1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

Следующие три определения усиливают понятия B- è C-равновесий и

остаются теми же самыми, каковы они в задачах на общем для всех участников множестве допустимых ситуаций:

она удовлетворяет условию:

max Ji(q) = Ji(q ),

q Bi

или условию

N

T 4

и назовем ее D-равновесием, если q Di = D.

i=1

В тех задачах, в которых вышеприведенной базовой системы равновесий оказывается недостаточно, чтобы найти единственное наисильнейшее равновесие, следует пользоваться также обобщениями этих равновесий на всевозможные коалиции, а также следующими "несимметричными"равновесиями, основанными не только на угрозах, но и на взаимно выгодных договорах.

Определение 3.9. Ai-экстремальную ситуацию q назовем An-

i = 1, N. Множество всех подобных ситуаций при фиксированном i обра-

121

i = 1, N. По аналогии с An-равновесиями множество Bn-равновесий можно

Покажем на модельных примерах, что, независимо от того, каковы возможности наказания одних участников другими, все интересы каждого из них, даже те, которые не имеют, казалось бы, никакого отношения к рассматриваемому между ними конфликту, влияют в той или иной степени на состояние равновесия в конфликте.

Пример 3.1. Пусть два участника конфликта, допустимые игровые множества которых имеют лишь частичное пересечение, стремятся максимизировать свои платежные функции

G1 = G11 G21, G2 = G12 G22, G = G1 ∩ G2, G0 = G1 G2.

Заметим, что функция f1 определена на сумме отрезков прямых F O OE HK KL, а функция f2 на сумме отрезков прямых P S SR NT T M. Частичное пересечение G игровых множеств G1 è G2 участников зада¼тся

4

суммой отрезков G = LR F P NE HM. На 2.4 изображены также уровни функций fij = const.

122

Ðèñ. 2.4

Уровни функций на рис. 2.4 являются основной опорой при поиске конфликтных равновесий. Решая задачу на множестве G = LR F P NE HM, находим следующие равновесия

AG1 = P MH LR, AG2 = R MH NG, AG = R MH; B1 = R MH, B2 = R H [NE), B = R H;

C1 = R MH, C2 = R H, C = R H;

ãäå [NE) это отрезок NE без точки E.

Таким образом, наисильнейшим равновесием в конфликтной задаче (4-го типа), рассматриваемой только на множестве G, является ситуация H.

Если же исходную задачу рассматривать с учетом не только явно конфликтующих интересов участников, проявляющихся только на множестве G, но с уч¼том и их побочных интересов на множестве G0 \ G в постановке наиболее слабых угроз (3.1), то это приводит к следующим равновесиям

A1 = HM [LK) [ON), A2 = R MHT (SF ), A = R MH, B1 = R MH Nε, B2 = R H Sε, B = R H;

C1 = R MH, C2 = R H Fε, C = R H;

ãäå (SF ) отрезок SF без точек S è F .

Мы видим, что множества всех слабо экстремальных ситуаций изменились, хотя этого изменения еще и не хватило на то, чтобы изменились и равновесия по сравнению с рассмотренным выше случаем равновесий на мно-

жестве G.

Если допустить еще более сильные угрозы (3.2), то наблюдаются еще большие изменения слабо экстремальных ситуаций, хотя по-прежнему какой-либо

конкуренции равновесию H не наблюдается. Это связано с тем, что влияние

123

интересов участников, не связанных явно с конфликтом, довольно незначи- тельно и проявляется в этой задаче лишь через посредство появления некоторых новых слабых равновесий, почти не влияя на наисильнейшее равновесие

H:

A1 = MHK LK ONE [P O), A2 = MHT NET R (SF ), A = R MH NE,

B1 = MH R E, B2 = H R [NE) Fε, B = H R Eε, C1 = MH R, C2 = H R, C = H R,

В последнем случае выявилось лишь весьма слабое B-равновесие Eε, êî- торое является существенно слабее равновесия R, которое, в свою очередь, существенно слабее наисильнейшего равновесия H. Но это все же указывает

на то, что влияние не связанных с конфликтом интересов по крайней мере имеет место.

