1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

коалиции, а третий игрок первому с целью привлечь его на свою сторону? Очевидно, что второй игрок может предложить первому в крайнем случае почти весь гарантированный максимум коалиции (1,2), равный не более чем 1 (поскольку третий игрок может бойкотировать эту коалицию, отказавшись от кооперации), а третий игрок может предложить первому почти весь больший гарантированный максимум, равный 1,1 (если второй игрок будет бойкотировать коалицию (1,3)). Следовательно, первому игроку выгоднее войти в коалицию (1,3), чем в коалицию (1,2). Однако нетрудно заметить, что и коалиция (1,3) в рассматриваемом смысле также неустойчива. Действительно, второй игрок за право объединиться с третьим игроком может предложить последнему почти весь гарантированный доход коалиции (2,3), равный 1,2, в то время как первый игрок может противопоставить этой сумме всего лишь почти весь гарантированный доход коалиции (1,3) в размере 1,1, что явно хуже предложения второго игрока. Таким образом, единственной устойчивой коалицией в рассмотренной игре является лишь коалиция (2,3).

В интуитивно-содержательном отношении S-решение кажется гораздо предпочтительнее NM-решения. Оно предпочтительнее также и в отношении гораздо большей простоты расчетов и в связи с тем, что существует в любых играх. Однако S-решение все же тоже представляет собой слишком богатое множество дележей-решений.

Пример 3.2 (Кооперативный рынок). Рассмотрим следующую задачу торговли, которую можно моделировать кооперативной игрой. Пусть два предпринимателя занимаются, например, добычей золота. На некотором начальном интервале времени, на котором еще пренебрежимыми являются амортизационные расходы на оборудование, объем добычи первого и второго задается соответственно непрерывными гладкими монотонно возрастаю-

щими вогнутыми функциями g1(y1) è g2(y2), удовлетворяющими условиям g1(0) = g2(0) = 0, ãäå y1 è y2 количество используемого каждым из предпринимателей оборудования, закупаемого ими у третьего предпринимателя соответственно по ценам p1 è p2 (pi ≥ 0).

1-й предприниматель до начала производства располагает суммой денег (например, в золотом содержании) A1, òàê ÷òî

p1y1 ≤ A1 (y1 ≥ 0, p1 ≥ 0),

à 2-é предприниматель суммой A2, ограничивающей его закупки оборудо-

161

вания по цене p2 количеством y2,удовлетворяющим неравенству

p2y2 ≤ A2 (y2 ≥ 0, p2 ≥ 0).

1-й предприниматель стремится максимизировать свои прибыли, т.е. функ-

öèþ

4

f1(y1, p1) = g1(y1) − p1y1,

а 2-й предприниматель свои, т.е. функцию

4

f2(y2, p2) = g2(y2) − p2y2,

Для определенности положим

g1(u) < g2(u) äëÿ âñåõ u ≥ 0.

Пусть 3-й предприниматель производит количество оборудования z1 äëÿ 1-ãî è z2 для 2-го предпринимателя, причем, очевидно,

y1 ≤ z1, y2 ≤ z2,

а его интересы (прибыли) определяются функцией

ãäå g3(z) это расходы на производство оборудования для обоих предпринимателей; g3(z) непрерывная гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция, проходящая через нуль, показывающая, что затраты на производство возрастают с увеличением его объема.

1-й предприниматель распоряжается выбором переменной y1, 2-é ïå- ременной y2, а 3-й переменными (z1, z2, p1, p2). Множество Q допустимых ситуаций (y1, y2, z1, z2, p1, p2) в рассматриваемой задаче имеет вид

4

Q = {(y1, y2, z1, z2, p1, p2) : p1y1 ≤ A1, p2y2 ≤ A2, 0 ≤ y1 ≤ z1, 0 ≤ y2 ≤ z2, pi ≥ 0}.

Очевидно, Q не выпукло и не компактно.

Все три предпринимателя связаны друг с другом через рынок, на котором первые два выступают как покупатели, а 3-й как продавец. На этом рынке каждый участник может выступать как единолично, так и образовывать коалицию с каким-либо одним или со всеми участниками. Для оценки возможного поведения предпринимателей на рынке приведем этот рынок к

162

рассмотренной в предыдущих разделах кооперативной игре в форме характеристической функции. Найдем все значения характеристической функции

v.

Очевидно,

поскольку, например, достаточно 3-му игроку (продавцу) прекратить произ- водство оборудования z1 для 1-го предпринимателя или затребовать доста- точно высокую цену p1 за товар y1, если он его произведет для продажи.

