4.6. Задачи проектирования сетей технического обслуживания.

Сети состоят из ненадежного оборудования, размещенного в разных пунктах. Где держать ремонтников? Сосредоточим их в центрах технического обслуживания, решив задачу о P-медиане. При этом капитальные затраты уменьшатся, но возрастут транспортные расходы и время на переезды. А сломанный прибор «ждет», пока до него доберутся  п адает коэффициент готовности системы. Приехавшая бригада, помимо ремонта может проверять для профилактики и работоспособные приборы в этом пункте, т.е. возникает задача коммивояжера: как быстрее объехать все пункты. Для определения числа ремонтных бригад используем модели СМО, а в сложных ситуациях - имитационные модели.

Казалось бы, сеть нужно строить в виде МОД. Но чтобы сеть была надежней (из-за непредвиденных ситуаций), она должна быть многосвязной. Граф назовем реберно-k-связным, если при удалении k ребер, он остается связным, но существует k+1 ребро, удаление которых нарушает связность. Для определения реберной связности графа решим задачу о максимальном потоке с единичными пропускными способностями ребер.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. -М.: Наука, 1980.

2. Оуэн Г. Теория игр.-М.: Мир, 1971. 230 с.

3. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. –М.: 1985

4. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. .-М.: Мир, 1989.

5. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. –М.: 1987.

6. Адельсон-Вельский Г.М., Донской Е.А., Карзанов А.В. Потоковые алгоритмы. .-М.: Наука, 1975.

7. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход.-М.: Мир, 1978.

8. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. .-М.: МЦНМО, 2001.

9. Поддерюгин В.Д. Алгоритм определения реберной связности графа. – Сб. «Вопросы кибернетики. Труды семинара по комбинаторной математике (Москва, 1971)». М., «Советское радио», 1973.

Адельсон-Вельский Георгий Максимович, Донской Ефим Абрамович, Карзанов Александр Викторович.

Дополнительные материалы, не вошедшие в основную часть пособия.

П ример 3:

Э тап 1: ОЧИСТКА слоя 2. ОЧИСТКА слоя 1.

Осталась цепочка

minПСВ=4, F=4

Э тап 2:

k=7; f=minПСВ=3; F=7

k =2; f=3, F=10, вхПСВ(4)-4=5 k=4; f=1, F=11, выхПСВ(1)-4=6 f=6, F=17

Э тап 3: ОЧИСТКА слоев 4 и 3:

k=7, f=1; F=18

k =3, f=2; F=20 f=2, F=22

Э тап 4:

f=1, F=23

Э тап 5:

Максимальный поток F(X) = 23 и минимальный разрез (R)=23. По ребру (2,4) на этапе 2 течет поток f₂₄ = 3, а на этапе 4 навстречу – f₄₂ = 1.

3.5. Алгоритм Тарьяна (для планарных графов мод строится за o(n)).

NKS	BV	i	Соседи
I	3,2	1	2 3
I	1	2	1 3 5 4
I	1	3	1 2 5 6
II	7	4	2 5 7
III	8,6	5	2 4 7 8 6 3
III	5	6	5 8 9 3 10
II	4	7	4 5 8 10
III	5	8	7 10 9 6 5
IV	10	9	8 10 6
IV	9	10	6 9 8 7

макрограф

тоже планарный

Этап 1. Этап 2.

На каждом шаге число операций ≈ числу дуг=2R<6n

5. Формируем списки соседей всех вершин.

6. Для всех вершин находим ближайшую вершину BV и строим симметричное замыкание BV: если BV(i)=j и BV(j) ≠ i, то в BV(j) добавляем i. В замыкании будет не более (n-1) неориен.ребра.

7. Поиском сначала вширь по массиву BV выделяем компоненты связности. I: 1,2,3 II: 4,7 III: 5,8,6 IV: 9,10

Трудоемкость этой части = числу ребер в симметрическом замыкании < 2n.

8. ОЧИСТКА. Формируем ребра макрографа в виде списков соседних компо­нент связности. Если в списке соседей очередной вершины i встретится вершина j из другой компоненты k, то запишем в список соседних макровершин блок ^k/_d (i, j), где d – длина кратчайшего из ребер между вершинами компонент.

Список соседних макровершин до очистки							Список соседей после очистки
I	_III_ ,	_II_ ,	_III_				I	_II_ ,	_III_
	7(2,5)	4(2,4)	3(3,5)					4(2,4)	3(3,5)
II	__I_ ,	_III_ ,	_III_ ,	_III_ ,	__IV_		II	__I_ ,	_III_ ,	__IV_
	4(2,4)	7(4,5)	6(7,5)	5(7,8)	6(7,10)			4(2,4)	5(7,8)	6(7,10)
III	__I__ ,	__II_ ,	_IV_ ,	__IV_			III	__I__ ,	__II_ ,	_IV_
	3(3,5)	5(7,8)	6(8,9)	4(8,10)				3(3,5)	5(7,8)	4(8,10)
IV	__II_ ,	__III__					IV	__II_ ,	__III__
	6(7,10)	4(8,10)						6(7,10)	4(8,10)

Метод фиктивных розыгрышей.

П редположим, что игроки уже сыграли N раз, причем игрок x k_i^x раз выбрал свою iю стратегию, а игрок y k_j^y раз выбрал свою jю стратегию.  k_i^x= k_j^y=N.