Таким образом, даже в этой весьма специфической задаче можно заметить тенденцию появления новых равновесий при учете не связанных с конфликтом интересов. В общем же случае учет побочных интересов участников в конфликтных задачах едва ли допустимо игнорировать.

Пример 3.2. Рассмотрим игровую (конфликтную) задачу с тремя участниками, в которой каждый участник располагает всего двумя стратегиями.

Пусть J = (J1, J2, J3) платежная вектор-функция в этой задаче, в которой для каждого из игроков из 8 возможных ситуаций ( E, F, H, K, L, M, N, P ) íà

рис. 2.5 допустимыми являются только 7 ситуаций, прич¼м они разные для каждого из участников. В каждой из ситуаций значения плат¼жной векторфункции J = (J1, J2, J3) следующие: J(E) = ( ,4,4), J(F ) = (1,7,6), J(H) =

(0,6, ), J(K) = (2,5,4), J(L) = (1,4,7), J(M) = (2, ,5), J(N) = (2,7,5), J(P ) = (3,6,3). По существу это означает, что для первого игрока запрещена ситуация E (т.е. игровое множество 1-го игрока G1 = (F, G, H, K, L, M, N)),

прещенные ситуации помечены знаком . Таким образом, рассматривает-

ся игровая задача с пересекающимися интересами участников, в которой

G0 = (E, F, H, K, L, M, N, P ), G = G1 ∩ G2 ∩ G3 =(F, K, L, M, N).

Все 8 возможных ситуаций и значения платежных функций в них изображены на рис. 2.5 в системе координат (q1, q2, q3), ãäå qi стратегия i-ãî

124

q3

6

J(2,7,5) J(3,6,3)

N P

q1

Ðèñ. 2.5

игрока, принимающая всего два значения, причем числовое значение каждой из этих стратегий в данной задаче несущественно. Найдем все конфликтные равновесия в этой задаче сначала для случая наиболее слабых угроз (3.1). Базовая система равновесий и несимметричные равновесия дают следующие результаты:

Отсюда следует, что наиболее сильными явлются ситуации F и N, причем ситуация F является B-, BP2 - è A0-равновесной, а ситуация N оказалась BP2 -

, ¯0 0-равновесной, и различие между силами этих двух равновесий

C - è A

представляется незначительным.

Рассмотрим теперь задачу для случая более сильных угроз (3.2):

A12 = (F, K, N, P ), A13 = (F, L, M, N), A23 = (F, L, N), AP2 = (F, N), A0 = A ∩ AP2 = (F, N),

125

B1 = (F, N), B2 = (L, F ), B3 = (F, N, P ), B = (F ),

B12 = (F, K, N), B13 = (F, L, N), B23 = (F, N), BP2 = (F, N), C1 = (F, N), C2 = (L, F ), C3 = (F, N, P ), C = F,

Как видим, более сильные угрозы (3.2) не повлияли на структуру равновесий в двнной задаче, слегка расширив лишь множество некоторых из экстремальных ситуаций, а ещ¼ более сильные угрозы (3.3) вообще не приводят ни к каким изменениям по сравнению с угрозами типа (3.2). Это означает, что в данной задаче равновесия нечувствительны к типам угроз.

4. Парето-оптимальные некооперативные равновесия

Любое конфликтное равновесие может только выиграть от того, что оно одновременно является и оптимальным по Парето. В связи с этим поиск подобных равновесий и их исследование представляют несомненный интерес. Поскольку в любой конфликтной задаче всегда существует наисильнейшее равновесие, то изучение Парето-оптимальности наисильнейших равновесий имеет даже не столько теоретический, сколько практический интерес. Основное ограничение на существование Парето-оптимальных конфликтных равновесий накладывает в основном проблема существования множества Парето.

В этом разделе формулируется и доказывается теорема существования Парето-оптимального A-равновесия и предлагается в качестве его усиления

Парето-оптимальное ¯0-равновесие.

