III. Угол между прямой и плоскостью

Дано: , П : Ах + Ву + Сz + D = 0, t : . Найти один из углов между П и t. Решение. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость

Рис. 35

(рис. 35). Из уравнений прямой и плоскости вектор перпендикулярен плоскости П, а вектор параллелен прямой t . Следовательно, ). Отсюда следует, что

sin(П, = (50)

Из свойств векторов и следует:

П  t  ; П  t  (51)

IV. Расстояние от точки до плоскости

V. Расстояние от точки до прямой

VI. Расстояние между скрещивающимися прямыми

2.7.3. Геометрический смысл неравенства Ах + Ву + Сz + D  0 ( 0,  0,  0)

3. Различные системы координат на плоскости и в пространстве

3.1. Полярная система координат на плоскости

3.2. Цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве

4. ОБРАЗЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА

4.1. Элементарная теория линий второго порядка

4.1.1. ОКРУЖНОСТЬ

Определение 1. Окружностью с центром С и радиусом а называется множество точек плоскости, удалённых от точки С на расстояние а. Обозначение  = окр(С, а).

Если на плоскости зафиксирована ПДСК и С(х₀,у₀), то М    СМ = а. Если М(х, у), то М     (х – х₀)² + (у – у₀)² = а². Следовательно, уравнение окружности в ПДСК есть (х – х₀)² + (у – у₀)² = а².

Если А(х₁, у₁)  , то уравнение касательной к  в точке А можно получить как уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно вектору =х₁–х₀,у₁–у₀. Получим уравнение (х₁ – х₀)(х – х₀) + (у₁ – у₀)(у – у₀) = а².

4.1.2. Эллипс

Определение 2. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных различных точек есть постоянная величина (рис. 1).

Данные точки называются фокусами и обозначаются F1 и F2. Данная постоянная величина обозначается 2 . Если F1F2 = 2с, то при  с не существует ни одной точки М. При = с точки М заполняют отрезок F1F2. Поэтому для того, чтобы эллипс был отличен от отрезка необходимо и достаточно, чтобы  с.

Рис. 1

Поставим задачи:

• Выбрав какую-либо систему координат, вывести уравнение эллипса.

• Используя полученное уравнение, исследовать форму и свойства эллипса.

Так как в определении эллипса используется расстояние между точками, то систему координат лучше выбрать прямоугольную. Так как все точки эллипса связаны с фокусами, то за начало координат лучше выбрать середину отрезка F₁F₂. Ось (ОХ) направим через фокусы в направлении от F₁ к F₂ (рис. 2). Выбранная система координат называется

канонической системой координат для эллипса. В этой системе координат F1(-с, 0), F2 (с, 0). Пусть М (х, у). Тогда r1 = F1М = , r2 = F2М= . М  эллипсу  r1 + r2 = 2а. Следовательно, М  эллипсу  + = 2а (1) Уравнение (1) есть уравнение эллипса. Упростим его. Для этого

Рис. 2

уединим один из корней и возведём в квадрат.

= 2а  ,

х² – 2сх + с² + у² = 4а² – 4а + х² + 2сх + с² + у²

а = а² + сх.

Ещё раз возведя в квадрат, получим

а²х² + 2 а²сх + а²с² + а²у² = а⁴ + 2 а²сх + с²х²,

(а² – с²)х² + а²у² = а²(а² – с²).

Так как  с, то можно обозначить а² – с² = в². Последнее уравнение запишется

в²х² + а²у² = а²в². Разделив на = а²в², получим

(2)

Итак, уравнение (1) преобразовано в уравнение (2). Но при этом два раза применяли возведение в квадрат. Следовательно, нужно проверить, что уравнения (1) и (2) эквивалентны. Для этого достаточно показать, что, если координаты (х, у) удовлетворяют уравнению (2), то они удовлетворяют и уравнению (1).

Пусть (х, у) удовлетворяют уравнению (2). Тогда = . Подставив у² в выражение для r₁, получим r₁ = = = = = = = (Из уравнения (2) следует, что а  х  а . Так как  с, то  0). Аналогично получим, что r₂ = . Следовательно, r₁ + r₂ = 2 , но это значит, что точка М(х, у) лежит на эллипсе. Итак, уравнения (1) и (2) эквивалентны. Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.

