1smol_yakov_e_r_metody_resheniya_konfliktnykh_zadach-1

определяет выигрыши, имеющие денежное выражение), участники имеют возможность кооперироваться с целью достижения максимальной прибыли. Суммарный доход кооперации никогда не может быть меньше суммарного дохода участников, действующих порознь, хотя бы уже потому, что в случае кооперации множество совместных стратегий участников кооперации всегда богаче, чем сумма допустимых стратегий участников, действующих индивидуально или коалиционно. Следовательно, при кооперативных действиях все участники имеют возможность получить больший доход, чем при индивидуальных.

Основная трудность кооперативной теории найти дел¼ж, который устроил бы всех участников и от которого ни один из них не посмел бы отказаться ввиду угрозы получить меньше, чем в соответствии с этим дележомрешением.

Все известные теории кооперативных игр весьма уязвимы для критики, поскольку ни одна из них не может предложить единственный дел¼ж-решение, который устроил бы всех участников и был бы устойчив к любым попыткам любого участника улучшить свой доход, получаемый в соответствии с этим дележом-решением.

В этой главе приведены основные результаты только тех теорий, построение которых основывается на понятиях равновесия, не содержащих в своих формулировках каких-либо искусственных норм поведения в отношении игроков, поскольку любая искусственность в формулировке понятий игрового равновесия не удовлетворит тех или иных участников игры, а следовательно, не позволит создать кооперацию. К подобным теориям из числа всех известных теорий относятся только классическая теория Дж.Неймана и О.Моргенштерна [33] и теория кооперативных игр, опирающаяся на по-

нятие S-решения, предложенная в [41,46]. Эти теории, обладающие рядом

серь¼зных недостатков, мы дополним новой теорией, опирающейся на понятия равновесия, изложенные в предыдущим главах, и позволяющей найти справедливый дел¼ж.

Основные принципиальные трудности создания удовлетворительной кооперативной теории лежат в определении понятия устойчивости (равновесности) дележа, т.е. такого раздела между всеми участниками кооперативного дохода, с которым каждый вынужден был бы согласиться. В 20-м веке не было предложено такого решения (назовем его идеальным), которое, во-первых, всегда существует; во-вторых, с ним вынужден согласиться любой участник игры, т.е. оно должно удовлетворять требованиям естественной устойчивости;

141

в-третьих, оно должно быть единственным. К примеру, решения Дж.Неймана и О.Моргенштерна [33] (включая классическое C-ядро) удовлетворяют лишь весьма условно только второму требованию; решение Шепли [12, 13] по существу не удовлетворяет требованиям устойчивости, а S-решение [46] удовлетворяет первому требованию и, частично, второму.

1. Постановка кооперативной игры

Пусть имеется N игроков и N произвольных множеств Z1, . . . , ZN , íà ïðÿ-

4

мом произведении которых Z = Z1 × . . . × ZN определены N ограниченных функций fi(z) = fi(z1, . . . , zN ), zi Zi. Аргумент zi указанных функций бу- дем называть чистой стратегией i-го игрока (zi Zi), а функцию fi(z) его платежной функцией (или выигрышной функцией, функцией полезности). Участники игры имеют возможность объединяться в любые коалиции, включая кооперацию из всех игроков. Через Pk обозначим произвольную ко- алицию из k игроков, состав которой конкретизируется, как только указана функция выигрыша этой коалиции, т.е. функция

Цель кооперативной игры заключается в том, чтобы разделить между всеми участниками максимум (или верхнюю грань) кооперативного дохода

N

4 P

fPN = fi так, чтобы каждый из них был удовлетворен или был бы вынуж-

i=1

ден удовлетвориться полученной им долей.

Стратегию zP0k назовем оптимальной гарантирующей стратегией коалиции Pk, состоящей из k игроков, если

Выражение (1.2) определяет величину выигрыша, которую может гаран- тированно обеспечить себе, применяя стратегию zP0k , коалиция Pk даже в том случае, если остальные N − k участников постараются сделать все возмож-

ное для уменьшения выигрыша этой коалиции. Равенство (1.2) всегда можно обеспечить по крайней мере с любой заданной точностью ε.

