4.3. Поверхности

4.3.1. Цилиндрические поверхности

Пусть Г – линия и - ненулевой вектор, не параллельный плоскости линии Г (если Г плоская линия.

Определение 10. Цилиндрической поверхностью с направляющей Г и образующими, параллельными вектору , называется множество точек всех возможных прямых, параллельных вектору и пересекающих линию Г.

Основная задача, которую нужно решить: как найти уравнение цилиндрической поверхности, если даны уравнения линии Г и координаты вектора .

Пусть в пространстве введена АСК, и линия Г имеет уравнения (27) Обозначим цилиндрическую поверхность Ц. М  Ц  (М  l, где l || и l  Г  ). Обозначим l  Г = N. Если N(х0, у0, z0), то () Если М(х, у, z), то М  Ц  х = х0 + mt, у = у0 + nt, z = z0 + рt, где t  R. Отсюда х0 = х  mt, у0 = у  nt, z0 = z  рt. Подставив х0, у0, z0 в равенства (), получим уравнения Ц.

Рис. 17

(28)

Остаётся из этих уравнений исключить параметр t.

Получили следующие правила для составления уравнения цилиндрической поверхности:

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся уравнениями (27) и образующие параллельны вектору , то для составления уравнения поверхности достаточно в уравнениях (27) заменить х на х  mt, у на у  nt, z на z  рt и из полученных уравнений исключит параметр.

Пример 1. Составьте уравнение цилиндрической поверхности, если образующие параллельны вектору = 3, 2, 1 и направляющая Г имеет уравнения

Решение. Линия Г – эллипс в плоскости (ХОУ) с полуосями 3 и 2 (рис. 18). В уравнениях линии Г заменяем х на х - 3t, у на у  2t, z на z + t. Получим Из второго уравнения t =  z. Подставим в первое уравнение. 4(х + 3z)2 + 9(у + 2z)2 = 36. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим 4х2 + 9у2 + 72z2 + 24хz + 36уz  36 = 0. Это уравнение данной цилиндрической поверхности.

Рис.18

Пример 2. Составьте уравнение цилиндрической поверхности, если направляющей является линия лежащая в плоскости (ХОУ), а образующие параллельны оси (ОZ).

Решение. Вектор, параллельный образующим, есть вектор . Заменяем в уравнениях направляющей х на х  0•t, т.е. х заменяем на х. Аналогично, у заменяем на у. Но z заменяем на z  t. Получим Из второго уравнения z = t. Это значит, что z может независимо от х и у принимать все возможные действительные значения, а х и у связаны тем же уравнением f(х, у) = 0, что и в уравнении направляющей. Уравнение цилиндрической поверхности в этом случае будет f(х, у) = 0.

Следствие. Уравнения , , у² = 2рх задают цилиндрические поверхности с направляющими эллипсом, гиперболой и параболой соответственно. Их образующие параллельны оси (ОZ).

Если направляющая цилиндрической поверхности есть линия второго порядка, то поверхность называется цилиндром второго порядка.

Замечание. Обратите внимание на то, что уравнения f(х, у) = 0, f(х, z) = 0, f(у, z) = 0, задают на плоскостях (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ) соответственно некоторые линии. Но в аффинной системе координат в пространстве они задают цилиндры с образующими, параллельными оси (ОZ), (ОУ) и (ОХ) соответственно.