4.2. Моделирование простейшего потока.

Для пуассоновского потока рассмотрим случайную величину τ >0 – интервал времени между соседними заявками. τ ≥ t >0  на отрезке (0,t) не поступит ни одной заявки. Поэтому .

В частности, если поток простейший, т.е. λ(t) = λ  и ν(t) = λ · t  плотность распределения

, , т.е. интервал времени между двумя соседними заявками распределен по показательному закону с параметром λ.

Как получить датчик показательного распределения с параметром λ?

. Берем датчик равномерного распределения на [0,1] для ρ:

. Тогда и

распределены по показательному закону с параметром λ ( 1-ρ, как и ρ, равномерно распределена на [0,1]). дает пуассоновский поток.

Теорема: Сумма N независимых потоков, среди которых нет доминирующих, дает при N → ∞ пуассоновский поток. На практике достаточно взять N>4.

4.3. Процессы гибели и размножения.

«Гибель» - обслуживание заявок, «размножение» - поступление новых заявок.

Пусть - событие, состоящее в том, что в момент времени t в системе находится ровно k заявок, и . Будем предполагать, что:

1. 2.

3.

4.

Стационарный режим: , не зависят от t и при  .

,

для k≥1.

Найдем p₀ из  p_k. = 1.

Рассмотрим частный случай: ,  , но  p_k. = 1. ,  1) <1 2)

Итак, для стационарного режима .

Классификация систем массового обслуживания:

Характеристика входного потока	Характеристика обслуживания	Кол-во каналов	Объем накопи­теля	Число ис­точников нагрузки
М – поток простейший, D – детерминированный G – общий случай	М – время распределено по показат. закону D, G	m	V (напр. бескон. очередь)	n – число входных потоков

Будем рассматривать М|М|1 и М | М | m. Если система замкнутая, то λ_k = (n - k) ∙ λ.

Если система многоканальная, то μ_k = min{m, k} ∙ μ - число работающих врачей.

4.4. Открытая система м | м | 1 (один врач).

Найдем среднее (по моменту времени):число заявок, находящихся в системе.

Знак суммы и производную мы меняли местами, т.к. ряд сходится равномерно.

,

Можно посчитать и другие характеристики. Воспользуемся формулой Литтла:

, т.к

Если система многоканальная (M|M|m), то нас может интересовать коэффициент занятости – доля работающих приборов (в среднем):

Коэффициент неготовности системы КНГ= – доля неработающих устройств.

Коэффициент готовности системы КГ=1-КНГ – доля работающих устройств.

Заметим, что для замкнутых систем может быть любым, в том числе >1.

4.5. Замкнутые системы с резервированием. Будем различать горячий и холодный резервы, т.Е. Исправные, но включенные или выключенные приборы.

Для системы с холодным резервированием: λ_k = λ∙min{n, n+r-k}.

Пусть имеется k – сломанных телевизоров, λ_k - интенсивность поломок.

n – работоспособных телевизоров, r – число резервных телевизоров.

КНГ= - доля комнат, где нет работающих телевизоров.

КГ=

№32. Пример: n=3; m=2; r=1.

5 приборов не может сломаться, так как у нас их всего 4=n+r

КГ= если - мало (т.е. малая интенсивность поломок)

Задача. Есть 4 станка и 2 ремонтника. Когда выше КГ, если они поделят станки на две зоны обслуживания (1,2 – мой, 3,4 - твой) или если они будут работать вместе.