Задача коммивояжера.

Есть матрица расстояний между городами. Нужно объехать все города, побывав в каждом ровно один раз, и вернуться в исходный пункт.

Пусть X = {x_ij}, где x_ij =1, если из i-го города едем в j-й, иначе x_ij =0. Цель: при условии, что матрица X удовлетворяет ограничениям:

(1) т.е. из каждого города можно выехать только в один город, (2) т.е. в каждый город можно въехать только из одного города.

Мы получили задачу о назначениях, но ограничения не определяют однозначно маршрут и могут появиться несколько циклов. Чтобы цикл был единственным, используем подход Таккера, введя дополнительно (n-1) переменную u₂,u₃,…,u_n и (n-1)×(n-2) ограничения (3): u_i– u_j+ x_ij·(n-1) ≤ n–2, где 2 ≤ i ≠ j ≤ n. Тогда

1. если  допустимое решение (X,u) задачи (1)-(3), то матрица X имеет единственный цикл (т.е. маршрут коммивояжера);

2. если  маршрут коммивояжера (допустимая матрица Х с одним циклом), то  и вектор u=(u₂,u₃,…,u_n), удовлетворяющий ограничениям (3).

Доказательство: Докажем a): предположим противное, т.е. что цикл не единственный  существует цикл, не проходящий через точку 1. Пусть вершины этого цикла имеют номера , т.е. все . Имеем:

, …

, ,

… .

Складывая все эти неравенства, получим  n–1 ≤ n–2, т.е. - противоречие.

Докажем b). Пусть u_i - номер шага, на котором мы попадем в точку i, начиная движение с точки 1. Такие u_i удовлетворяют ограничениям (3):

1. Пусть пара (i,j) – звено маршрута (i1)  u_i– u_j= –1 по определению u. Кроме того, x_ij = 1,  получим: -1+1·(n-1) ≤ n-2, т.е. верно.

2. Пара (i,j)  маршруту  x_ij = 0, и u_i– u_j≤ n–2 по определению u.

Но для этой задачи матрица ограничений не вполне унимодулярна. Поэтому, если отбросить условие целочисленности, можно получить дробные решения.  Такой подход вообще не позволяет корректно решать задачу коммивояжера.

Метод динамического программирования для ЗК.

Принцип оптимальности Беллмана: любая часть оптимального решения оптимальна.

Пусть S {2,3,…, n}, kS, а C (S, k) – длина кратчайшего пути из 1 в k, проходящего по всем пунктам множества S. Тогда C ({k}, k) = d_1k , а при | S | > 1 C (S, k) = min [C (S \ {k}, m) + d_mk], где минимум берется по всем mS \ {k}. Нужно хранить argmin, чтобы восстанавливать оптимальный путь. Придется вычислять и сохранять C (S, k) для всех множеств S  и всех mS . Для этого требуется память объемом V_n и T_n операций сравнения и сложения.

Метод ветвей и границ для ЦЛП.

Пусть Z есть задача ЦЛП (xцелое). Рассмотрим функционалы F _ЛП и F _ЦЛП

D_ЛП - область определения ЛП, D_ЦЛП - область определения ЦЛП

D_ЛП  D_ЦЛП  F _ЛП  F_ЦЛП , Это соотношение задает границу для F_ЦЛП

Описание МВиГ: Вход: описание задачи Z.

Оценка (Z) /* решение вспомогательной ЛП, т.е. нахождение x_ЛП и F_ЛП*/

If x_ЛП – целое Then Return(x_ЛП) Else { r =; OPEN ={Z};

/* OPEN - упорядоченное по значениям F_ЛП AVLдерево.*/ }

While (OPEN) do /* основной цикл */

s= pop(OPEN); OPEN={s}; /*выбор вершины списка OPEN как */

/* текущей задачи s и удаление ее из списка*/

СПИСОК1= список_дочерей_s; /* СПИСОК1очередь на оценку*/

выбор для ветвления нецелочисленной координаты x_i0;

s1=s{ x_i0[ x_i0опт]}; s2=s{ x_i0[ x_i0опт]+1};

While (СПИСОК1) do

s1=pop(СПИСОК1); СПИСОК1=s1;

оценка(s1) /* для ЦЛП: решение ЛП для s1 */

Анализ: If оценка(s1)> r Then /* оценка лучше рекорда */

If x^лп_s1целое

Then {r = оценка(s1); x_r= x^лп_s1;

установка флага очистки списка OPEN }

Else OPEN+=s1; /* с учетом оценки s1*/

End_While_ СПИСОК1

If флаг очистки установлен

Then удаляем из списка OPEN все вершины, оценка которых  r

End_While_OPEN;

Return(r,x_r);

End.

№ 9. Пример: 2x₁+5x₂max

x₁+3x₂  9

3x₁+2x₂  12 x₁,x₂  0

для ЛП z=(¹⁸/₇, ¹⁵/₇) f_опт^лп=15⁶/₇

f_опт^злп =? Z (¹⁸/₇,¹⁵/₇)

Z₁=Z  {x₂  2} Z₂=Z  {x₂  3}

(⁸/₃,2), f_опт=15¹/₃ (0,3), f_опт^злп=15

получили целочисленное решение стоимостью 15. Это уже точно одно из решений целочисленной задачи => (0,3) записываем в рекорд (R).

На следующих шагах (если f_опт^лп > f_опт^цлп или нужно найти все решения):

Z_1,1 = Z₁  {x₁  2} Z_1,2=Z₁  {x₁  3}

(2,2), f_опт^лп=14 <R (3,³/₂), f_опт^лп=13,5 <R

=> улучшения или повторения рекорда не может быть.

В России всякая полезная деятельность вредна.

Сергей Юрский