C

Допущения 4.1. Пусть G компактное множество в произведении

N

4 Q

Q = Qi хаусдорфовых топологических пространств Qi, i = 1, N, и пусть

i=1

на G определены непрерывные функции (функционалы) Ji(q), i = 1, N.

Введем обозначения: P rQiG проекция множества G на пространство Qi;

si ≤ 0, i = 1, N} неположительный полиэдральный конус в эвклидовом пространстве EN .

если y Y и не существует точки y0 Y , такой, что y y0 +S; а множеством Парето в EN называется множество P (Y ) S-экстремальных точек множества Y .

126

Лемма 4.1. Пусть удовлетворяется допущение 4.1. Тогда множество

qi G(qi ) qi G(qi)

Доказательство. Пусть удовлетворяется i-е неравенство в (4.1), в кото-

ром верхняя грань достигается в точке (¯qi, q¯i < q¯i >). Тогда из (4.1) следует, что для любой стратегии qi G(qi ) найдется зависящая от qi стратегия qˆi < qi >, такая, что

Ji(q ) ≥ Ji(¯qi, q¯i < q¯i >) ≥ Ji(qi, qˆi < qi >),

а эти неравенства, согласно определению 1.1, говорят о том, что ситуация q Ai-экстремальна. Пусть теперь верхняя грань в некотором сечении G(qi ) не достигается и пусть ситуация q , удовлетворяющая неравенству (4.1), не

принадлежит множеству Ai. Тогда из отрицания определения 1.1 следует, что найдется стратегия qi G(qi ), такая, что для любой стратегии qi G(qi) окажется Ji(q ) < Ji(qi, qi), что противоречит i-му неравенству (4.1).

И обратно, пусть ситуация q удовлетворяет неравенствам (1.1). i-ое неравенство в (1.1) только усилится, если в качестве стратегии qˆi < qi > взять стратегию q¯i < qi >, доставляющую функционалу Ji минимум в сечении

G(qi). А поскольку, согласно определению 5.2, i-е неравенство в (1.1) удовлетворяется для любой стратегии qi G(qi ), то, следовательно, оно имеет ме-

сто и в случае, когда берется то предельное значение переменной qi на множе-

ñòâå G(qi), для которого определена величина sup Ji(qi, q¯i < qi >), равная

qi G(qi)

правой части i-го неравенства в (4.1). Отсюда следует, что Ai-экстремальная ситуация q удовлетворяет неравенству (4.1).

Компактность множества G0 следует из самого его определения в силу компактности множества G и непрерывности отображения J(q) : G → RN .

Заметим, что G0 A в силу очевидных неравенств

Теорема 4.1. Пусть удовлетворяется допущение 4.1 и множество A компактно. Тогда множество оптимальных по Парето точек GP G имеет непустое пересечение с множеством A-равновесий.

127

Доказательство. Поскольку J(q) непрерывное отображение, то мно-

жество

Y0 = J(G0) = {J(q ) : Ji(q ) ≥ Ji0, q G, i = 1, N}

компактно и допускает представление Y0 = Y ∩K, ãäå K = {J : Ji ≥ Ji0, i = 1, N} замкнутый полиэдральный конус в EN с вершиной в точке J0 =

(J10, . . . , JN0 ) Y .

Так как множество S-экстремальных точек компактного множества не пусто, то, следовательно, и множества P (Y ) è P (Y0) S-экстремальных точек множеств Y è Y0, соответственно, не пусты. Хотя и нетрудно видеть, что P (Y0) P (Y ), но все же докажем это включение (от противного). Допустим, что y P (Y0) и в то же время y / P (Y ). Допущение, что точка y íå ÿâ- ляется S-экстремальной точкой множества Y означает, что найдется такая точка y¯ Y , y¯ 6= y , ÷òî y y¯ + S, причем точка y¯ удовлетворяет вклю- чению y¯ K, поскольку в противном случае не обеспечивается включение y y¯ + S ïðè y K. Однако включение y¯ Y ∩ K = Y0 противоречит определению S-экстремальности точки y Y0, согласно которому не должно найтись точки y¯ Y0, такой, что y y¯ + S. Это противоречие и показывает,

÷òî J−1(P (Y0)) это часть множества оптимальных по Парето ситуаций) и что J−1(P (Y0)) J−1(Y0) = G0 A (с учетом определений множеств G0 è A и неравенств в (4.1) и (4.2)), то получаем Gp ∩ A 6= , т.е. множества Gp è A имеют непустое пересечение.

