1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

одно из значений πs в равенствах (2.2) достигается не менее чем на двух

оптимальных коалициях, имеющих непустое пересечение.

Доказательство. Если имеются две (или более) оптимальные коали-

что остальные πi достигаются на единственных коалициях), то отсюда уже следует (из самого определения оптимальных коалиций) существование та-

последнее утверждение. Учитывая определение функции π и определение 2.1

Рассмотрим коалицию Pl+m = Pl Pm, в которой средний прирост доходов на каждого члена составляет

Но, с другой стороны, поскольку оптимальными по условию являются коа-

151

это неравенство с предыдущим, получаем π(Pl1+m) = π1, а это означает, что

расширена до коалиции Pl1+m без уменьшения значения π1 функции π Итак, в общем случае существуют условия для образования некоторой по-

следовательности оптимальных коалиций, причем сначала образуется глав-

случае последовательность оптимальных коалиций может состоять всего из одного члена PN1 .

Пусть (Pj) функция, выражающая правило раздела между членами

i Pj

0 ≤ i(Pj) ≤ 1

XX

xi(Pj) = [v(i) + i(Pj)Δx(Pj)] = x(Pj).

i Pj i Pj

Правила могут быть разными для разных коалиций и неединственными для любой выбранной коалиции. Здесь и далее для различия этих правил, в целях упрощения обозначений, вводится условный аргумент функции ,

характеризующий коалицию, доход которой делится в соответствии с этим правилом: вообще говоря, запись (Pi1) è (Pj2) означает два разных правила раздела доходов соответственно в коалиции Pi1, состоящей из i игроков, и в

α

152

то вектор с компонентами

Если не имеется последовательностей оптимальных коалиций, не удовлетворяющих условию (2.3), то в совокупности все частные S-решения со-

ставляют общее S-решение.

К примеру, рассмотренная в замечании 2.2 игра трех лиц, в которой для любой из трех возможных последовательностей оптимальных коалиций ока-

зывается J1 = 0, имеет три следующих частных S-решения:

1)x1 = 1, x2 = 1 − 1, x3 = 0 (0 ≤ 1 ≤ 1); 2)x2 = 2, x3 = 1 − 2, x1 = 0 (0 ≤ 2 ≤ 1); 3)x3 = 3, x1 = 1 − 3, x2 = 0 (0 ≤ 3 ≤ 1),

âкоторых правила обозначены через i, (1 − i).

Âобщем случае хотя бы для одной из последовательностей оптимальных коалиций, например некоторой последовательности Pi1, Pj2,. . . , P ω, вместо равенства (2.3) может иметь место неравенство

α=1

означающее, что в составе кооперации все вышеуказанные оптимальные коалиции имеют возможность получить больший доход по сравнению с тем, какой они могли бы гарантировать себе, действуя изолированно. Каждая из коалиций имеет возможность увеличить свой доход за счет раздела между

ними дополнительного выигрыша J1, получаемого при полной кооперации. Следовательно, у оптимальных коалиций имеется стимул к объединению в новые, укрупненные коалиции Qβ, членами которых оказываются уже не иг-

роки, а коалиции P 1, P 2,. . ., P ω, между которыми и делится дополнительный выигрыш J1 (или часть его). Представляется вполне естественным к этой вспомогательной игре, в которой роль игроков исполняют ω оптимальных коалиций, применить тот же принцип оптимальности, даваемый определением 2.1. Обозначая через Qm укрупненную коалицию, состоящую их m игроков-

153

коалиций, рассмотрим функцию

α(P α Qm)

где индекс α(P α Qm) пробегает номера всех коалиций-игроков, образующих укрупненную коалицию Qm.

Применение определения 2.1 к вспомогательной игре с игроками- коалициями P α позволяет найти последовательность (или последовательно-

сти) из укрупненных оптимальных коалиций Q1, . . . , Qβ, . . . (состоящих каждая, в свою очередь, из оптимальных коалиций P α), между которыми и долж-

на быть разделена величина J1. Величина J1 может быть полностью раз- делена между укрупненными коалициями Qβ, åñëè

4 − X β

J2 = v(PN ) v(Q ) = 0. (2.7)

β

В этом случае (по аналогии с определением 2.2) i-й игрок, входящий в оптимальную коалицию P α, которая, в свою очередь, входит в укрупненную оптимальную коалицию Qβ, получает в результате дележа кооперативного дохода v(PN ) часть

где числа v[P α(Qβ)] è v(Qβ) определены соответственно в правых частях равенств (2.1) и (2.6), числа i(P α) определены в формулах (2.4), а числаP α(Qβ) определяют раздел дохода укрупненной оптимальной коалиции Qβ между входящими в нее оптимальными коалициями-игроками P α.