Почти все теории кооперативных игр строились на основе понятия характеристической функции. Следует признать, что именно эта функция явилась причиной неудач всех этих теорий. Однако прежде чем искать какие-либо

142

альтернативы этой функции, рассмотрим сначала теории, хотя и опирающиеся на эту функцию, но не включающие в свою аксиоматику каких-либо искусственных норм поведения (за исключением, разве что, слишком жесткого условия, вводимого самим определением этой функции).

На множестве P (N) всех возможных коалиций определим функцию

(Pk PN−k = PN , Pk ∩ PN−k = ),

называемую характеристической функцией игры [33]. Эта функция задает верхнюю грань выигрышей, которую может с любой точностью обеспечить

себе коалиция Pk даже в случае ангонистического по отношению к ней поведения остальных N −k игроков. Можно показать, что v(Pk) супераддитивная функция на множестве P (N), т.е. функция, удовлетворяющая условиям:

v( ) = 0, v(Pi Pk) ≥ v(Pi) + v(Pk), Pi ∩ Pk = , Pi, Pk P (N).

При необходимости различать между собой коалиции будем пользоваться еще и верхним индексом: например, Pi1 è Pi2 две разные (непересекающи-

еся) коалиции с одинаковым числом ( i) участников каждая.

Каждый i-й участник, действуя самостоятельно, с любой точностью может гарантировать себе величину выигрыша

то игра называется несущественной. Она всегда имеет решение (дележ) и притом только одно в виде (1.4). В подобной игре нет смысла образовывать

какие бы то ни было коалиции, так как ни в одной из них любой i-й игрок не может надеяться на получание выигрыша, большего, чем v(i). Игра в которой

N

X

v(i) < v(PN ),

i=1

называется существенной игрой. Именно существенные игры и являются предметом изучения.

143

При изучении кооперативных игр всегда можно считать, что среди игроков нет ни одного игрока (i) такого, что для любой коалиции P α P (N), i /

P α (коалиция P α может состоять и из одного игрока, но она не содержит игрока i) имеет место равенство v(P α i) = v(P α) + v(i), означающее, что i-й игрок не в состоянии увеличить доход членов ни одной из коалиций. Если бы нашлось q таких игроков-болванов , то без потери общности можно было бы ограничиться существенной игрой с N − q участниками, считая выигрыши

болванов заданными в виде выражений (1.4).

Предложение 1.1.В существенной игре без болванов любой участник заинтересован (с точки зрения максимизации своего выигрыша) войти хотя бы в одну из коалиций.

Доказательство. Действительно, из самого определения существенной игры без болванов следует, что, каков бы ни был участник i, найдется такая коалиция P α, ÷òî

v(P α i) > v(P α) + v(i),

а в этом случае и коалиция P α, и игрок i, действуя совместно, имеют возможность получить дополнительный выигрыш в виде некоторой доли от разности

v(P α i) − [v(P α) + v(i)].

Предложение 1.2.Максимум суммы доходов всех игроков при любом разделении их на коалиции совпадает с кооперативным доходом.

Доказательство. Действительно, из супераддитивности функции v ñëå-

дует, что при любом разделении всех игроков на непересекающиеся коалиции, т.е. коалиции, состоящие из разных игроков: Pi1, Pj2, Pk3,. . . , i+j+k+. . . = N, имеет место неравенство

из которого и следует доказываемое утверждение. (здесь Pkα коалиция из k участников, обозначенная номером α)

Из предложений 1.1 и 1.2 следует, что в существенных играх с трансферабельностью, в которых допускается образование любых коалиций, кооперация всех игроков всегда может обеспечить выигрыши всем участникам не хуже, чем при любых их коалиционных объединениях. В самом деле, если игроки по каким-то соображениям образовали несколько коалиций и отношение (1.5) оказалось строгим неравенством, то всем коалициям, очевидно, выгоднее объединиться в кооперацию, поскольку в ее составе они обеспечат общий

144

доход, допускающий такой дележ, при котором каждая коалиция получит больше, чем она смогла бы гарантировать самостоятельно. Такое увеличение дохода каждой коалииции обеспечивается за счет раздела между ними вели- чины v(PN ) - [v(Pi1) + v(Pj2) + . . .]. Но даже если отношение (1.5) оказывается равенством, то все коалиции, входящие в состав кооперации, всегда смогут наверняка рассчитывать получить во всяком случае свой гарантированный

доход v(Pk).

