1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

Определение 1.4. Ситуацию (q , r ) C1 ( C2) назовем D1- экстре- мальной (соответственно, D2-экстремальной), åñëè

(q,r) C1

(соответственно, если

(q,r) C2

Если же (q , r ) = (¯q , r¯ ), то ситуацию (q , r ) назов¼м D-равновесием (D = D1 ∩ D2).

Из определений 1.3 и 1.4 следует, что в антагонистических задачах D-

равновесные ситуации можно рассматривать в качестве незначительного обобщения вводимого в следующем определении понятия слабозависимой седловой точки.

Определение 1.5. Ситуацию (q , r ) G назовем "слабозависимой"седловой точкой, если имеют место равенства

Аналогичным образом, в антагонистическуих задачах можно считать некоторым аналогом понятия C-равновесия следующее определение седловой точ-

ки, обобщающее определение 1.5.

Определение 1.6. Ситуацию (q , r ) G назов¼м "зависимой"седловой точкой, если

Пример 1.1. Пусть 1-й игрок минимизирует, а 2-й максимизирует функцию J = r − q на множестве

G = {(q, r) : q + r ≤ 1, q ≥ 0, r ≥ 0}.

Нетрудно убедиться, что множество зависимых седловых точек задается отрезком {q + r = 1, q ≥ 0, r ≥ 0}. В то же время легко проверяется, что

−1 = min max (r − q) < max min (r − q) = 1,

а следовательно, слабозависимой седловой точки не существует.

191

Пример 1.2. Антагонистическая игра с платежной функцией J = q + r

на том же множестве, что и в задаче 1.2, как легко проверить, имеет слабозависимую седловую точку (q , r ) = (0, 1), в которой

min max (q + r) = 1 = max min (q + r).

Эта же точка является и единственной зависимой седловой точкой в этой игре.

Введем, далее, аналог ¯0-равновесия, который назовем сильнозависимой

C

седловой точкой.

Определение 1.7. Ситуацию (q , r ) G назовем сильнозависимой сед-

Рассмотрим усиления сильнозависимой седловой точки, первым из кото- рых является D0-равновесие, которое в случае антагонистических игровых

задач назовем сильной активной седловой точкой.

Определение 1.8. Ситуацию (q , r ) G назовем сильной активной седловой точкой, если она удовлетворяет равенствам

max min J(q, r) = J(q , r ) =

q P rQA r A(q)

равновесия допускают сво¼ распространение на случай антагонистических задач. Однако мы не станем переименовывать их в седловые точки (традиционно естественные для обозначения устойчивых состояний в антагонисти- ческих задачах), поскольку во множестве подобных названий можно просто запутаться.

192

Рассмотрим сначала примеры простых матричных антагонистических игр. В подобных модельных задачах удобно в плат¼жной матрице использовать различные численные значения, что позволяет и все ситуации равновесия

задавать числами, а не элементами aij плат¼жной матричной функции J. Пример 1.3. Рассмотрим антагонистическую матричную игру с платеж-

ной функцией

1-й (минимизирующий) игрок выбирает строки qi матрицы J, а 2-й (максимизирующий) игрок, столбцы rj.

Находим сначала множество самых слабых A-равновесий, вычисляя пред- варительно множества A1- è A2-экстремальных ситуаций:

Определяем все наиболее сильные равновесия:

B1 = (6, 7), B2 = (7, 8, 6, 4), B = (7, 6),

C1 = D1 = 7, C2 = D2 = 4, C = D = ,

C1n = 7, C2n = 4, Cn = C1n SC2n = (7, 4), DA = (6, 7)

Поскольку B ∩ Cn ∩ DA= 7, то наисильнейшим равновесием в этой антагонистической игре является единственная ситуация a14, в которой плат¼ж- ная функция принимает значение J = 7. Ситуация a14 обладает наибольшей устойчивостю и ни один из игроков не в состоянии улучшить ее для себя. В самом деле, 2-ìó игроку отклоняться от этой равновесной ситуации нет смысла, так как он может получить лишь меньше 7. А если бы 1-é игрок не согласился с ситуацией a14 и перешел бы в единственную доступную ему для улучшения ситуацию a44, в которой J = 2, òî 2-é игрок несомненно сделал бы ответный ход в ситуацию a41, в которой J = 8. Но с этим значением J 1-é игрок не согласился бы с большим основанием, чем с исходной равновесной ситуацией a14, и перевел бы игру в ситуацию a11, из которой, в ответ, 2-é

193

игрок вернул бы игру в исходную равновесную ситуацию a14. Таким образом, ситуация a14 абсолютно устойчива и ни одному из игроков не имеет смысла от нее отклоняться.

