3.4. Кратчайшие пути в графах. Волновой алгоритм построения дкп (Дейкстра)

Аналогичен алгоритму Прима (Т=O(n²)), но теперь D(k) – текущее кратчайшее расстояние до вершины, в которой находится аварийная служба, и для которой проводится инициализация. При корректировке сравниваем R=D(k)+d(k,j) и D(j). Если < - то коррекция: D(j)=R. Алгоритм работает корректно, если все d(i,j)≥0.

Рассмотрим работу алгоритма Дейкстры на том же примере, что и алгоритм Прима:

O	1	1	1	1	4	6 5	2 3	6 7
i	1	2	3	4	5	6	7	8	9
D		1	3	2	4	7 5	7 5	9 7
W	1	1	1	1	1	1	1	1	0

N	W  O-1(>0) ={i}	{Di}	Dk= min Di	k= argmin	W  S(k)	j	Oj	Dj	R= Dk+dk,j	коррекция Oj=k, Dj=R
2	{4,3,2}	{2,3,1}	1	2	{3, 7}	3	≠0	3	5+1=6	нет
						7	=0		6+1=7	O7=2, D7=7
3	{4,3,7}	{2,3,7}	2	4	{3, 5}	3	≠0	3	1+2=3	нет
						5	=0		2+2=4	O5=4, D5=4
4	{5,3,7}	{4,3,7}	3	3	{5, 6, 7}	5	≠0	4	3+3=6	нет
						6	=0		3+4=7	O6=3, D6=7
						7	≠0	7	3+2=5	O7=3, D7=5
5	{5,6,7}	{4,7,5}	4	5	{6}	6	≠0	7	4+1=5	O6=5, D6=5
6	{6,7}	{5,5}	5	6	{7, 8}	7	≠0	5	5+1=6	нет
						8	=0		5+4=9	O8=6, D8=9
7	{7,8}	{5,9}	5	7	{8}	8	≠0	9	5+2=7	O8=7, D8=7
8	{8}	{7}	7	8	{}					нет

Получили ДКП. По сравнению с МОД здесь произошли 2 замены: ребро (1,3) вместо (4,3) и ребро (3,7) вместо (6,7) .

При этом вторая замена, увеличив суммарную длину ребер на 1, уменьшила на 1 расстояние от вершины 1 до в-н 7 и 8.

Первая же замена, увеличив сумму длин ребер на 2, никаких расстояний не уменьшила. Нужна оптимизация по Парето.

Корректность алгоритма Дейкстры

D_k(i) - текущее расстояние от i-й до 1-ой вершины, на k-ом шаге

O_k(i) – отец вершины i, на k-ом шаге

Свойства: (считаем, что вершины перенумеровав в порядке включения)

1. D_k(i) не возрастает по k i.

2. D_k(k) не убывает по k при условии, что d_ij≥0.

3. i → O(i) → O²(i) …→ 1 - текущий кратчайший путь из i в 1.

4. D_k(i)= длина пути (из пункта 3) из i в 1.

5. Для включенных вершин текущий путь по предкам является оптимальным.

6. Если i₁ → i₂ →…→1 - это кратчайший путь из i₁ в 1, то D(i₁)=D(i₂)+

Справедливы утверждения:

1. Задача нахождения всего ДКП имеет смысл в случае ориентированного ациклического графа или графа с циклами положительной длины. В неориентированном графе все ребра должны иметь неотрицательную длину.

2. Задача нахождения кратчайшего пути в конкретную вершину некорректна, если граф неориентирован, связен и существует хотя бы одно ребро с отрицательной длиной, или граф ориентирован и в нем есть цикл отрицательной длины, достижимый из начальной вершины.

№21. Алгоритм Флойда (могут быть ребра отрицательной длины) :

D

R:=D; O_ij=0; i,j

for k:=1 to n

for i≠k от 1 до n

цикл j≠k от 1 до n

если r_ik+r_kj<r_ij

то{r_ij:=r_ik+r_kj; O_ij:=k}

end end end

return (R,O)

={d_ij≥0} – матрица расстояний, R={r_ij – кратчайшее расстояние между i и j}

Если на диагонали матрицы R на выходе алгоритма окажутся отрица­тельные элементы  есть цикл с отрицательной длиной, иначе циклов с отрицательной длиной нет и R_ij – кратчайшее расстояние между i и j.

“—“ аналог ∞.

Пример: на входе - матрица расстояний D. На выходе на диагонали матрицы R есть отрицательные числа  цикл отрицательной длины  R не матрица кратчайших расстояний.

Поменяем порядок перебора вершин: k=1, k=4, k=3, k=2

D:						k=1					k=2					k=3					k=4					k=4					k=3					k=2
-	10	6	-		-	10	6	-		20	10	5	-		11	8	5	8		11	8	5	8		-	10	6	-		12	4	6	9		10	9	4	7
10	-	-5	-		10	20	-5	-		10	20	-5	-		1	-2	-5	-2		1	-2	-5	-2		10	20	-5	-		1	-2	-5	-2		1	20	-5	-2
6	3	-	3		6	3	12	3		6	3	-2	3		6	3	-2	3		6	3	-2	3		6	3	6	3		6	3	6	3		4	3	-2	1
-	-	3	-		-	-	3	-		-	-	3	-		9	6	3	6		9	6	3	6		-	-	3	-		9	6	3	6		7	6	1	4

Результат зависит от нумерации вершин. Что значат числа в полученной матри­це? После 1-го шага – это длины либо прямых путей, либо двузвенных (через 1 вершину?). После 2-го шага число разрешенных звеньев увеличивается до 4, после 3-го шага – до 8. В результате получим путь длины 2 через 1-ю вер­шину: 2(1)+2(2)+2(3)+3(1 2)+3(1 3)+3(2 3)+4(1 2 1)+4(1 3 1)+4(2 3 2)+8(1 2 1 3 1 2 1)+… +7(…)+… +6(…)+…+5(…)+… В цепочках не участвует только вершина 4 (на 3-ем шаге).

С каждой матрицей можно связать списки вершин. Например: S₂= (0,1,2,12, 121).

S₃={(v, u): v, uS₂}, | S ₂| = 6  6, | S ₃| = 36  36- мощность S₃.???