1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

в данном случае является a13=11) и посмотреть, отмечен ли этот элемент крестиком на матрице A1. Поскольку в данном случае это имеет место, то считаем, что элемент a13 принадлежит множеству C1. Так как вторая и чет- в¼ртая строки матрицы A1 пустые, то оста¼тся проделать то же самое с третьей строкой. В третьей строке матрицы J2 максимум (равный 10) до- стигается на элементе a32, отмеченном крестиком на матрице A1. Следова- тельно, получаем C1 = (a13, a32). Чтобы найти множество C2-экстремальных ситуаций, наложим матрицу A2 (как трафарет) на матрицу J1 è íàéä¼ì ìàê- симальные элементы в каждом столбце матрицы J1. Если эти максимальные элементы совпадают с отмеченными крестиками элементами матрицы A2, òî это означает, что они содержатся во множестве C2-экстремальных ситуаций. Только в четв¼ртом столбце матрицы J1 мы наблюдаем отсутствие такого совпадения. В самом деле, максимальный элемент a34=12 в четв¼ртом столбце не оказался элементом, отмеченным крестиком на матрице A2. Следователь- íî, C2 = (a31, a12, a33). В результате имеем C = C1 ∩ C2 = . Аналогичным образом на первой итерации находим C11 = a13, C21 = a33, C1 = .

Совершенно естественные усиления B- è C-равновесий даются следующими двумя определениями.

¯

Определение 1.4. Ситуацию q Bi назовем Di-экстремальной, если

Сравнивая аргумент (q = (q1, q2) Bi) функционала Ji в правой части ра- венства (1.13a) (обозначенный буквами Arg) с определением Bi-экстремальных ситуаций, видим, что этот аргумент состоит из элементов множества Bi- экстремальных ситуаций, определяемых равенствами (1.11), а следовательно, равенства (1.13) и (1.13a) эквивалентны.

Âсамом определении Bi-экстремальных ситуаций предполагается, что i-

éигрок при выборе любой из допустимых для него стратегий благородно предлагает противнику выбрать наиболее выгодные для него (противника)

Ai, т.е. именно на том множестве, с которого i-игрок не может уйти, находясь под угрозами этого противника. И лишь после сделанного противником выбора множества наилучших для него

31

(для противника) ситуаций он теперь уже сам из этих отобранных противником ситуаций выбирает, согласно определению 1.4, наилучшую для себя q ,

обеспечивающую ему максимальный выигрыш Ji(q ).

Совершенно аналогичный смысл имеет и следующее определение.

Определение 1.5. Ситуацию q Ci назовем Di-экстремальной, åñëè

и назовем ситуацию q D-равновесием, если q D1 ∩ D2.

Обратимся к рассмотренной во введении игре Дилемма заключенного и найдем в ней все базовые равновесия: A1 = (a11, a12, a21), A2 = (a12, a21, a22),

A = (a12, a21); B1 = B2 = B = (a12, a21), C1 = C2 = C = D1 = D2 = D =

¯ ¯ ¯

a21; D1 = D2 = D = a12. Таким образом, в этой игре наиболее сильным рав-

новесием, в наибольшей степени устраивающим обоих игроков, является ¯

D- равновесная ситуация a12, а равновесная по Нэшу ситуация a21, нисколько не

более устойчивая, чем ¯

D-равновесная ситуация a12, крайне невыгодна одновременнно для обоих участников. Это ярко демонстрирует некоторую "внутреннюю" ущербность, присущую этому классическому определению равно-

весия. В значительной мере это преимущество ¯

D-равновесия перед равновесием по Нэшу обусловлено вышеуказанными элементами благородства по

¯

отношению к противнику, присущими B- è D-равновесиям (по сравнению с элементами эгоизма, неявно заложенными в определении по Нэшу, тесно связанного с определениями C- è D-равновесий в случае игровых задач с двумя

участниками). Так что в любых конфликтных задачах к равновесию по Нэшу следует относиться весьма настороженно.

Между понятиями A- è B-равновесия вполне могут иметься понятия равновесий, более сильных, чем A-равновесие, и более слабых, чем B-равновесие. Сформулируем одно из подобных понятий, названное B0-равновесием. Åñëè в некоторой конфликтной задаче множество B оказалось бы пустым, то, в общем случае, определ¼нное ниже B0-равновесие вполне могло бы оказаться

непустым, вследствие чего расширились бы возможности найти в конфликтной задаче единственное наисильнейшее равновесие. Заметим, что с ростом номера итерации k усиливаются только Ak-равновесия, т.е. на каждой следу-

ющей итерации множество Ak может только сохранять или уменьшать мно-

жество своих элементов, в то время как все остальные, более сильные типы равновесий (за редким исключением) ослабляются, а следовательно от итерации к итерации множество элементов этих равновесий может, разве что, только возрастать. Это означает, что если некоторое равновесие (исключая

32

равновесия типа Ak) на предыдущей итерации было пустым, то на следующей

или на более поздней итерации оно может стать уже непустым. Например, Bk-равновесий (где на ну-

левой итерации B-равновесие было пустым, а на первой оказалось уже не пустым: B1 = a33. Подобный итерационной подход к поиску наисильнейшего равновесия позволяет в любой конфликтной задаче найти это равновесие (в крайнем случае наисильнейших может оказаться несколько равновесий).

