1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

редкий случай, когда создание кооперации по существу теряет смысл, поскольку выигрыш их в обоих случаях оказывается одним и тем же. Заметим, что поскольку матрица A1 состоит из тр¼х элементов, несравнимых между

собой, то все эти элементы на первой итерации автоматически оказываются

A1- è ¯ 01-равновесными (что понятно уже из самого их определения), а сле-

D D

довательно, на этой итерации они не могут дать полезной информации. Так что взаимно конкурентно наиболее выгодной и наиболее устойчивой является

ситуация a41.

Следующий пример можно считать более общим, чем предыдущий в том смысле, что в н¼м конфликт (игра) рассматривается хотя и на едином для

обоих участников игровом множестве G, но не на вс¼м теоретически доступном участникам игровом поле (т.е. не на прямом произведении P rQ1 G × P rQ2 G, как это было в предыдущем примере). Заметим, что в ещ¼ более общем случае игровые множества G1 è G2 у участников могут быть вообще разными, прич¼м если эти множества не пересекаются (т.е. G1 ∩ G2 = ), то это означает, что участники между собой абсолютно независимы и между ними невозможен никакой конфликт; если же эти множества пересекаются полностью (т.е. G1 = G2 = G), то это стандартный случай, которому посвящена по существу вся классическая теория игр и которому посвящена большая часть дальнейшего изложения; а если множества G1 è G2 пересекаются только частично, то подобные задачи, также изученные ниже и названные задачами на пересекающихся множеств интересов участников (или задачами с побочными интересами участников), требуют гораздо более углубл¼нного анализа.

Пример 1.3 Рассмотрим конфликтную (игровую) задачу с двумя участниками на весьма произвольно выбранном едином для обоих участников иг-

ровом множестве G. Пусть каждый из игроков максимизирует свою (матрич- ную) платежную функцию

Оба игрока располагают четырьмя стратегиями: 1-й игрок выбирает одну из четырех строк, а 2-й один из четырех столбцов. Игровое множество G

в этой задаче состоит из тех 12 ситуаций aij в вышеприведенных матрицах,

41

в элементах которых вписаны значения платежных функций. Найдем наиболее сильное (из существующих в этой игровой задаче) равновесие, причем

сначала найдем матрицы A1, A2 è A:

Находим, далее, базовые равновесия:

B10 = B1 = (a14, a22, a34, a42), B20 = B2 = (a11, a23, a34, a42),

B0 = B = (a34, a42),

C1 = (a14, a22), C2 = (a11, a23, a34, a42), C = ,

0 ¯ 0 ¯ 0 ¯ ¯ 0

D1 = D1 = a42, D2 = D2 = a23, D = D = D = , D = a42.

Таким образом, предварительно на роль наисильнейшего равновесия пре- тендует ситуация a42, найти которую удалось только с помощью довольно

трудно рассчитываемого усложн¼нного понятия ¯ 0-равновесия. Для подтвер-

D

ждения полученного результата найдем также и все равновесия первой итерации, т.е. рассматривая вспомогательную игру на множестве A с платежными функциями

Наислабейшее A1-равновесие в этой вспомогательной игре задается матрицами

а базовые равновесия 1-й итерации имеют вид

42

Поскольку на нулевой итерации равновесие ¯ 0

D = a42 несколько сильнее

a42 является немного более сильным равновесием, чем ситуация a23. À âñå остальные ситуации в этой игровой задаче, включая B-равновесную ситуа- öèþ a34, оказываются существенно более слабыми. Однако, так как ситуация

поднимает е¼ статус, почти уравнивая е¼ с ситуацией a42. Если же учесть,

0-, íè ¯ ¯ 0-, что на нулевой итерации ситуация a23 не являлась ни D D-, íè D

íè äàæå B-равновесной, то можно утверждать, что со стратегической точки зрения (т.е. с позиций взаимных угроз) ситуация a42 вс¼ же немного сильнее ситуации a23.