Аналогично

Учитывая, что покупатели могут бойкотировать продавца, сговорившись ничего не покупать у него, получаем

v(3) = sup inf[p1y1 + p2y2 − g3(z)] = 0.

p1,p2,z y

Легко заметить, что покупатели, даже объединившись, не смогут гарантировать себе больше, чем

так как продавец может совсем остановить свое производство ( z=0) èëè çà-

требовать чрезмерно высокие цены за свой товар. Непосредственно видно, что

163

Получаем следующую супераддитивную характеристическую функцию v:

v(1) = v(2) = v(3) = v(1, 2) = 0,

(3.5)

v(1, 3) = ω1, v(2, 3) = ω2, v(1, 2, 3) = ω3.

Найдем сначала S-решение, вычислив предварительно значения функции

π:

π(1, 2) = 0, π(1, 3) = ω1/2, π(2, 3) = ω2/2, π(1, 2, 3) = ω3/3.

С учетом неравенств (3.4) получаем

го дохода этой коалиции, а 3-й игрок долю (1− 1). Таким образом, дележи игроков задаются следующими выражениями

Зависящее от двух параметров 1 è 2 решение (3.6) представляет собой трапецию CBED íà ðèñ. 3.2.

Поскольку

v(1, 2) + v(1, 3) + v(2, 3) = ω1 + ω2 ≤ 2ω3,

òî C-ядро в этой игре, представляющее собой такую часть NM-решения, любые дележи из которого не доминируются никакими дележами вне этой части, не пусто. Определяется C-ядро системой неравенств

x1 + x2 ≥ v(1, 2) = 0, x1 + x3 ≥ v(1, 3) = ω1, x2 + x3 ≥ v(2, 3) = ω2, x1 + x2 + x3 = ω3

и задается на рис. 3.2 параллелограммом CIHD.

Остальные решения ищутся с использованием следующих условий доминирования

164

x3

Ðèñ. 3.2.

165

ãäå (¯x1, x¯2, x¯3) любой дележ, доминируемый дележом (x1, x2, x3).

Общее B-решение находится так же, как это описано в предыдущем разделе. Из конусов доминирования (3.7) следует, что никакая точка областей DHGA è IBEH, за исключением их границ, не может претендовать на то, чтобы принадлежать NM-решению. В то же время в треугольнике GHE существует бесконечное множество NM-решений. Действительно, соединив точку H с отрезком GE произвольной линией, по направлению нигде не отклоняющейся от перпендикуляра к отрезку GE более чем на 300, убеждаемся, что она принадлежит NM-решению. Никакая пара точек этой линии не доминирует одна другую, а также не доминирует множество CIHD и не доминируется им. В то же время любая точка треугольника ABC, не принадлежащая этой линии и замкнутому множеству CIHD, составляющих совместно частное B-решение, доминируется какой-либо точкой из этого решения. Совокупность всевозможных указанных частных NM-решений, определяемых кривыми вида HK и множеством CIHD, дает общее NM-решение.

В отношении определения S-решения заметим, что у коалиции (1,2) нет

никаких реальных угроз по отношению к игроку 3, поскольку без кооперации с ним эта коалиция не в состоянии гарантировать себе никакого положительного дохода. Далее, у 1-го игрока имеется меньше возможностей переманить на свою сторону 3-го игрока, чем у 2-го игрока, поскольку 1-й игрок может в коалиции с 3-м предложить последнему (в случае бойкота коалиции (1.3) 2-м

игроком) не более чем ω1, в то время как 2-й игрок может предложить 3-му игроку (в случае бойкота коалиции (2,3) 1-м игроком) величину выигрыша ω2(> ω1). Следовательно, 3-й игрок явно предпочтет общество 2-го игрока, а не 1-го.

Что же касается C-решения, то из него тоже следует, что 3-й игрок в коалиции со 2-м может рассчитывать получить больше, чем в коалиции с 1-м игроком. Посмотрим, насколько обоснованны остальные части общего NM- решения. Например, может ли конкретная ситуация на рынке завершиться выбором игроками точки L из общего NM-решения на рис. 4.2, все ли игроки согласятся или вынуждены согласиться с дележом, определяемым этой точ- кой? Смысл решения вида HK в том, что 1-й и 2-й игроки, объединившись, стремятся заставить 3-го игрока получить долю x3, удовлетворяющую усло- âèþ 0 ≤ x3 ≤ ω1 + ω2 −ω3. Но, как было установлено выше, угрозы коалиции (1,2) необоснованны, поскольку без помощи 3-го игрока она не в состоянии получить никакого дохода. Подобные же рассуждения применимы к любым кривым-решениям из общего NM-решения, не являющимся подмножествами

166

S-решения. Таким образом, многие дележи из классического NM-решения не представляют никакой практической ценности.