Определение 2.3. Если для каждой последовательности оптимальных коалиций P α выполняется условие J1 = 0 или для каждой последователь- ности укрупненных оптимальных коалиций Qβ выполняется условие J2 = 0 и не имеется ни одной последовательности укрупненных оптимальных коалиций, для которой J2 > 0, то все частные S-решения задаются дележами вида (2.4) и (2.8), а совокупность всех частных S-решений образует

общее S-решение.

Аналогичным образом отыскиваются остальные частные S-решения в общем случае, когда

J1 > J2 > . . . Js = 0,

ãäå s последний этап укрупнения коалиций, причем, очевидно, s < N.

154

Подобный подход к поиску оптимальных дележей в любой кооперативной игре позволяет найти общее S-решение. Таким образом, проведенная про-

цедура построения общего S-решения по существу доказывает следующую теорему:

Теорема 2.1. Любая кооперативная игра имеет S-решение.

3. Сравнение NM- è S-решений

Сравнение NM- è S-решений удобнее проводить на примере.

Пример 3.1. Пусть, например, рассматривается некоторая игра с тремя участниками, характеристическая функция которой принимает следующие

значения:

v(1) = v(2) = v(3) = 0, v(1, 2) = 1,

v(1, 3) = 1, 1, v(2, 3) = 1, 2, v(1, 2, 3) = 1, 5.

Поскольку v(1, 2) + v(1, 3) + v(2, 3) = 3,3> 2v(1, 2, 3) = 3, òî C-ÿäðî ýòîé

игры пусто [13], что является следствием пустоты множества, задаваемого неравенствами (1.8).

Чтобы найти S-решение, вычисляем значения функции π: π (1,2) = 0,5; π (1,3) = 0,55;; π (2,3) = 0,6; π (1,2,3) = 0,5. Отсюда легко найти главную

выигрывающую коалицию P21, образованную вторым и третьим игроками, из последовательности оптимальных коалиций, удовлетворяющей определению 2.1.:

бы они действовали изолированно друг от друга. Так как из двух коалиций

155

 (3.2) 1 это не определяемое в рамках S-решения правило раздела доходов в коалиции P21, состоящей из 2-ãî è 3-ãî игроков, а 2 правило раздела доходов в укрупненной коалиции Q12, состоящей из коалиции P21 è 1-го игрока. Решение (3.2) на рис. 3.1 задается трапецией CBIH.

Общее NM-решение ищется на основе следующих условий доминирования:

ãäå (¯x1, x¯2, x¯3) любой дележ, доминируемый дележом (x1, x2, x3).

Из этих условий следует, что в плоскости фундаментального треугольника ABC, определяемого условиями (1.6) и (1.7), доминирование по коалиции

(1,2) происходит в треугольнике CDE, по коалиции (1,3) в треугольнике F GB, а по коалиции (2,3) в треугольнике AHI. Как следует их (3.3),

границы конусов доминирования не доминируются.

Построение этих конусов поясним на примере конуса доминирования точ-

156

êè N из множества HKGC. Точка (x1, x2, x3) предпочтительнее точки (¯x1, x¯2, x¯3) по эффективной коалиции (1,2), т.е. коалиции, удовлетворяющей неравенству

x1 + x2 ≤ v(1, 2) из условий доминирования (3.3), если x1 > x¯1, x2 > x¯2. Íî последние строгие неравенства задают на плоскости {x1, 0, x2} для любой выбранной точки (x1, x2) открытые конусы доминирования, направляющие которых параллельны направлениям 0x1 è 0x2. Конус между плоскостями x1 = const è x2 = const, пересечение которых совпадает с перпендикуляром из точки N на плоскость {x1, 0, x2}, определяет в плоскости фундаментального треугольника ABC конус доминирования в точке N, угол между направляющими которого составляет 60 0.