Приведем определение классического решения Дж.Неймана и О.Моргенштерна, основанное на следующих трех аксиомах:

т.е. каждый участник должен получить выигрыш, не меньший по сравнению с тем, который он смог бы обеспечить себе самостоятельно;

3) соотношения предпочтения (аксиома доминирования): если для некоторой эффективной коалиции Pm P (N), где 1 < m < N, т.е. коалиции, удовлетворяющей условию

X

xi ≤ v(Pm),

i Pm

имеют место отношения xi > x¯i äëÿ âñåõ i Pm, то говорят, что исход, или дележ (x1, . . . , xN ), т.е. совокупность чисел (x1, . . . , xN ), удовлетворяющих первым двум аксиомам, доминирует над дележом (¯x1, . . . , x¯N ) по коалиции

Pm, т.е. первый дележ предпочтительнее последнего с точки зрения коалиции

Pm.

Основываясь на этих трех аксиомах, Дж.Нейман и О.Моргенштерн дают следующее определение решения: множество NM исходов (дележей)

(x1, . . . , xN ) называется решением, если, во-первых, ни одному элементу этого множества нельзя отдать предпочтения перед другими элементами этого множества и, во-вторых, если всякому элементу вне этого множества можно предпочесть какой-либо элемент из этого множества.

Это ставшее классическим решение неудовлетворительно, во-первых, потому, что не всегда существует (в 1969 г. найден пример игры с 10 участниками, не имеющей решения), причем до сих пор не определен даже класс задач,

145

в котором оно существует; во-вторых, потому, что это решение, если существует, то всегда неединственно: более того, состоит оно из бесконечного множества так называемых решений (подчеркиваем решений , а не дележей), каждое из которых состоит из бесконечного множества дележей, причем дележи из одного решения могут доминировать над дележами из другого решения (что противоречит уже самому смыслу слова решение ). Безмерноебогатство различных решений-дележей (которые, к тому же, в каких-то играх могут и вообще отсутствовать), сводит к нулю практическую ценность кооперативной теории Дж.Неймана и О.Моргенштерна, особенно если еще учесть, что поиск решений-дележей задача чрезвычайно сложная (например, для игр с пятью участниками так и не удалось найти все типы решений). И, наконец, в-третьих, это решение неудовлетворительно еще и потому, что почти все получаемые в нем дележи не обладают игровой устойчивостью. Это означает, что найдется хотя бы один участник, который не согласится с предложенным дележом из решения Неймана Моргенштерна по той простой причине, что существует устойчивая игровая ситуация, в которую этот участник имеет возможность перевести игру и в которой его выигрыш оказывается больше доли, которая ему причитается в принятом участниками дележе. Причем почти все (а нередко и все) дележи по Нейману Моргенштерну именно таковыми и оказываются.

Непрактичность этой теории демонстрирует, к примеру, следующая простейшая игра с двумя участниками, в которой у каждого из игроков имеется всего по две стратегии и их платежные функции задаются матрицами, численные значения элементов которых указывают на возможные их выигрыши (например, в рублях):

Стратегия 1-го игрока это выбор одной из двух строк, а стратегия 2-го выбор одного из двух столбцов, так что, например, если 1-й игрок выбирает первую строку, а 2-й игрок второй столбец, то в игре реализуется ситуа-

весна по Нэшу (1).

Поскольку в этой игре всего два участника, а следовательно, никакие коалиции, кроме кооперации, невозможны, то решение Неймана Моргенштерна

146

задается условиями: x1 + x2 = 1, 8 · 1010, x1 ≥ v1 = 2, x2 ≥ v2 = 1. Таким образом, оказывается, что любой раздел между участниками кооперативного выигрыша оказывается решением по Нейману Моргенштерну. В частности, справедливым по Нейману Моргенштерну является и дел¼ж, в соответствии с которым один из участников получает 1, а другой ( 1, 8 · 1010 - 1).

