- •1.1. Введение.
- •1.2. Оптимизационные задачи в 2.
- •1.4. Понятие о nр-полноте.
- •Условие целочисленности решения задачи лп.
- •Критерий полной унимодулярности.
- •Задача о назначениях.
- •Задача коммивояжера.
- •2. Принятие решений и элементы теории игр.
- •2.1. Задачи многокритериальной оптимизации.
- •2.3. Игры.
- •Дележи.
- •3. Сетевые модели.
- •3.1. Способы задания графов.
- •3.2. Изоморфизм графов.
- •П оиск простейших узких мест графа за o(|e|).
- •3.3. Остовные деревья.
- •Описание алгоритма Прима:
- •Корректность алгоритма Прима.
- •3.4. Кратчайшие пути в графах. Волновой алгоритм построения дкп (Дейкстра)
- •Нахождение кратчайшего пути для ациклического орграфа
- •3.5. Потоковые задачи Задача о максимальном потоке (змп).
- •На входе: матрицы а –пропускных способностей, и c – цен, c ij 0 - стоимость пропуска единицы потока по ребру (I,j), f0 - ограничение на величину потока.
- •3.6. Приближенное решение np-полных задач.
- •Задача о максимальной клике.
- •3.7. Точные методы решения np-полных задач.
- •4. Элементы теории массового обслуживания.
- •4.1. Пуассоновский поток событий
- •4.2. Моделирование простейшего потока.
- •4.3. Процессы гибели и размножения.
- •Классификация систем массового обслуживания:
- •4.4. Открытая система м | м | 1 (один врач).
- •4.5. Замкнутые системы с резервированием. Будем различать горячий и холодный резервы, т.Е. Исправные, но включенные или выключенные приборы.
- •4.6. Задачи проектирования сетей технического обслуживания.
- •3.5. Алгоритм Тарьяна (для планарных графов мод строится за o(n)).
4. Элементы теории массового обслуживания.
Системы массового обслуживания (СМО) отождествляются с ожиданием в очереди (например, у врача) и без ожидания (телефонная сеть, если номер занят, то необходимо еще раз набрать номер). По типу поступления заявок системы могут быть открытыми и замкнутыми. Пусть интенсивность потока покупателей в магазине ~ 95 чел/час, а один продавец обслуживает ~ 20 чел/час. Сколько нужно иметь продавцов? Как минимум 5, иначе очередь будет расти. Но очередь будет и при 5, и при 6 продавцах из-за нерегулярности потока и времени обслуживания. Длина очереди и время ожидания обслуживания – случайные величины. Пусть M[*] – оператор математического ожидания. Мы хотим научиться быстро определять M[время ожидания в очереди].
Ж изнь каждой заявки можно схематично отразить так: в момент времени она поступает в очередь, стоит до момента t, обслуживается и уходит из очереди. Пусть (t) - число поступивших к моменту t заявок, (t) - число обслуженных заявок. Будем считать, что в любой момент времени может поступить или быть обслужена только 1 заявка и (t) (t), т.к. не может быть обслужено заявок больше, чем поступило. Рассмотрим величины, усредненные по интервалу [0,t]:
Площадь фигуры между графиками (t) и (t) за период времени [0,t] есть - суммарное время нахождения всех заявок в системе (т.е. в очереди или на обслуживании).
Tt - среднее время нахождения одной заявки в системе за время от 0 до t;
Nt - среднее число заявок, находящихся в системе в любой момент времени.
t - среднее число заявок, поступавших за единицу времени (интенсивность потока заявок).
Если две из величин Nt,Tt и t имеют предел при , то и третья имеет предел, и выполняется формула Литтла:
4.1. Пуассоновский поток событий
Событие состоит в том, что за интервал в систему поступает k заявок.
Поток событий – пуассоновский, если
1. т.е. события независимы (отсутствие последействия – вероятность поступления m заявок на интервале не зависит от того, сколько их поступило раньше).
2. - вероятность поступления заявки в интервале длины h пропорциональна длине интервала. Поток стационарный, если .
3. – вероятность того, что на очень маленьком интервале времени поступает более 1 заявки, есть o(h) (ординарность потока).
Простейший поток событий = ординарный, стационарный и без последействия.
4. 5.
Введем обозначения:
Посчитаем и :
1.
(по определению ). Последнее уравнение легко решить: т.к. , то
, причем, если t=0, то
- это вероятность того, что на интервале от 0 до 0 произойдет 0 событий, тогда с=1 (по свойству 5), т.е. .
2.
парные события несовместимы, интервалы (0,t) и (t,t+h) – не пересекаются.
Легко проверить свойства: (для проверки: на интервале (0,h):
m=1, по свойству 2: ). Так как , то
Одно из решений: . Но других решений нет. Т.е. число заявок распределено по закону Пуассона с параметром : дискретная сл.величина распределена по закону Пуассона с параметром а, если .
Посчитаем: М[числа заявок, поступивших на интервале (0,t)] =
.
Тогда M[числа пост. заявок]= , - некоторое число.
Если - для простейшего потока.
- мат. ожидание числа заявок на (0,t+h),
- скорость (интенсивность) поступления заявок.