множество всех Bi-экстремальных ситуаций.

Смысл B0-равновесия аналогичен смыслу B-равновесия. Различие в их по- иске только в том, что если Bi-экстремальная ситуация ищется на множестве

Заметим, что ¯ 0-равновесия допускают некоторые ослабления, т.е.

D- è D

можно сформулировать некоторые ослабленные версии этих двух равнове-

сий, которые назов¼м, соответственно, ¯ 0- è A-равновесиями и которые хотя

D D

33

и весьма похожи на их исходные аналоги, но по существу являются гораздо более сложными равновесиями, особенно с точки зрения как их аналитиче- ского, так и численного расч¼та.

Назовем ситуацию q DA-равновесием, если q D1A ∩ D2A.

Поясним, в ч¼м состоит существенное различие определений 1.7 и 1.9. Мак- симум функционала Ji при поиске Di0-экстремальных ситуаций ищется на уже

известной нам проекции множества A íà îñü Qi. Прич¼м аргумент функции

Ji в определении 1.7 предполагается тоже уже известным: это множество Bi0-эктремальных ситуаций. Так что расч¼т D0-экстремальных ситуаций от- носительно прост. Расч¼т же DA-равновесных ситуаций существенно более

сложен, так как нам неизвестна ситуация q , являющаяся объектом нашего поиска, а следовательно, неизвестно и сечение A(qk), в котором мы собираем- ся искать максимум функции Ji. Известно нам только то, что разыскиваемая ситуация q содержится в уже предположительно найденном нами множе- ñòâå B0-экстремальных ситуаций, поскольку аргументом функции

является множество Bi0.

Конкретно поиск DA-экстремальных ситуаций целесообразно проводить следующим образом. Предположим, что множество B0 найдено, является непустым и на н¼м мы выбрали некоторую ситуацию q B0, в отношении которой хотим выяснить, является ли она DA-равновесной. В сечении зафиксируем некоторую точку (qi, qk), а затем в сечении A(qi) найд¼м некоторую ситуацию q¯k, в которой достигается максимум функции противника Jk. Проделав подобную процедуру для каждой точки qi из сечения A(qk), найд¼м множество ситуаций {q¯k}, в совокупности образующих аргумент функции Ji â i-й формуле в (1.18). На полученном множестве ситуаций {q¯k} находим ту

ситуацию, в которой функция Ji достигает максимума. Если эта полученная ситуация не совпадает с первоначально выбранной нами ситуацией q (äëÿ рассматриваемого нами i-го участника), то это означает, что ситуация q íå является DA-равновесием. А если совпадение достигается, то аналогичные

34

расч¼ты проделываем и для второго участника (т.е. используя вторую формулу в (1.18) при другом значении i) для той же исходной ситуации q . È

только если и во втором случае (т.е. при обоих значениях i) подобное совпадение произойд¼т, то это означает, что ситуация q является DA-равновесием.

Наиболее простым из рассматриваемого семейства равновесий является следующий аналог классического равновесия по Роусу Нэшу, формулиру-

емого, однако, не на исходнои игровом множестве G, а на множестве A- равновесий.

¯0-равновесием,

Определение 1.10. Ситуацию q A G назовем C

åñëè

Заметим, что в конфликтных задачах с двумя участниками Определения 1.3 и 1.11 по существу сводятся к равновесию по Нэшу, в связи с чем искать

ˆ0- è ˆ 0-равновесия в задачах с двумя участниками не имеет смысла. Только

C D

âзадачах с тремя и более участниками определения 1.3 и 1.11 оказываются существенно разными. Рассмотрим при¼мы поиска различных равновесий на нескольких характерных примерах.

Пример 1.2. В поселке городского типа работают две фирмы, производящие сельскохозяйственную продукцию, предназначенную для использования

âпределах поселка. Первый производитель молочный комбинат (назов¼м в дальнейшем его 1-м игроком) поставляет на продажу молоко, масло и творог, а птицеферма (2-й игрок) яйца и куры.