На этом примере может показаться, что теория Неймана Моргенштерна неспособна находить разумные дележи только в играх с двумя участниками, поскольку в этих играх аксиома доминирования не может быть применена, вследствие того что два участника могут образовать только одну коалициюкооперацию. Однако Дж.Нейман и О.Моргенштерн нашли все решения в играх с тремя и четырьмя участниками, в которых коалиции уже играют очень существенную роль и аксиома доминирования проявляет себя во всей своей незавидности, демонстрируя неудовлетворительность решения Неймана Моргенштерна наиболее ярко, причем не только в отношении множественности дележей из решения, но и в отношении появления континуумиального множества решений, каждое из которых состоит из континуума дележей, причем дележи из одного типа решения оказываются способными доминировать над дележами из другого типа решения, в связи с чем вышеприведенное понятие решения по Нейману Моргенштерну представляется абсолютно лиш¼нным смысла с точки зрения практических приложений, что и будет ниже продемонстрировано на примерах.

Что же касается аксиомы доминирования, вводившейся с надеждой, что все игры будут иметь решение, то она не оправдала даже этого ожидания.

Идеальным решением (справедливым дележом) кооперативной игры (с трансферабельной полезностью, т.е. с возможностью раздела любого выигрыша на любые части) можно, пожалуй, назвать такое, которое, во-первых, существует в любой игре; во-вторых, с ним вынужден согласиться любой участник игры, т.е. оно должно удовлетворять некоторым требованиям естественной устойчивости, в соответствии с которыми выход участника из кооперации не позволит ему выиграть больше причитающейся ему доли от справедливого дележа; в-третьих, является единственным.

Решение же Неймана Моргенштерна не удовлетворяет ни одному из трех предъявленных к идеальному решению требований. В качестве альтернативы этому решению в 1953 г. Л.Шепли [13] было предложено решение, состоящее всего из одного дележа, в основе нахождения которого тоже лежит характе-

ристическая функция v(Pk). Однако это решение ( вектор Шепли) не удовлетворяет требованию устойчивости в том смысле, что найдется по крайней

147

мере один игрок, которого не удовлетворит дележ, определяемый вектором Шепли, в том отношении, что он сможет выиграть вне рамок кооперации больше, чем обеспечивает ему дележ в соответствии с решением Шепли. И этот игрок (или несколько игроков) не согласится на создание кооперации, переведя игру в состояние устойчивого игрового равновесия, в котором его выигрыш превосходит его долю в кооперации, определяемую вектором Шепли.

Основным недостатком всех строившихся теорий кооперативных игр, в том числе и ранних теорий автора [41, 64], является опора всех этих теорий на понятие характеристической функции (1.3). В [64] было показано, что даже использование некоторой "улучшенной"характеристической функции и замена неудовлетворительной аксиомы доминирования гораздо более удовлетворительной с точки зрения устойчивости получаемых дележей аксиомой не позволило все же существенно приблизиться к понятию идеального решения кооперативных игр. Вероятно, построить удовлетворительную теорию кооперативных игр (да и не только кооперативных, но и любых игровых задач) невозможно, не располагая предварительно удовлетворительной теорией игровых равновесий.

Заметим, что среди множества NM-решений особо выделяются дележи, составляющие так называемое C-ядро, удовлетворяющее для любой коалиции Pm P (N) условию

X

i Pm

Хотя множество решений типа C-ядра интуитивно кажется наиболее удовлетворительной частью NM-решений, рассчитывать на то, чтобы быть при-

знанным в качестве приемлемого решения кооперативной игры оно все же не может, поскольку, во-первых, оно не пусто лишь в весьма ограниченных

случаях (грубо говоря, C-ядро не пусто, когда кооперативный доход суще-

ственно больше доходов любых коалиций, а следовательно, когда очень ярко выражены преимущества полной кооперации по сравнению с коалиционными объединениями) и во-вторых, когда не пусто, оно по существу всегда представляет собой очень богатое множество дележей, со многими из которых реальные игроки никогда бы не согласились и имели бы возможность улуч- шить их для себя.

