1.14. Векторное произведение векторов

Определение 20. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется положительно ориентированной (правой), если при откладывании этих векторов от одной точки кратчайший поворот от вектора к вектору с конца вектора виден против часовой стрелки. В противном случае данная тройка векторов называется отрицательно ориентированной (левой).

Определение 21. Векторным произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

• 

• ,

• упорядоченная тройка векторов положительно ориентирована.

Если векторы и коллинеарны, то их векторным произведением считается нулевой вектор.

Векторное произведение упорядоченной пары векторов и обозначается или  .

Примеры. 1. Пусть  положительно ориентированная тройка единичных взаимно перпендикулярных векторов (рис. 20). Найдём их попарные векторные произведения.

Пусть . Тогда . Кроме того , и тройка  правая. Следовательно, , т.е. . Аналогично получим, что , , , , . 2. АВСD  правильный тетраэдр с ребром 1 (из точки D обход точек А, В,С виден против часовой стрелки), [DO]  его высота. Найдём .

Рис. 20

Решение. В правильном тетраэдре с ребром 1 длина высоты равна (т.е. ).

Пусть . Тогда (рис. 21). Кроме того, , , т.е.  . Так как тройка векторов должна быть правой, а тройка левая, то вектор противонаправлен с вектором . Сравнивая длины векторов и , получаем .

Рис. 21

Свойства векторного произведения векторов.

1⁰. Векторное произведение любой упорядоченной пары векторов определено и однозначно.

2⁰. =  для любых векторов и .

3⁰. для любых векторов и и любого действительного числа  .

4⁰. для любых векторов , и .

5⁰. =  и коллинеарны.

60. Если векторы и не коллинеарны, то длина вектора, равного их векторному произведению, численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах. Доказательство. (рис. 22). 70. (Векторное произведение в координатах).

Рис. 22

Пусть В =  базис, , . Тогда

= ) =

(9)

Если базис В = ортонормированный, то, используя пример 1, получим

= (10)

Задача 9. В ортонормированном базисе , , . Найдите ( ) и .

Решение. Используем формулу (10). Получим

= , ( ) = .

= , .

Из результатов решения этой задачи видно, что ( ) не обязано быть равно , т.е. векторное умножение векторов не подчиняется ассоциативному закону.

Задача 10. В параллелограмме АВСD угол DАВ = 60⁰, , , , , AB = 6, AD = 4. Найдите площадь четырёхугольника MQNP и длину его высоты QE, опущенной из вершины Q.

Решение. Разобьём четырёхугольник MQNP на два треугольника, тогда . Так как длины векторов и и угол между ними известны, то выберем базис , . Тогда .

Рис. 23

Отсюда . .

. Найдём векторные произведения.

Отсюда

.

Аналогично,

Отсюда .

Следовательно, .

Искомая высота является высотой в треугольнике QNP. Следовательно,

. Найдём длину вектора Получим = = . Следовательно,

.