Поскольку NM-решение состоит из тех и только тех дележей, которые

не доминируют друг друга, и поскольку на каждой границе любого конуса доминирования лежат не доминирующие друг друга дележи, то это решение в первую очередь следует искать на границах конусов доминирования. Если учесть, что эти границы параллельны сторонам фундаментального тре-

угольника, то можно надеяться найти хотя бы часть общего NM-решения на линиях, параллельных его сторонам. А если учесть, что треугольник KLM не доминируется никакими дележами вне его, то, рассматривая конусы доминирования внутри него, нетрудно заметить, что точки P , Q è R, лежащие на серединах его сторон, не доминируют друг друга и совместно доминируют любые дележи из треугольника ABC, кроме дележей, лежащих в недоминируемых ими конусах с вершинами в точках P , Q è R, которые являются соответственно подмножествами множеств HKLD, GKME è F LMI.

Дополнение этих трех точек некоторым множеством взаимно не доминирующих друг друга дележей из указанных конусов недоминирования, позволяет

получить одно из частных NM-решений, т.е. такое решение, любые дележи

из которого не доминируют друг друга, а всякий дележ вне этого решения доминируется некоторым дележом из этого решения.

Рассмотрим, например, те дележи из замкнутого множества RZW на рис. 3.1, которые не доминируют друг друга (при этом они, очевидно, не доминируются дележами P , Q è R). Рассматривая конусы доминирования на этом

множестве, нетрудно заметить, что любые две точки не доминируют друг друга, если прямая, их соединяющая, составляет с нормалью к отрезку угол не более 300. Это значит, что дележи, принадлежащие любой кривой, соеди-

няющей точку R с отрезком W Z и удовлетворяющей указанному условию, не доминируют друг друга. Проведя по одной подобной кривой из точек P , Q è R соответственно на отрезки DH, GE è F I, получим, очевидно, одно

157

частное NM-решение. Варьируя эти кривые, получаем различные частные NM-решения.

Другая группа частных NM-решений может быть найдена, если учесть, что дележи-решения следует искать на линиях, параллельных сторонам фундаментального треугольника ABC. Пусть ST отрезок прямой на рис. 3.1, параллельной стороне AB и расположенной ниже линии P Q, íî íå íèæå DE. Очевидно, никакие точки отрезка ST не доминируют друг друга, а совместно они доминируют все точки треугольника ABC, кроме точек, лежащих в недоминируемых ими замкнутых конусах с вершинами в точках S, T è U. NM-решение типа ST не может проходить через точки P è Q, поскольку в противном случае недоминируемая этим решением точка U совпала бы с точ- кой R, а это привело бы к одному из частных NM-решений, рассмотренных выше, состоящему из точек P , Q è R, в котором никакая точка отрезка P Q, кроме точек P è Q, не может быть решением, поскольку она доминировалась бы точкой R.

Чтобы получить одно из частных NM-решений второй группы, необходимо определить вид решения в недоминируемых отрезком ST конусах с вершинами в точках S, T è U. Но соответствующий анализ ничем не отличается от анализа уже рассмотренной выше первой группы частных NM-решений. Решения в конусах недоминирования представляют собой кривые, соединяющие точки S, T è U с соответствующими сторонами фундаментального треугольника ABC, удовлетворяющими тем же требованиям в отношении их формы, каким удовлетворяют кривые из решения первой группы, соединяющие точки P , Q è R с соответствующими сторонами фундаментального треугольника.

Из симметрии доминирования в треугольнике KML следует, что все частные NM-решения из второй группы получаются поворотом отрезков ST около точки пересечения медиан в треугольнике KML íà óãëû 1200 и варьирова- нием кривых в конусах недоминирования. Общее NM-решение представляет собой совокупность всех частных NM-решений из первой и второй групп.

Заметим, что очень странным, по существу противоречащим самому определению понятия NM-решения, выглядит тот факт, что любой дележ из

любого частного NM-решения (когда он не принадлежит одновременно и C-

ядру, когда это последнее не пусто, а в рассмотренном примере оно пусто) доминируется в общем случае по меньшей мере одним дележом из остальной

части общего NM-решения. Это, а также то, что множество NM-дележей- решений очень велико и находить его в задачах с числом участников боль-

158

ше трех, чрезвычайно трудно, делает NM-решение совершенно непригод-

ным для приложений, особенно если учесть, что для приложений важен всего единственный раздел кооперативного дохода или, в крайнем случае, небольшое множество возможных дележей-решений.