Пример 4.1. Рассмотрим статическую бескоалиционную игру с двумя участниками. Участники игры имеют возможность лишь однократно выбирать свою стратегию (точку) на множестве допустимых состояний игры, в связи с чем применение в ней смешанных стратегий теряет смысл. Выбор иг-

роками чистых стратегий u1, u2 (точек) ограничен тем, что реализующаяся в результате их выбора ситуация (u1, u2) должна принадлежать множеству

Игроки стремятся обеспечить максимум своих платежных функций

Поскольку функция J1(·, u2) не вогнута, то ожидать в этой задаче существования равновесия по Нэшу не приходится, что и подтверждает ее исследование. Найдем более слабые равновесия в игре (4.3),(4.4). Множества A1,

128

а в пространстве (u1, u2) âèä: GP = {(u1, u2): u1 = −1, −1/2 ≤ u2 ≤ 1; u1 = 1, −1 ≤ u2 ≤ 1/2}.

Таким образом, в задаче (4.3),(4.47) не существует Парето-оптимального

равновесия по Нэшу, но существует Парето-оптимальное ¯0-равновесие, ñî-

C

стоящее из пары точек M и N, представляющих собой часть весьма богатого множества Парето-оптимальных A-равновесий, определяемого в пространстве (u1, u2) парой отрезков прямых: {u1 = −1, −1/2 ≤ u2 ≤ 0 } è {u1 = 1,

0 ≤ u2 ≤ 1/2 }.

Найдем еще дополнительно достаточные условия существования еще одного игрового равновесия, представляющего собой усиление, с одной стороны, A0-равновесия, а с другой обобщение Парето-оптимального

Введем обобщение оптимальности по Парето.

Множество P (Y ) S-экстремальных точек множества Y EM назовем обобщенно оптимальным по Парето, если M > N, где N-число оптимизируемых функционалов Ji, и пространство EM

ставляет собой M-мерное пространство значений функционалов JPk , 1 ≤ k < N, M = 2N − 2.

Лемма 4.2. При удовлетворении допущений 4.1 обобщенно оптимальное по Парето множество P (Y ) не пусто.

Доказательство. Рассмотрим равенство

M M

XX

ãäå ci > 0, i = 1, M, à Ji это некоторый из M функционалов JPk , 1 ≤ k < N при произвольно выбранной нумерации этих функционалов. Максимум в

(4.5) достигается и согласно лемме С. Карлина [26, с. 255], равенство (4.5) оказывается достаточным условием того, что ситуация q G оптимальна

по Парето.

Действительно, если бы это было не так, то нашлась бы ситуация

такая, что

Ji(q ) ≤ Ji(¯q), i = 1, M,

где хотя бы одно неравенство строгое. Однако, умножая последние неравен-

129

ñòâà íà ci > 0, i = 1, M, и складывая, приходим к неравенству, противо- q , удовлетворяющая

Теорема 4.2.При удовлетворении допущений 4.1 и компактности непу- стого множества A0 множество обобщенно оптимальных по Парето то-

компонентного отображения J(·), компонентами которого являются 2N −

2 функционалов JPk , 1 ≤ k < N, имеет непустое пересечение с множеством

A0.

тоже компактно и допускает представление: Y0 = Y ∩ K, ãäå K = {J : Ji ≥замкнутый полиэдральный конус в EM с вершиной в точке

J0 = (J01, . . . , J0M ).

Поскольку согласно теореме 1.8

130