Заметим, что даже тот факт, что в ситуации a23 оба участника получают выигрыши большие, чем в ситуации a42, со стратегической точки зрения не дает этой ситуации преимуществ перед последней. Поскольку же со стратегической точки зрения обе эти ситуации почти эквивалентны, то и считаться с ними необходимо почти как с равными. И это становится особенно важным при рассмотрении игры как кооперативной, в которой игроки, скооперировавшись, заинтересованы выбрать ситуацию a23, в которой они получают максимальный кооперативный доход в размере 19. Однако следует отметить, что тот факт, что кооперативный доход оказался в данном случае именно в ситуации a23 не дает этой ситуации абсолютно никакого преимущества перед

ситуацией a42. Cправедливый дележ кооперативного дохода совершенно не зависит от того, в какой ситуации он реализуется, а рассчитывается только в зависимости от наисильнейших (наисильнейшей) равновесных ситуаций, каковыми в данном случае оказались почти одинаково равновесные ситуации a42 è a23. Так что справедливый дележ кооперативного дохода в рассматриваемой игре определяется на основе этих двух ситуаций, рассматриваемых как равноценные (заметим, что полная теория кооперативных игр излагается ниже, где и рассматривается вопрос о справедливом дележе кооперативного дохода).

Следует отметить еще, что выполнение 2-й и последующих итераций в A1 являет-

ся единственным элементом в соответствующих ему строке и столбце (это означает, что матрица A1 играет роль предельной матрицы A∞).

Рассмотрим ещ¼ один пример матричной конфликтной задачи.

Пример 1.4. Рассмотрим некооперативную игру с двумя участниками, в которой найти насильнейшее равновесие (решение) в наибольшей степе-

43

ни помогает наиболее усложн¼нное ¯ 0-равновесие. Пусть каждый из игроков

D

максимизирует свою (матричную) платежную функцию

Оба игрока располагают четырьмя стратегиями: 1-й игрок выбирает одну из четырех строк, а 2-й один из четырех столбцов. Найд¼м наиболее сильное (из существующих в этой игровой задаче) равновесие, причем сначала ищем

матрицы A1, A2 è A:

Далее, определяем наиболее существенные базовые равновесия:

B10 = (a14, a23, a34), B20 = (a12, a23, a34), B0 = (a23, a34),

B1 = (a14, a23, a34, a44), B2 = (a12, a23, a34, a41), B = (a23, a34),

Отсюда следует, что выявить наисильнейшее равновесие a23 на нулевой

итерации помогло только ¯ 0-равновесие. Для подтверждения этого результа-

D

та найдем вс¼ же все равновесия первой итерации, рассматривая вспомогательную игру только на множестве A, т.е. как игру с платежными функциями

Наислабейшее A1-равновесие в этой вспомогательной игре задается матрицами

44

Таким образом, первая итерация выделила два наиболее наиболее силь-

ных (в рамках этой итерации) ¯ 01 ¯ 0- D -равновесия (a23, a34). Но поскольку D

равновесие на нулевой итерации немного сильнее такого же типа ¯ 01-равновесия

D

на первой итерации, то ситуация a23 является наисильнейшим равновесием

âданной задаче. Однако при разделе кооперативного дохода, достигаемого

âситуации a12 и равного 21, игрокам следует учитывать, что равновесные

ситуации a23 è a34 почти эквивалентны.

Докажем теперь некоторые теоремы, определяющие взаимные зависимости между различными типами равновесий.

Теорема 1.3. При условиях теоремы 1.1 и компактности множеств A1

¯N равновесных по Роусу Нэшу ситуаций оказывается

èA2 множество C

подмножеством множества симметричных B-равновесий, а это последнее

оказывается подмножеством множества ¯0-равновесий.

C

Доказательство. Пусть (q ) равновесная по Роусу Нэшу ситуация.

