II. 17. Поясните фізичну сутність визначення швидкості звуку методом резонансу.
Для визначення довжини звукової хвилі, випромінюваної генератором звуку, використовують стоячі хвилі, які утворюються у відкритій скляній трубці, другий кінець якої закритий рухливою, більше щільною перегородкою. Якщо у відкритого кінця трубки помістити телефон, з'єднаний з генератором звукових коливань, то коливання його мембрани будуть передаватися повітряному стовпу в трубці. Виникла в такий спосіб звукова хвиля буде поширюватися в повітрі, досягши перешкоди, відіб'ється від її й, змінивши при цьому фазу на протилежну, піде назустріч хвилі, яка біжить
Рис. 3.7
Відбита хвиля та хвиля, яка біжить, під час інтерференції, утворять стоячу хвилю й хвильовий процес у середовищі буде описуватися рівнянням
де А -
амплітуда хвилі, що біжить
;
- частота коливань
;
- довжина хвилі, що біжить; t - час.
Графічно стояча хвиля може бути зображена так, як показано на мал.3.8.
Рис. 1.8.
Графік стоячої хвилі. Зсув точок середовища від положення рівноваги: а - у деякий момент (суцільна лінія); б - через чверть періоду (пунктирна лінія)
Одна з
характерних рис стоячої хвилі полягає
в тому, що в ній амплітуди коливань точок
різні в різних місцях середовища й
відповідно до рівняння (1.8) залишаються
незмінними, а отже, є вузли й пучності
коливань. У хвилі, що біжить, амплітуди
скрізь однакові. Відстань між сусідніми
вузлами (або пучностями) називають
довжиною стоячої хвилі. Воно дорівнює
половині довжини хвилі, що біжить
( ).
У випадку утворення стоячої хвилі в деякому середовищі, що має обмежені розміри, (наприклад, стовп повітря в трубці) інтерференцією прямій і зворотній хвилі, відбитої від більше щільного середовища, на границі повітряного стовпа з перешкодою утвориться вузол. Як і будь-яка коливальна система, стовп повітря в трубці має власні коливання. У цьому випадку власними коливаннями стовпа повітря в трубці є стоячі хвилі. При цьому між довжиною l стовпа повітря й довжиною стоячої хвилі в ньому повинне виконуватися співвідношення
,
m=1,2,3...
тобто. коли по всій довжині l стовпа буде укладатися ціле число довжин хвиль стоячої хвилі (або напівхвиль хвилі, що біжить), то можна говорити про власну частоту коливань повітряного стовпа, укладеного в трубці. Оскільки довжинам хвиль, що біжить, створюючи стоячу хвилю в трубці
,
m=1,2,3…
відповідають частоти
,
m=1,2,3…
які
збігаються із власними частотами
коливань системи (де U - швидкість
поширення звуку в повітрі), то говорять,
що має місце явище резонансу. Найменша
із цих частот буде відповідати найбільшій
довжині хвилі
.
Приклади рішення задач.
Задача 1 Матеріальна крапка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях, завдані рівняннями
Знайти рівняння траєкторії і побудувати її на кресленні.
Дано:
|
Рішення 1) У вихідних даних рівняння траєкторії задане в параметричному виді (тобто як х(t); y = y(t)). Щоб знайти рівняння траєкторії в координатної формі (тобто як у = у(х)), необхідно виключити час t. Для цього скористаємося тригонометричної формулою.
|
у = у(х) - ? |
.
У даному випадку ,
,
тобто
чи
чи
(1)
(
чи віднімаємо з рівняння (1) рівняння (2),
Вийшло рівняння параболи, вершина якого знаходиться в т.С (0;1).
Задача 2.
Фізичний маятник у виді тонкого прямого стрижня довжиною l = 120 див коливається біля горизонтальної осі, що проходить перпендикулярно стрижню через крапку, вилучену на деяку відстань а від центра мас стрижня. При якім значенні а період коливань має найменше значення?
Дано: l = 1,2 м Т = Тmin |
Рішення: 1) Період коливання фізичного маятника
|
X - ? |
,де J - момент інерції коливного тіла щодо осі коливань (у даному випадку т. О), Х – відстань центра ваги маятника від осі коливань.
2) Момент інерції даного фізичного маятника (стрижня) запишемо з урахуванням теореми Штейнера, як
Тоді період коливань запишеться як
(1)
3) Знайдемо екстремум функції Т = Т(х) (ф-ла 1). Для цього обчислимо :
.
.
Вирішимо рівняння
= 0, ,
тобто .
Звідси
.
.
Підходить .
.
При х =
0,
,
а
при
значення
.
Якщо при
<
,
то тим самим доведемо, що при
знайдено
.
Обчислимо
.
.
Тоді
<
1.
м.