Итак, общее классическое NM-решение или слишком обширно, или не существует, а S-решение хотя и существует во всех играх, но все же тоже очень

обширно. Сузить оба эти решения можно, если рассматривать более адекватную существу кооперативных игр характеристическую функцию или же вообще отказаться от понятия характеристической функции, ответственной за значительную часть понятия устойчивости дележа-решения. Покажем, как за счет введения новой характеристической функции (х.ф.) можно значительно

сузить множество решений-дележей как в S-решении, так и в классическом NM-решении, правда, в этом случае множество игр, в котором NM-решение пусто, оказывается еще более широким, в то время как S-решение продолжа-

ет существовать в любых играх.

В самом определении классической х.ф. заложен принцип причинения максимального вреда коалицией PN−k коалиции Pk, причем не считаясь с тем, как подобное поведение коалиции PN−k скажется на доходах членов са- мой этой коалиции, что явно не соответствует существу кооперативных игр.

Как показано выше, классическое NM-решение неудовлетворительно с различных точек зрения, причем основной причиной его неудовлетворительности являются классическая х.ф. v(Pk) (которую мы называем нулевой аксиомой) и аксиома доминирования.

Имеется возможность в некоторой степени улучшить эту нулевую аксиому, использовать для определения решения игры новую х.ф. w(Pk), отлича- ющейся от классической тем, что при ее определении прежде всего используется естественное стремление любой коалиции Pk максимизировать собствен- ные доходы, а вредить остальным игрокам коалиция готова лишь на множестве тех своих стратегий, которые обеспечивают ей максимальный выигрыш. Преимущества этой новой х.ф. w перед классической х.ф. v продемонстриру-

ем в рамках кооперативных S- è NM-теорий, которые с новой х.ф. приводят к более узкому и более интересному для приложений множеству дележейрешений, чем при использовании х.ф. v.

Заменим х.ф. v следующей х.ф.:

ãäå G произвольное множество в пространстве Z1 ×. . .×ZN , Zi, i = 1, N

167

конечномерное пространство, P rZPk G проекция множества G на пространство ZPk , G(zPk ) сечение множества G.

Эта функция определяет гарантированный выигрыш коалиции Pk в случае ее выхода из кооперации в условиях, когда остальные игроки, объединившись в коалицию PN−k, ставят своею целью не максимально насолить игрокам из коалиции Pk, не считаясь с собственными доходами в игре (что как раз и заложено в определении х.ф. v(Pk)), а, в первую очередь, заботятся о личной выгоде в игре, не исключая, однако, возможности напакостить коалиции Pk после достижения своей главной цели максимизации собственных до- ходов. Это значит, что коалиция PN−k из множества своих стратегий (если это множество стратегий, а не единственная стратегия), обеспечивающих максимум платежной функции fPN−k , может выбрать как раз ту стратегию, которая наименее выгодна для коалиции Pk.

zPk ищется страте-

ãèÿ zPN−k , обеспечивающая наибольшее значение функции fPN−k , а если это наибольшее значение достигается более чем в одной точке zPN−k , òî èç ýòèõ

точек коалиция PN−k может выбрать ту (или те), в которой функция fPk

принимает наименьшее значение. И, наконец, коалиция Pk выбирает такую стратегию (или стратегии) zPk , которая обеспечивает наибольшее значение функции fPk . Так что коалиция Pk гарантирует себе выигрыш w(Pk) при условиях, что коалицию PN−k интересует только максимальный собственный

выигрыш, и лишь на множестве стратегий zPN−k (если это множество состоит более чем из одной точки), обеспечивающих один и тот же максимум функ-

ционалу fPN−k , коалиция PN−k

такую стратегию z¯PN−k , которая окажется наименее выгодной для коалиции

Pk.

Следует однако отметить, что х.ф. w супераддитивна не в любых играх,

в каких именно неизвестно. Но поскольку установление факта ее супераддитивности или несупераддитивности в любой конкретной игре задача совершенно элементарная, то это ни в коей мере не является препятствием для практического использования этой х.ф. в прикладных задачах. Следует только иметь в виду, что в случае ее несупераддитивности в конкретной игре

следует вместо нее воспользоваться классической х.ф. v.

Õ.ô. w гораздо точнее учитывает стратегические особенности игры, чем х.ф. v. Весьма ярко неудовлетворительность х.ф. v высвечивает следующий

простой пример игры с ненулевой суммой с двумя участниками.