Дж.Нейман и О.Моргенштерн дают следующую интерпретацию общего NM-решения. Решение вида ST на рис. 3.1 означает, что два игрока назна-

чают третьему некоторую долю от кооперативного дохода и делят остаток между собой в соответствии с тем, как они сумеют договориться (причем

âроли третьего игрока, как это следует из общего NM-решения, в равной мере может выступать любой из игроков). Смысл кривых, принадлежащих общему NM-решению, исходящих, например, из точки R на рис. 3.1, состоит

âтом, что коалиция (1,2), угрожая третьему игроку выходом из коопера-

ции, требует от него некоторой доли от величины δJ = [v(1, 2, 3) − v(1, 2)].

А требование ограниченности направлений касательных к этим кривым связано с взаимными угрозами игроков коалиции выйти из нее и объединиться

с третьим игроком, если изъятая у третьего игрока доля от J окажется разделенной между ними несправедливо . Аналогичный смысл имеют и все остальные кривые в общем NM-решении.

Смысл решения, определяемого, например, точкой R в том, что первый и второй игроки получают от кооперативного дохода только часть v(1, 2),

которую, кстати, они могут гарантировать себе и без помощи третьего игрока, и делят эту часть между собой в отношении

Заметим, что очень странным, по существу противоречащим самому определению понятия NM-решения, выглядит тот факт, что любой дележ из

любого частного NM-решения (когда он не принадлежит одновременно и C-

ядру, когда это последнее не пусто, а в рассмотренном примере оно пусто) доминируется в общем случае по меньшей мере одним дележом из остальной

части общего NM-решения. Это, а также то, что множество NM-дележей- решений очень велико и находить его в задачах с числом участников больше трех, чрезвычайно трудно, делает NM-решение совершенно непригод-

ным для приложений, особенно если учесть, что для приложений важен всего единственный раздел кооперативного дохода или, в крайнем случае, небольшое множество возможных дележей-решений.

Дж.Нейман и О.Моргенштерн дают следующую интерпретацию общего NM-решения. Решение вида ST на рис. 3.1 означает, что два игрока назна-

159

чают третьему некоторую долю от кооперативного дохода и делят остаток между собой в соответствии с тем, как они сумеют договориться (причем

âроли третьего игрока, как это следует из общего NM-решения, в равной мере может выступать любой из игроков). Смысл кривых, принадлежащих общему NM-решению, исходящих, например, из точки R на рис. 4.1, состоит

âтом, что коалиция (1,2), угрожая третьему игроку выходом из коопера-

ции, требует от него некоторой доли от величины δJ = [v(1, 2, 3) − v(1, 2)].

А требование ограниченности направлений касательных к этим кривым связано с взаимными угрозами игроков коалиции выйти из нее и объединиться

с третьим игроком, если изъятая у третьего игрока доля от J окажется разделенной между ними несправедливо . Аналогичный смысл имеют и все остальные кривые в общем NM-решении.

Смысл решения, определяемого, например, точкой R в том, что первый и второй игроки получают от кооперативного дохода только часть v(1, 2),

которую, кстати, они могут гарантировать себе и без помощи третьего игрока, и делят эту часть между собой в отношении

В соответствии с NM-решением точки P , Q è R считаются равноценными, а в соответствии с S-решением эти точки далеко не равноценны: из них только точка Q является решением. Интуитивно предпочтительность точки Q èç S-решения по сравнению с точками P è R проявляется в том, что если игроки коалиции (2,3) договариваются о некотором способе раздела их общего дохода, например гарантированного дохода v(2, 3), согласно которому они

получают x2 è x3 (òàê ÷òî x2 + x3 = v(2,3) = 1,2), то при той же их относительной доле в составе двух возможных коалиций (1.2) и (1.3) каждый из игроков 2 и 3 получил бы меньше, чем в коалиции (2,3), поскольку v(1,2) =

1 < v(2,3) è v(1,3) = 1,1 < v(2,3).

Интуитивное оправдание S-решения вытекает из следующих рассужде-

ний. Допустим, что в вышерассмотренном примере образовалась коалиция (1,2). Посмотрим, будет ли она достаточно устойчивой в следующем смысле: сможет ли один из игроков коалиции (1,2) на любые предложения третьего игрока его партнеру предложить последнему с целью удержания его от выхода из коалиции больший доход, чем третий игрок. Пусть, например, третий игрок делает предложение первому объединиться с ним в коалицию. Что максимум может предложить второй игрок первому с целью удержать его в

160