Легко видеть, что она содержится во множестве A1 ∩ A2. Действительно, ситуация q оказывается Ai-экстремальной, i = 1, 2, поскольку в этом случае

в определении 1.1 в качестве qˆk < qi > достаточно взять qˆk = qk. Отсюда следует, что множества A(qi ) è Ai(qi ), i = 1, 2 не пусты.

Кроме того, так как A = A1 ∩ A2 è Ai G, òî A(qi ) Ai(qi ) G(qi ), i = 1, 2. Принимая во внимание также тот очевидный факт, что если максимум некоторого функционала достигается в некоторой точке q G и эта точка принадлежит компактному множеству A G, то максимум этого функционала на множестве A тоже окажется в точке q , получаем, что если

45

q равновесная по Роусу Нэшу ситуация, то, с одной стороны, очевидны

отношения

Роусу Нэшу ситуация, то неравенства (1.23) обращаются в равенства, а следовательно, эта ситуация оказывается также и симметричным B-равновесием,

а это последнее оказывается ¯0

C -равновесием

¯0-равновесная ситуация, то очевидные нестро-

Следствие 1.3. Åñëè q C

гие неравенства

могут оказаться и строгими, а следовательно, не каждая ¯0-равновесая ñè-

C

туация равновесна по Роусу Нэшу.

Теорема 1.4. Пусть множество A компактно. Тогда любая D0-равновесная

ситуация является ¯0-равновесием.

C

Доказательство. Пусть ситуация q D0-экстремальна. Тогда она удо-

влетворяет равенствам (1.16), из которых следует существование при каждом i=1,2 точек qi , в которых удовлетворяются равенства

как раз и определяющие ¯0 .

C -равновесную ситуацию q

Теорема 1.5. ¯ 0-равновесие содержит в себе ¯

D D-равновесие, причем это последнее содержится также и в D0-равновесии.

Доказательство. Из самих определений ¯ 0- è ¯ 0-равновесий ñëå-

D-, D D

дует, что все они, когда существуют, содержатся во множестве A. В самом D0-равновесные ситуации ищутся непосредственно на множестве A, à

¯ 0-равновесные ситуации определяются, в конечном итоге, тоже на пе-

D

ресечении множеств A1 è A2, ò.å. òîæå íà A.

¯

Пусть существует ситуация (точка) q D A. Покажем сначала, что

¯ 0. Если учесть, во-первых, что, какова бы ни была точка

D D q A,

46

ющей итерации становятся более слабыми (т.е. множество этих равновесий может лишь увеличиваться), в то время как Ak-равновесия на каждой сле-

дующей итерации, наоборот, усиливаются (т.е. множество Ak-равновесных

ситуаций на каждой следующей итерации никогда не может быть больше, чем на предыдущей).

Из вышедоказанных теорем следует следующая теорема.

Теорема 1.6. В играх с двумя участниками между понятиями равновесия из базовой системы равновесий, задаваемой определениями 1.1 1.10, имеет место следующая иерархическая цепь из равновесий:

Теорема 1.7. На основе базовой системы конфликтных равновесий могут быть построены бесконечные последовательности из равновесий Ak,

ñèé Ak, Bk, Ck образуют замкнутые кольца из попарно вложенных друг в друга равновесий и всегда Ak−1 Ak, т.е. с увеличением индекса k множе- ñòâà Ak сужаются (усиливаются), а более сильные равновесия расширяются (ослабляются), т.е. Bk−1 Bk, Ck−1 Ck, k = 1,2,3,....:

Доказательство. Поскольку A-равновесие (хотя бы в ε- аппроксимации) существует в любой задаче, то, независимо от того,

48

существуют или нет в рассматриваемой той или иной конкретной конфликтной задаче более сильные равновесия, всегда можно сформулировать первую вспомогательную задачу, в которой роль исходного игрового множества

играет не множество G, а множество A; и на множестве A всегда могут

быть найдены равновесия, задаваемые определениями 1.1 1.10, которые назов¼м равновесиями первой итерации. Затем на A1, как на исходном

игровом множестве во второй вспомогательной задаче, следует снова найти все базовые равновесия второй итерации, и т.д. Причем с любой заданной точностью даже множество A∞ не пусто.