Рассмотрим еще одну антагонистическую матричную игру, в которой именно несимметричные равновесия позволяют выделить наисильнейшее равновесие. Однако в этой игре мы, ради разнообразия, поменяем местами смысл строк и столбцов, на что особо обращаем внимание читателей.

Пример 1.4. Пусть 1-й игрок, выбирая столбцы матричной платежной функции J, минимизирует ее, а 2-й игрок, выбирая строки, максимизирует:

Найдем сначала основные базовые равновесия, обозначая, ради удобства, элементы aik матрицы J числами, стоящими в этих элементах:

На роль наисильнейшего равновесия претендует только ситуация a21 = 7, поскольку одновременно она является B-, DA- è Cn-равновесной. Следующая

итерация не содержит какой-либо информации, которая могла бы поколебать этот вывод.

Пример 1.5. Рассмотрим антагонистическую игру с плат¼жной функцией

J(q, r) =

q

r

на множестве G, имеющем вид четыр¼х треугольников на рис. 4.1. 1-й игрок, заинтересованный в минимизации плат¼жной функции J, распоряжается выбором координаты q, а 2-й игрок, заинтересованный в максимизации этой

194

u

6

TR

функции, выбирает координату r, прич¼м допустимы только пары координат (q, r), реализующие точки из множества G. Уровни функции q/r = const представляют собой лучи, исходящие из начала системы координат (q, r). Наиболее выгодный для 2-го участника уровень плат¼жной функции проходит через отрезки F W è NR, а для 1-го наиболее выгодный уровень проходит через отрезки KM è ST . Для данной игры нетрудно найти все основные базовые равновесия:

Заметим, что множество наисильнейших равновесий DA = (W N) оказывается существенно более предпочтительным для 2-го игрока, чем для 1-го (см. рис. 4.1), так как хотя каждое из множеств A1 è A2 и перекрывает весь диапазон изменения значений платежной функции J на множестве G, íî, îä-

нако, 1-й игрок находится под большим контролем 2-го, поскольку A1 = G, в то время как 2-й игрок контролируется 1-ым (т.е. находится под влиянием угроз 1-го) на множестве A2, лишь немного большим половины множества G.

Пример 1.6. Пусть игроки максимизируют функции J1 = q2/q1 è J2 = −q2/q1, т.е. участвуют в антагонистической игре, в которой первый игрок, выбирая стратегию q1, максимизирует функцию J = q2/q1 = J1, а второй, выбирая стратегию q2, минимизирует эту же функцию J на множестве G, изображенном на рис. 4.2, составленном из четырех треугольных областей:

G = {(q1, q2) : |q1 + q2| ≤ 1, |q2 − q1| ≤ 1, |q1| ≥ a, |q2| ≥ a, 0 < a < 1/2}.

195

Найдем сначала базовую систему равновесий:

A1 = EKME ∩ GRT G UW NQ,

A2 = HUW H ∩ F NQF GRSG EKLE,

A = A1 ∩ A2 = EKLE GRSG NQ UW,

B1 = NQ UW, B2 = GS EL [NP ) [UV ), B = [NP ) [UV ),

C1 = NQ UW, C2 = E G, C = ,

D1 = Q W, D2 = E G, D = ,

¯ ¯ ¯ ¯ 0

D1 = Q W, D2 = N U, D = , D = [NP ) [UV ).

Наиболее сильными из существующих использованных базовых равнове-

представляющее собой довольно широкое множество, значения платежной функции в каждой точке которого различны. Сузить это множество, доведя его, возможно, до пары точек, можно с помощью более сильных равновесий, которые мы в данном примере не рассматриваем.

Пример 1.7. Рассмотрим антагонистическую игру, в которой 1-й игрок выбирая значение q из допустимого игрового множества G, стремится обеспечить минимум плат¼жной функции

а 2-й игрок, выбирая допустимое значение r, максимум этой же плат¼жной функции на множестве

G = {(q, r) : q = 1 ïðè r [0; 0, 25] è r [0, 75; 1]; r = 0 è r = 1ïðè q [0; 0, 25]}

Найдем все седловые точки в этой игре (см. рис. 4.3):

A1 = MN LK F H,

A2 = OE F H K, A = F H K;

B1 = F H K, B2 = F E, B = F ;

196

u

Ðèñ. 4.3

отсюда видно, что в игре существует всего одна сильнозависимая седловая точка F (совпадающая с B-равновесием). Выясним, не является ли эта точка

также и более сильным равновесием. Найдем более сильные равновесия в этой игре:

Таким образом, наисильнейшим равновесием оказалась единственная ситуация F , являющаяся сильной активной седловой точкой ( D0-равновесием),

в которой J = 1.