Чтобы выяснить, какой максимальный над¼жный доход могли бы они получать в этом пос¼лке (не мешая друг другу) за сч¼т продажи своей продукции населению пос¼лка в условиях стабильной экономики, они могли бы

35

поступить, сговорившись между собой, например, следующим образом. В те- чение первого месяца (или иного не слишком малого срока) они договариваются продавать в пос¼лке, скажем, только молоко и только яйца, а всю остальную продукцию вывозят на продажу за пределы пос¼лка. По оконча- нии первого подобного периода подсчитывают прибыль. Пусть оказалось, что 1-й игрок получил чистую прибыль в размере 6 миллионов рублей, а 2-й игрок чистую прибыль 5 миллионов рублей. На втором периоде продаж 1-й игрок прода¼т в пос¼лке, например, масло, а 2-й кур, прич¼м их прибыли за второй срок составляют, соответственно, для 1-го один миллион рублей,

àäëÿ 2-го 3 миллиона. На третьем периоде 1-й игрок прода¼т, например, творог, а 2-й игрок одновременно яйца и кур, прич¼м их прибыли на этот раз составили, например, для 1-го игрока 8 миллионов рублей, а для 2-го21 миллион рублей. Испробовав все подобные комбинации, число которых в данном случае равно 21, они, получают в сво¼ распоряжение следующие плат¼жные функции (функции их чистых прибылей), которые в данном слу- чае записываются в виде следующих матриц (заметим, что более эффективно можно определить эти матрицы, поставляя на рынок сразу все свои товары,

àзатем обработать полученную информацию о прибылях с помощью методов теории идентификации параметров, позволяющей найти элементы этих

матриц):

ÿéöà êóðû ÿéöà, êóðû

Согласно этим матрицам, у 1-го игрока имеется семь стратегий q1i, i=1,. . . ,7,

36

определяемых выбором им любой из 7 строк, а у 2-го игрока три q2k, k=1,2,3, определяемых выбором им одного из тр¼х столбцов. Из этих мат-

риц видно, что в условиях стабильной экономики (в отсутствие кризисов) если бы, к примеру, 1-й игрок выбрал четв¼ртую строку матрицы, предпочтя продавать в пос¼лке всю свою производимую продукцию (т.е. молоко, масло и творог), и второй тоже поступил бы таким же образом (продавая яйца и кур), т.е. выбрал бы свою третью стратегию, то их чистые прибыли (которые они извлекают из населения, а не отнимают друг у друга) составили бы, соответственно, 9 и 12 миллионов рублей это то, что они получили бы в

игровой ситуации (в элементе их матриц a43). А если бы 1-й игрок продавал всю свою продукцию, а 2-й только яйца (т.е. выбрал бы первый столбец), то их прибыли составили бы, соответственно, 21 и 11 миллионов рублей (в игровой ситуации a41). Заметим, во-первых, что подобные плат¼жные матрицы можно получить не только описанным выше упрощ¼нным пут¼м, но и другими способами, и, во-вторых, что оба участника рынка знают не только свою плат¼жную матрицу, но и матрицу конкурента (поскольку любая экономическая информация доступна для всех в налоговой инспекции).

Теперь перед игроками стоит проблема: какую стратегию следует выбрать каждому из них, чтобы наверняка получить максимальную прибыль? Прич¼м заметим, что свою прибыль участники получают вовсе не за сч¼т конкурента, поскольку подобная игра не является антагонистической по своей сути, а всю прибыль извлекают из населения пос¼лка. Так что перед продавцами задача: какая их стратегия позволит им честным пут¼м отобрать у населения пос¼лка как можно больше денег и чтобы при этом сделанный выбор стратегий вполне устроил их обоих, не оставив им возможности обмануть конкурента. Так что игрокам следует найти устойчивые и одновременно взаимно выгодные с точки зрения прибылей стратегии, которые реализуют наиболее предпочтительный

элемент aij (ситуацию) на их плат¼жных матрицах.

Конечно, игроки понимают, что наибольшую совместную прибыль из населения пос¼лка позволяет извлечь такая пара их стратегий, которая приводит

к ситуации akl, в которой сумма выигрышей участников максимальна. Подобной ситуацией в данной игре, как легко видеть, является a41, где сумма чистых прибылей игроков равна 21+11=32. Однако на кооперацию игроки пойдут только при условии, что найдут способ справедливого раздела кооперативного дохода. А чтобы найти справедливый дел¼ж кооперативного дохода, необходимо предварительно знать все наисильнейшие равновесия в игре. Если построена удовлетворительная теория конфликтных (игровых) равно-

37

весий, то и проблема справедливого дележа кооперативного дохода вполне решается. К сожалению, классическая теория игр в 20-м веке не смогла предложить ни достаточного многообразия естественных понятий игрового равновесия, ни, тем более, справедливого дележа кооперативного дохода.