Будем исследовать эллипс, используя уравнение (2). Из него следует:

, т.е. ; эллипс пересекает ось (ОХ) в точках А1(- , 0) и А2( , 0); , т.е. ; эллипс пересекает ось (ОУ) в точках В1(0, - ) и

Рис. 3

В₂(0, );

• эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и проходят через точки А₁, А₂, В₁, В₂ (рис. 3);

эллипс симметричен относительно осей координат и относительно начала координат; в первом координатном углу при увеличении х от нуля до а координата у убывает от нуля до (рис. 4). длины отрезков А1А2 и В1В2 равны 2а и 2 соответственно. Эти отрезки называются большой и малой осью эллипса соответственно. Точки А1, А2, В1, В2 называются вершинами эллипса. Фокусы эллипса лежат на его большой оси между вершинами.

Рис.4

Величина  = называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, 0    1.

Определение 3. Прямые, которые в канонической системе координат имеют уравнения называются директрисами эллипса.

Так как   1, то эллипс лежит между своими директрисами (рис. 5).

Фокус F₁(-с, 0) и директриса , а так же фокус F₂(с, 0) и директриса называются соответствующими.

Теорема 1. Отношение расстояния от любой точки эллипса до фокуса к расстоянию от этой же точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету.

Доказательство. F1М = = а + х, МК1= = = . Следовательно, F1М : МК1 =  ( рис. 5). Аналогично, F2М : МК2 =  . (Здесь МК1 и МК2  перпендикуляры, опущенные из точки М на директрисы р1 и р2 соответственно.)

Рис. 5

Определение 4. Прямая называется касательной к эллипсу, если она имеет с эллипсом одну двукратную точку пересечения. Общая точка эллипса и его касательной называется точкой касания.

Теорема 2. В любой точке эллипса существует касательная к нему и только одна. Если эллипс задан уравнением (2) и точка касания М₀(х₀, у₀), то касательная имеет уравнение

(3).

Доказательство. Если М₀(х₀, у₀) – любая точка эллипса, то = 1 (). Пусть р – любая прямая, проходящая через точку М₀. Тогда уравнения р будут х = х₀ + mt, у = у₀ + nt, где {m, n} – координаты направляющего вектора прямой р. Для того чтобы найти уравнение касательной, достаточно найти m и n. Координаты точки пересечения эллипса и прямой р должны удовлетворять системе , х = х₀ + mt, у = у₀ + nt.

Подставляя х и у в первое уравнение системы, получаем . Отсюда

. Используя (), получим . Так как t = 0 является решением полученного уравнения, то для существования уравнения касательной необходимо и достаточно, чтобы второй его корень тоже был равен нулю, т.е. должно быть . Все решения этого уравнения пропорциональны решению . Так как все эти решения определяют пропорциональные векторы, то искомая касательная существует и только одна. Найдём её уравнение, используя каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Получим . Преобразуя это уравнение и используя (), получим уравнение .

Теорема 3. Если большая ось эллипса постоянна, то при   0 эллипс стремится к окружности, если   1, то эллипс стремится к своей большой оси (т.е. к отрезку А₁А₂).

Доказательство. Так как и , то при постоянном а с уменьшением  уменьшается с, а увеличивается. Если   0, то  а, т.е. эллипс стремится к окружности. При этом фокусы сближаются и стремятся к центру окружности. Следовательно, окружность есть предельное положение эллипса. Если   1, то с  а,  0, Фокусы стремятся к вершинам большой оси, а сам эллипс стремится к отрезку А₁А₂.

Замечание 1. Если при выводе уравнения эллипса через фокусы направить ось (ОУ) и постоянную, о которой идёт речь в определении, обозначить 2 , то будет  с, а² = ² – с² и уравнение эллипса будет такого же вида , но  а.

Замечание 2. Если центром эллипса является точка М(х₀, у₀), но оси его параллельны координатным осям, то уравнение эллипса будет .