2. Зависимости между седловыми точками

Зависимости между различными типами седловых точек можно определить , конечно же, пользуясь результатами, изложенными в первой главе. Однако, более глубокие связи между ними позволяют выявить привед¼нные в этом разделе теоремы.

Теорема 2.1. Чтобы ситуация (q , r ) G являлась зависимой седловой

точкой в игре, удовлетворяющей допущениям 1.1, необходимо и достаточ- но, чтобы она удовлетворяла равенствам

которые эквивалентны равенствам

Доказательство.Необходимость. Åñëè (q , r ) зависимая седловая точка (1.10), то из е¼ определения следует

197

Если учесть, что функции J(·, q) è J(q, ·) непрерывны и что сечения G(r ) è G(q ) компактны, то отсюда следует, что функция J(q, r) достигает своего максимума и минимума в сечениях G(q ) è G(r ), а следовательно, имеют

место равенства (2.1).

Достаточность очевидна, поскольку по определениям операций максимума и минимума равенства (2.1) можно записать в виде (1.10). Остается доказать эквивалентность равенств (2.1), (2.2).

Åñëè (q , r ) ситуация, удовлетворяющая равенствам (2.1), то справедливы неравенства

следующие из того, что, какова бы ни была ситуация (q , r ) G, при любых q G(r ) очевидно неравенство

max J(q, r) ≥ J(q, r ), q G(r ),

r G(q)

а при любых r G(q ) неравенство

min J(q, r) ≤ J(q , r), r G(q ).

q G(r)

Покажем, что неравенства (2.3) на самом деле представляют собой равенства. Левое неравенство в (2.3) запишем в виде

причем левую часть последнего неравенства можно представить в следующей эквивалентной форме

откуда видно, что левая часть неравенства (2.4) не может быть больше правой, так как согласно (2.5) представляет собой наименьшее из двух чисел, одним из которых как раз и является правая часть (2.4). Следовательно,

Сравнивая неравенство (2.6) с левым неравенством в (2.3), замечаем, что если ситуация (q , r ) равновесна в смысле (2.1), то должны иметь место

равенства

198

а следовательно, инфимум в левой части достигается и имеет место левое равенство в (2.2). Аналогичным образом доказывается, что и правое неравенство в (2.3) оказывается равенством, когда ситуация (q , r ) равновесна в

смысле (2.1). Отсюда следует, что ситуация (q , r ) удовлетворяет равенствам

(2.2).

Обратное утверждение является просто следствием определений максимума и минимума:

Замечание 2.1. В отсутствие непрерывности функций J(·, r) è J(q, ·) и (или) компактности всех множеств G(q) è G(r) равенство (2.2) может не

быть эквивалентным равенству (2.1) и определению седловой точки (2.5). В то же время из определения операций максимума и минимума следует, что если имеют место равенства (2.2), то удовлетворяются и равенства (2.1), из которых, в свою очередь, следует выполнение неравенств (1.10). Это означа- ет, что множество ситуаций (q , r ), удовлетворяющих определению седловой

точки (1.10), в общем случае не беднее множества решений уравнений (2.1), а это последнее не беднее множества решений уравнений (2.2). Следовательно, необходимым условиям существования равновесия по Роуcу-Нэшу (2.1) должны удовлетворять и все решения равенств (2.2), зачастую наиболее интересные в прикладном отношении.

Теорема 2.2. Любая ситуация (q , r ), удовлетворяющая допущениям 1.1 и равенствам

т. е. являющаяся классической седловой точкой, удовлетворяет также ра-

венствам (1.9), т. е. оказывается слабозависимой седловой точкой.

Доказательство. Пусть ситуация (q , r ) удовлетворяет равенствам

(2.8). Òàê êàê G(q) P rRG ïðè q P rQG è G(r) P rQG ïðè r P rRG, òî

199

Покажем, что на самом деле все эти отношения являются равенствами. Из первых пяти отношений (2.9) следует

В то же время при любом q P rRG очевидно неравенство

Вычисляя нижнюю грань по q íà P rQG в обеих частях неравенства (2.11), получаем

Из (2.10), (2.12) следует равенство

показывающее, что inf è sup достигаются. Аналогичным образом устанавливается равенство

Из (2.13) и (2.14) следует утверждение теоремы.

Теорема 2.3. Любая слабозависимая седловая точка (q , r ), удовлетво-

ряющая допущениям 1.1, удовлетворяет равенствам (2.2).

Доказательство. Учитывая, что G(r ) P rQG è G(q ) P rRG, è

принимая во внимание, что ситуация (q , r ) удовлетворяет равенствам (1.9), имеем

200