Как играть в N+1 раз? В этой ситуации игрок x считает, что y играет по смешанной стратегии q=(k₁^y/N, k₂^y/N,…, k_m^y/N). Тогда математическое ожидание выигрыша 1ого игрока при условии, что он выберет стратегию i, равно

. Поэтому игрок x выберет свою чистую стратегию . Аналогично, игрок y выберет свою чистую стратегию .

Пример:	Y1	Y2	Y3	min	Начиная с максиминных стратегий x1 и y2, повторяем в цикле: , [N+1]*Aj(p) = N*Aj(p) + f i*j , [N+1]*Bi(q) = N*Bi(q) + f i*j
X 1	3	5	7	3
X2	2	4	8	2
X3	1	6	2	1
X 4	8	2	1	1
max	8	6	8

Добавляем в текущие суммы таблицы строку I* и столбец j* матрицы f_ij.

NA1(p)	NA2(p)	NA3(p)	Xi*	Yj*	NB1(q)	NB2(q)	NB3(q)	NB4(q)
3 y1	5	7	X1	Y2	5	4	6 x3	2
+1 =4y1	+6 =11	+2 =9	X3	Y1	+3 =8	+2 =6	+1 =7	+8 =10x4
+8 =12	+2 =13	+1 =10y3	X4	Y1	+3 =11	+2 =8	+1 =8	+8 =18x4
+8 =20	+2 =15	+1 =11y3	X4	Y3	+7 =18	+8 =16	+2 =10	+1 =19x4
+8 =28	+2 =17	+1 =12y3	X4	Y3	+7 =25x1	+8 =24	+2 =12	+1 =20
+3 =31	+5 =22	+7 =19y3	X1	Y3	+7 =32x1	+8 =32	+2 =14	+1 =21
+3 =34	+5 =27	+7 =26y3	X1	Y3	+7 =39	+8 =40x2	+2 =16	+1 =22
+2 =36	+4 31y2	+8 =34	X2	Y3	+7 =46	+8 =48x2	+2 =18	+1 =23
			X2	Y2

Посчитаем кратности и относительные частоты стратегий игроков за 9 шагов:

k^y =(2, 2, 5) ; k^x =(3, 2, 1, 3). p⁹_опт=(3/9, 2/9, 1/9, 3/9), q⁹_опт=(2/9, 2/9, 5/9).

Теорема (РобинсонаМонро) о методе фиктивных розыгрышей:

1. Рассмотрим последовательности частотных векторов: p^N={p^N_i}={k_i^x/N}, q^N={q^N_j}={k_j^y/N}. Все предельные точки этих последовательностей являются оптимальными стратегиями: p^Np*, q^Nq*.

2. (p^N)(q^N)0, где (p^N)оптимальный выигрыш второго игрока при условии, что первый играет по стратегии p^N, (q^N) оптимальный выигрыш первого игрока при условии, что второй играет по стратегии q^N.

Номера страниц для печати по 2 страницы на листе (все 56 страниц).

1 ,56,3,54,5,52,7,50,9,48,11,46,13,44,15,42,17,40,19,38,21,36,23,34,25,32,27,30

2,55,4,53,6,51,8,49,10,47,12,45,14,43,16,41,18,39,20,37,22,35,24,33,26,31,28,29

Номера страниц для печати по 2 страницы на листе (только 52 страницы).

1,52,3,50,5,48,7,46,9,44,11,42,13,40,15,38,17,36,19,34,21,32,23,30,25,28

2,51,4,49,6,47,8,45,10,43,12,41,14,39,16,37,18,35,20,33,22,31,24,29,26,27

Рисунок, который я не могу удалить

№18. Лингвистическая задача, использующая изоморфизм графов.

Дано множество слов языка суахили L = {kibuzi, mbuzi, mgeni, mtu, jitu, jito} и множество их переводов на русский язык R = {великан, человек, большая река, козочка, коза, гость}. Перевести на русский язык отдельно каждое слово языка суахили.

Решение. В се русские переводы можно представить в виде пар повторяющихся имен объектов (человек, коза, гость, река) и их размеров (большой, маленький, средний): великан = большой человек, козочка = маленькая коза, коза = средняя коза. Нарисуем граф множества русских слов из R. В нем различны степени вершин, соответст­вующих размерам. Выделим повторяющиеся части в словах языка суахили: buzi повторяется с ki и m, с m еще встречаются geni и tu, с tu – ji, с ji – to. Естественно предположить, что это морфемы языка, имеющие самостоятельное значение.

Нарисуем граф множества морфем языка суахили.

В каждом слове языка суахили одна морфема принадлежит трехэлемент­ному множеству {ji, m, ki}, а вторая четырехэлементному множеству {to, tu, geni, buzi}.  {ji, m, ki} – размеры, а {to, tu, geni, buzi} - объекты.

Р азмеры различаются по числу повторений, значит ki = маленький, m = средний, а ji = большой. Размер ki встречается только в слове kibuzi, а маленькой в русском тексте бывает только коза, значит buzi = коза. Средний размер m встречается кроме козы в повторяющемся 1 раз слове geni=гость и 2 раза слове tu=человек. В графах осталось по одному неопознанному слову. Значит to=река.

Решить задачу можно проще. Оба графа – деревья, содержащие по одной вершине степени 3: m=средний, причем все 3 поддерева являются цепочками из различного числа элементов.

73 20.11.2020