют, находятся во множестве D W . Докажем теперь, что отображение F замкнуто, то есть для любой последовательности kr → r0 â D и любой последовательности ky F ( kr), ky → y0 , оказывается y0 F (r0). Возьмем любую точку y F (r0). Из непрерывности отображения Ji(·, ri) при любых ri P rRiD следует

При каждом k = 1, 2, . . . с учетом определения (1.22) элементов yk Fk(r) справедливо отношение

Так как точка y взята из множества F (r0) (ò.å. yi взята из множества Fi(r0)), òî yi0 не может не принадлежать множеству Fi(r0) при условии (1.23), если учесть определение (1.22) отображения F . Но тогда существует точка

r F (r), что следует, например, из теоремы Фана К., утверждающей, что любое замкнутое отображение F : W → W замкнутого выпуклого множества W в себя в хаусдорфовом линейном локально выпуклом топологическом пространстве, переводящее точки r W в замкнутые выпуклые множества F (r) W , обладает свойством неподвижной точки: существует r F (r). Следовательно, с учетом вида (1.18) отображения F существует равновесие (1.23) по Рîóñó Нэшу в некоторой бескоалиционной игре с функционалами

Jk(r), k = 1, N

109

Доказанная теорема существования равновесия по Нэшу допускает свое обобщение на случаи коалиционных расширений как классического равнове-

ñèÿ ïî Íýøó, òàê è ¯0-равновесия, задаваемых двумя следующими опреде-

C

лениями.

Определение 1.15. Ситуацию q = (qPk , qPN−k ) G называют абсолютным равновесием по Нэшу, если для любой коалиции Pk, состоящей из k

игроков (1 ≤ k ≤ N − 1), выполняются неравенства

Очевидно, по аналогии с предыдущим определением, представляющим собой коалиционное расширение равновесия по Нэшу, можно сформулировать

коалиционное расширение ¯0-равновесия, которое оказывается более общим,

C

чем понятие абсолютного равновесия по Нэшу (1.28).

Определение 1.16. Ситуацию q = (qPk , qPN−k ) A0 назовем A0-

абсолютным равновесием, если для любой коалиции Pk, состоящей из k игроков (1 ≤ k ≤ N − 1), выполняются неравенства

Хотя для справедливости следующей теоремы вопрос о компактности мно- жества A0 совершенно несуществен, мы все же предполагаем в ней компакт-

ность A0, поскольку это допущение делает доказательство весьма простым.

Теорема 1.6. Если в игровой задаче, удовлетворяющей допущениям 1.1, множество A0 компактно, то множество абсолютных равновесий (1.28)

является подмножеством множества (1.29) A0-абсолютных равновесий.

Доказательство. Пусть q ситуация абсолютного равновесия. Тогда,

если учесть, что A0(qPk ) G(qPk ) и что множество абсолютных равновесий (1.28) содержится в A0, то, с одной стороны, справедливо неравенство

1 ≤ k ≤ N − 1,

а с другой, имеет место также и неравенство

110