Чтобы доказать кольцевую структуру из равновесий A, B è C, прежде всего установим, что хотя бы при одном k имеют место включения Ak Ck+1Bk Ck, например, что A C1 B C. Примем во внимание, что, как следует из определения 1.3, в задачах с двумя участниками равновесие по Роусу Нэшу совпадает с C-равновесием. Чтобы не проводить достаточ- но громоздкого доказательства в ε-аппроксимации, будем считать, что A компакт. Пусть (q ) равновесная по Роусу Нэшу ситуация. Легко видеть, что она содержится во множестве A1 ∩ A2. Действительно, ситуация q îêà-

зывается Ai-экстремальной, i = 1, 2, поскольку в этом случае в определении

1.1 в качестве qˆk < qi > достаточно взять qˆk = qk.

Кроме того, так как A = A1 ∩ A2 è Ai G, òî A(qi ) Ai(qi ) G(qi ), i = 1, 2. Принимая во внимание также тот очевидный факт, что если максимум некоторого функционала достигается в некоторой точке q G и эта точка принадлежит компактному множеству A G, то максимум этого функционала на множестве A тоже окажется в точке q , получаем, что если q равновесная по Роузу Нэшу ситуация, то, с одной стороны, очевидны

следующие из определения операции максимума.

Но из приведенных групп неравенств следует, что если q равновесная

по Роусу Нэшу ситуация, то эта ситуация оказывается также и симметрич-

¯0-равновесием, ным B-равновесием, которое, в свою очередь, оказывается C

а это последнее, как следует из самого его определения, содержится в A. Åñ-

49

множестве A совпадает с определением равновесия типа C на этом множестве (т.е. со множеством C1), то цепь включений A C1 B C оказывается доказанной.

Покажем, что B- è C-равновесия на каждой следующей итерации не уже

соответствующего множества равновесных ситуаций на предыдущей итерации, в связи с чем итерационная последовательность и оказывается расширяющейся (ослабляющейся), в противоположность последовательности Ak,

для которой справедливы включения Ak+1 Ak, k=1,2,.... Например, всегда B1 B. В самом деле, допустим от противного, что имеется ситуация q B, íî q / B1. Это значит, что ситуация q удовлетворяет равенствам (1.11) и в

то же время не удовлетворяет этим равенствам, рассматриваемым на множестве A1. Однако последнее невозможно, если учесть, что A1 A è ÷òî åñëè

q является максимумом некоторой функции на некотором множестве, то это

же значение является максимумом этой же функции и на любом подмножестве этого множества, содержащем точку q . Отсюда следует, что B B1,

т.е. множество B1 оказывается более широким (т.е. определяет более слабые равновесия), чем множество B. Аналогично доказывается, что и

Ck−1 Ck, k = 1,2,...

Заметим, что из самого определения B-равновесия следует включение B A, если учесть, что в случае, если бы некоторая точка q B не принадлежала множеству A, то это означало бы, что она не принадлежит хотя бы одному из множеств Ai. Но в этом случае она не могла бы принадлежать множеству B. Что касается включения C B, то оно оказывается следствием вклю- чений Ci Bi, становящихся очевидными, если учесть, что (при i = 1, 2)

множество Bi-экстремальных ситуаций представляет собой множество максимумов в каждом сечении Ai(qi ), в то время как множество Ci-экстремальных ситуаций состоит только из той части этих максимумов, которые одновремен-

Остальные включения из привед¼нной выше диаграммы вполне очевидны. Рассмотрим простой пример, в котором игровое множество G состоит не из

конечного множества точек (каковыми являлись матрицы в рассмотренных выше примерах), а представляет собой замкнутое ограниченное множество

на плоскости (q1, q2).

50