4.1.4. Парабола

Определение 8. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалёна от данной точки и от данной прямой (данная точка не лежит на данной прямой).

Данная точка F называется фокусом параболы, а данная прямая t – её директрисой.

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось (ОХ) проходила через фокус перпендикулярно директрисе в сторону от директрисы к фокусу. За начало координат возьмём середину отрезка между директрисой и фокусом (рис. 12). М  параболе  FМ = d(М, t) (). Обозначим d(F, t) = р. Тогда F( и прямая t будет иметь

Рис. 12

уравнение х = . Равенство () перепишется . Получили уравнение параболы. Так как обе части равенства неотрицательны, то возведение в квадрат даст эквивалентное уравнение

у² = 2рх (7).

Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы. В этом уравнении р  0. Из уравнения (7) следуют свойства:

 парабола лежит в той полуплоскости с границей (ОУ), в сторону которой направлена ось (ОХ);  парабола симметрична относительно оси (ОХ);  при х   у  ;  парабола проходит через начало координат и не имеет других точек пересечения с осями координат. Начало координат называется вершиной параболы.

Рис. 13

Если М₀(х₀, у₀)  параболе, то уравнение касательной к параболе в этой точке имеет вид уу₀ = р(х + х₀).

Теорема 7. Любые две параболы подобны.

Доказательство. Пусть у2 = 2рх и у2 = 2р1х  две параболы. Пусть у = кх – любая прямая, проходящая через начало координат. Пусть эта прямая пересекает параболы в точках М и . Тогда, если прямая проходит в первом координатном углу, М(х1, ), (х2, ). Так как М и  лежат на данной прямой, то у1 = кх1, у2 = кх2. Следовательно, , ,

Рис. 14

, . Отсюда , т.е. параболы подобны с коэффициентом подобия .

Замечание 1. Если вершиной параболы является точка С(х₀, у₀) и ось параболы параллельна оси (ОХ), то парабола имеет уравнение (у – у₀)² = 2р(х – х₀).

Замечание 2. Если в уравнении (7) р  0, то парабола располагается в той полуплоскости с границей (ОУ), в которой лежит отрицательная полуось (ОХ). Уравнения х² = 2ру при любом р задают параболы, симметричные относительно оси (ОУ).

Общие свойства эллипса, гиперболы и параболы описывает следующая

Теорема 8. Для любых данных прямой t и точки F (F  t) множество точек, отношение расстояний от каждой из которых до данной точки и до данной прямой есть постоянная величина , есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола.

4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах

Если в каноническом уравнении эллипса, гиперболы или параболы заменить то получим уравнение соответствующей линии в той системе полярных координат, полюс которой совпадает с началом ПДСК, а полярная ось совпадает с осью (ОЗ). Уравнения, очевидно, будут различными. Но существует такая система полярных координат, в которой уравнения всех трёх линии имеют одинаковый вид.

Зададим систему полярных координат так, что а) в случае эллипса полюс совпадает с фокусом F₁, а полярная ось имеет направление ; б) в случае гиперболы полюс совпадает с фокусом F₂, а полярная ось имеет направление ; в) в случае параболы полюс совпадает с её единственным фокусом, а полярная ось направлена по оси параболы в сторону от её вершины (рис. 15).

	Рис. 15
Пусть для эллипса, параболы или «правой» ветви гиперболы (обозначим их ) зафиксирована указанная система полярных координат, пусть М(, ) и пусть t – директриса, соответствующая выбранному фокусу. Тогда М    (рис. 16) FМ = , М = МК + К, МК= соs,		Рис. 16

К = QЕ, EF: QЕ= , т.к. точка Е лежит на . Если обозначить EF= h, то QЕ= . Следовательно, М= соs + . Итак, М    . Преобразуя это уравнение, получим (8)

При   1 уравнение (8) задаёт эллипс, при   1 оно задаёт «правую» ветвь гиперболы, при  = 1 – параболу.

Для эллипса и гиперболы Е( с, ). Следовательно, h = . Для параболы (если её уравнение у² = 2рх) h = р.