Заметим, что, сговорившись на кооперативное решение, продавцы абсолютно игнорируют интересы жителей пос¼лка, поскольку наивыгоднейшая

для продавцов ситуация a41 означает, что (по крайней мере в сво¼м относительно ближайшем будущем) они предпочтут поставлять на продажу в этом пос¼лке только куриные яйца, молоко, масло и творог, а куриное мясо будут вывозить из поселка на другие рынки.

К сожалению, применение излагаемой теории в экономике неизбежно привед¼т к катастрофическому разделению людей на небольшое число сверхбогатых, заинтересованных только в максимизации личных доходов, и подавляющее большинство очень бедных людей. Данный простейший пример экономического поведения на рынке как раз и демонстрирует подобную возможность.

Итак, прежде всего, нам необходимо найти наиболее выгодные и конкурентно устойчивые виды производства для обеих фирм и выяснить условия создания ими кооперации. Для этого требуется сначала определить наиболее сильные конфликтные равновесия в этой игровой задаче. Прежде всего

найд¼м наиболее слабые A-равновесные ситуации (существующие всегда), которые отметим крестиками на плат¼жных матрицах игроков:

38

Определим, далее, наиболее сильные базовые равновесия:

D1A(a41) = D2A(a41) = DA = a41,

D1A(a12) = D2A(a12) = DA = a12,

Таким образом, определилась пара наиболее сильных базовых равновесий (a12, a41), выделить из которых наисильнейшее на данной нулевой итерации не удалось.

Прежде чем пытаться найти наисильнейшее равновесие, рассмотрим по-

A- è ¯ 0-равновесные ситуации, нахождение кодробно, как определяются D D

торых оказывается достаточно сложным. При поиске усложн¼нных поня-

A- è ¯ 0-равновесий мы используем аргумент, роль которого выполнятий D D

ет та ситуация, которую мы подозреваем в том, что она могла бы явиться разыскиваемой равновесной ситуацией, например, мы пишем: D1A(a41) = D2A(a41)=DA(a41) = a41. Заметим, что на роль подобных подозрительных ситуаций могут рассчитывать только B- èëè B0-равновесные ситуации, как это

будет доказано ниже. Чтобы проверить, является ли, к примеру, ситуация

доступны четыре стратегии (q13, q14, q16, q17) (в которых реализуются ситуации (a31, a41, a61, a71)). Если среди них 1-й игрок фиксирует сначала третью строку (т.е. стратегию q13), то у 2-го игрока в третьей строке матрицы A1, íà- ложенной на матричную функцию J2, не имеется иного выбора, кроме единственной ситуации a31, в которой, следовательно, и достигается максимум J2 в этой строке. Если затем 1-й игрок (из указанных выше четыр¼х стратегий)

39

фиксирует четв¼ртую строку матрицы A1, то 2-й игрок имеет теперь уже воз- можность максимизировать в этой строке свою функцию J2 на двух точках (ситуациях) a41 è a42, прич¼м максимум J2 реализуется в точке a41. Далее, ес- ëè 1-é игрок (на множестве допустимых для него четыр¼х стратегий матрицы A1) фиксирует свою шестую строку, то у 2-ãî игрока имеется возможность искать максимум своей функции на множестве ситуаций (a61, a62, a62). Ýòîò максимум достигается в ситуации a62. И, наконец, если 1-é игрок фиксирует седьмую строку, то на матрице A1, наложенной, как трафарет, на матрицу J2, ó 2-ãî игрока имеется только одна первая стратегия, реализующая единственный элемент a71 в седьмой строке матрицы A1. Таким образом, аргументом функции J1 в равенстве (1.22) оказываются четыре найденные нами ситуации (a31, a41, a62, a71), на множестве которых функция J1 достигает максимума в

Аналогично ищутся и DA-равновесные ситуации.

Попробуем найти наисильнейшее равновесие с использованием первой итерации. Сначала вычислим матрицы A11, A12 è A1:

Найд¼м все остальные равновесия на первой итерации:

A11 = (a12, a41, a63), A12 = (a12, a31, a41, a62, a63), A1 = (a12, a41, a63),

Ситуация a41, с точки зрения выигрыша в ней обоих участников, предпо- чтительнее для них, чем ситуация a12, прич¼м 1-й игрок за рассматриваемый период получает в ней прибыль 21 миллион рублей, а 2-й 11 миллионов рублей. Эта же ситуация да¼т и кооперативное решение. Это относительно

40