148

2. Понятие S-решения

Значительно меньшими недостатками по сравнению с NM-решением обладает D-решение , предложенное в [46], которое мы, чтобы не путать его c D-равновесием, будем называть S-решением. S-решение также основано

на понятии характеристической функции, но при его определении исключе- на аксиома доминирования, которая, помимо характеристической функции,

является основной причиной получения весьма неудовлетворительного NM-

решения. Взамен этой аксиомы используется другая аксиома, приводящая к образованию последовательности оптимальных коалиций. В основе формулировки этой новой аксиомы лежит следующая функция:

характеризующая средний прирост доходов любых k игроков, объединивших-

ся в коалицию Pk, по сравнению со случаем, если бы они действовали самостоятельно. Эта функция неотрицательна и ограничена и вследствие конечности множества принимаемых ею значений достигает максимума на множестве коалиций P (N).

Обозначим через xi(Pj) äîëþ i-го игрока, входящего в коалицию Pj, ñî-

i Pj

возможных коалиций рассматривается

некоторая коалиция Pk−1, состоящая из (k − 1) игроков. Примем аксиому (1.6) и введем еще две следующие аксиомы [41, 46], вторая из которых является перефразировкой аксиомы (1.7).

Аксиома 2.1. Коалиция Pk−1 не имеет возражений против принятия в свой состав k-ãî игрока, если π(Pk) ≥ π(Pk−1).

Аксиома 2.2. i-й игрок не имеет возражений против вступления в

некоторую коалицию Pk−1, åñëè xi(Pk) ≥ v(i), ãäå Pk = Pk−i i, i / Pk−1.

Аксиома 2.1 утверждает, что игрока примут в данную коалицию только при условии, что средний доход членов исходной коалиции окажется в расширенной коалиции не меньше, чем он мог быть в исходной коалиции. А

аксиома 2.2 утверждает, что i-й игрок не имеет возражений против вступления в коалицию Pk−1, åñëè åãî äîëÿ i(Pk) в образовавшейся с его участием коалиции Pk окажется не меньше того выигрыша v(i), который он смог бы гарантировать себе самостоятельно.

149

Следует отметить, что кооперативная теория Э.Вилкаса [12] также основана на отказе от аксиомы доминирования и замене ее несколькими новыми аксиомами, но, однако, эти новые аксиомы Э.Вилкаса в своей совокупности вводят в игру некоторые искусственные нормы поведения.

Замечание 2.1. Следует иметь в виду, что функция π вовсе не означает,

что прирост доходов v(Pkα) игроков, объединившихся в коалицию Pkα, ðàñ-

пределяется между ними поровну. Она означает только, что если величина π(Pkα) в коалиции Pkα больше, чем величина π(Piβ) в коалиции Piβ, òî ïðè

любой системе распределения, устраивающей игроков в обеих коалициях, все

игроки коалиции Pkα имеют возможность получить большую прибавку к их личному гарантированному доходу v(j), чем игроки из коалиции Piβ.

На основе аксиом (1.6), 2.1 и 2.2 построим понятие S-решения, базой для построения которого служит следующее определение:

где, например, Pi1 это наибольшая коалиция (с числом участников i) íà

множестве коалиций ¯1 1. P с одинаковым средним приростом доходов π

Очевидно, π1 > π2 > π3 > . . ., а следовательно, игроки из главной выиг-

рывающей коалиции Pi1, т.е. той, средний доход членов которой максимален (и определяется функцией π1), не заинтересованы принять в свой состав ни

одного из оставшихся (N − i) игроков, а игроки из второй оптимальной коа-

лиции Pj2 (определяемой функцией π2) на том же основании не примут в свой состав игроков, не вошедших в первую и вторую оптимальные коалиции, и т.д.

Замечание 2.2. Последовательность оптимальных коалиций может быть неединственной, что подтверждает, например, пример игры трех лиц с х.ф.

v(1) = v(2) = v(3) = 0, v(1, 2) = v(1, 3) = v(2, 3) = v(1, 2, 3) = 1. Поскольку

max = π(1, 2) = π(1, 3) = π(2, 3) = 1/2, то возможны три следующие после-

P α

довательности оптимальных коалиций: 1) P 1 = (1,2), P 2 = (3); 2) P 1 = (1,3), P 2 = (2); 3) P 1 = (2,3), P 2 = (1).

Предложение 2.1. Последовательность оптимальных коалиций Pi1, Pj2, Pk3, ... может быть неединственной только в том случае, если хотя бы

150