Пример 3.3. Пусть у 1-го игрока имеется всего одна стратегия, а у 2-го

168

две и платежные функции-матрицы игроков имеют вид: f1 = (0;10), f2 = (-1000;0). У 2-го игрока имеется выбор одного из двух столбцов этих матриц, а у 1-го нет выбора. Если 2-й игрок использует свою первую стратегию (1-й столбец), то 1-й игрок не получает никакого выигрыша ( f1=0), в то время как

2-é проигрывает огромную сумму ( f2 = -1000). А если 2-й применяет свою вторую стратегию (2-й столбец), то 1-й игрок получает f1=10, à 2-é ничего не выигрывает и не проигрывает (f2=0). Совершенно очевидно, что 1-й игрок имеет явные преимущества в этой игре, поскольку при любом выборе 2-го он никогда не проигрывает, в то время как 2-й, наоборот, никогда не выигрывает. Едва ли нашелся бы человек, пожелавший стать в этой игре 2-м игроком.

Однако классическая х.ф. v этой игры, рассматриваемой как кооперативная, имеет совершенно симметричный вид: v(1) = v(2) = 0, v(1, 2) = 10, что указывает на равные возможности игроков. А полученное на основе этой функции NM-решение задается равенством x1 +x2 = 10, из которого следует, что любой из игроков может с равным основанием рассчитывать на любую

долю от кооперативного дохода max(f1 + f2) = 10. В то же время интуитив-

z1,z2

но совершенно очевидно, что у 2-го игрока практически не имеется шансов получить даже очень малую долю от кооперативного дохода.

Если же в этой игре использовать х.ф. w, то получаем: w(1)=10, w(2)=0, w(1, 2)=10. Отсюда видно, что х.ф. w сохраняет в своем определении явное превосходство 1-го игрока над 2-м. NM-решение с х.ф. w удовлетворяет следующей системе равенств и неравенств: x1+x2 = 10, x1 ≥ w(1) = 10, x2 ≥ w(2) = 0, из которых следует, что NM-решение сводится всего к одному дележу (x1, x2) = (10,0), что вполне согласуется с интуитивными ожиданиями.

В общем же случае применять х.ф. w в теории Неймана Дж. и Моргенштерна О. следует весьма осторожно, поскольку неизвестен класс игр, имеющих NM-решение даже с х.ф. v. В то же время использование х.ф. w в кооперативной S-теории оказывается полезным, поскольку в этой теории решение существует при любой х.ф.

Пример 3.4. (Игра с тремя участниками). Рассмотрим кооперативную игру с тремя участниками, в которой каждый участник располагает все-

го двумя стратегиями. Пусть J = (J1, J2, J3) платежная вектор-функция в этой игре, в которой, очевидно, реализуется всего 8 ситуаций (обозначим их буквами E, F, H, K, L, M, N, P ), в каждой из которых значения платежных

функций игроков пусть будут следующими: J(E) = (5,6,5), J(F) = (3,5,6), J(H) = (2,8,3), J(K) = (4,7,5), J(L) = (7,1,6), J(M) = (8,4,5), J(N) = (4,3,4), J(P) =

169

q3

6

J(4,3,4) J(6,2,6)

N P

(6,2,6) (ñì. ðèñ. 3.3).

ляется обыкновенной задачей оптимизации, не представляющей каких-либо принципиальных трудностей, а вот справедливое разделение суммарного выигрыша между участниками вот та действительно сложная проблема, которая до сих пор все еще остается удовлетворительно не разрешенной. В данной задаче необходимо разделить число 17 между участниками так, чтобы они согласились или же вынуждены были бы согласиться с этим дележом.

Все принципиально возможные дележи в этой игре можно изобразить в виде треугольника abc на рис. 3.4. Однако большая часть этих дележей для

игроков неприемлема. Найдем сначала те дележи, которые удовлетворяют минимальным требованиям естественной устойчивости, каковыми являются требования аксиом 2.1 и 2.2 (или, соответственно (1.6) и (1.7)). Будем искать

указанное множество дележей, основываясь на х.ф. w:

w(1) = 4, w(2) = 4, w(3) = 5, w(1, 2) = 8, w(1, 3) = 13, w(2, 3) = 12.

Рис. 4.3 облегчает расчет этой функции и позволяет заметить, что коали- öèè PN−k из множества своих стратегий, обеспечивающих максиму их доходов, имеют возможность выбрать наихудшую для коалиции Pk стратегию.

Аксиома 2.2 (или (1.7)) с учетом полученных выше значений w(i), i = 1,2,3, выделяет в треугольнике abc (на рис. 3.4) подмножество треугольник klm, на котором и следует искать справедливые дележи.

Чтобы найти S-решение, определим коалицию, на которой достигается максимум функции π: π(1, 2) = 0, π(1, 3) = 2, π(2, 3) = 3/2. Максимум достигается на коалиции (1,3). Таким образом, последовательность оптимальных

170