II. 11. Що називається дисперсією світла? Чим відрізняється дисперсія від явища дифракції? Що таке показник заломлення середовища?

Дисперсією світла називається залежність показника заломлення n речовини від частоти ν (або довжини хвилі λ) світла або залежність фазової швидкості V світлових хвиль від його частоти ν. Дисперсія світла представляється у вигляді залежності

n = ƒ (λ).

Показник заломлення середовища n показує, у скільки разів швидкість світла у вакуумі ( м/с) більше, ніж у даному середовищі.

(2.12)

Дисперсія світла – сукупність оптичних явищ, обумовлених залежністю показника заломлення речовини від частоти світлової хвилі і її хвильового вектора k.

Приклади рішення задач. Задачи.

Задача 1.

У т. А екрана від джерела S₁ монохроматичного світла довжиною хвилі λ=0,5 мкм приходять два промені: безпосередньо від джерела промінь S₁А, перпендикулярний екрану, і промінь S1ВА, відбитий у т. В від дзеркала, паралельного променеві S₁А (рис. 2.12). Відстань l₁ екрана від джерела дорівнює 1 м; відстань h від променя S₁А до площини дзеркала дорівнює 2 мм. Визначити: 1) що буде спостерігатися в т. А екрана –посилення чи ослаблення інтенсивності; 2) як зміниться інтенсивність у т. А, якщо на шляху променя S₁А перпендикулярно йому розмістити плоскопаралельну пластинку скла (n=1,55) товщиною 6 мкм.

Д ано:

λ =0,5мкм==5*10^-7 м

l ₁=1 м

h=2 мм==2*10^-3 м

n=1,55

d=6 мкм==6*10^-6м

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Накреслимо уявне зображення S₂ джерела S₁ у дзеркалі (рис.2.13). Джерела S₁ і S₂ є когерентними, тому при додаванні хвиль, що приходять від цих джерел на екран, виникає інтерференційна картина. Посилення чи ослаблення інтенсивності в тій чи іншій точці екрана залежить від оптичної різниці ходу Δ интерферуючих променів, тобто від числа m напівхвиль, що укладаються на оптичній різниці ходу:

m= Δ /( λ/2) (1)

Якщо m – ціле парне, то інтенсивність буде максимальною; якщо m – ціле непарне, то інтенсивність мінімальна. При дробовому m або відбувається часткове підсилення (якщо m ближче до парного числа), або часткове послаблення (якщо m -ближче до непарного числа).

1. Оптична різниця ходу буде складатися з геометричної різниці l₂- l₁ (обидва промені йдуть у повітрі) і додаткової різниці ходу λ/2, обумовленої зміною фази коливань на π при відбитті від середовища оптично більш щільної. Таким чином

Δ₁= l₁- l₂ + λ/2

оскільки l ₂= (рис. 2.13), тоді

l₂- l₁= l₁

Величина H/l1<<1, тому для обчислення кореня можна скористатися наближеною формулою

при а <<1

Застосувавши її, одержимо

l₁- l₂ l₁[1+1/2(H/ l₁)²-1]=H₂/2 l ²₁ звідси

Δ₁=(H₂/2 l 1)+λ /2 m1=[(H₂/2 l₁)+ λ/2]/λ /2

Оскільки H==2h, тоді

m₁=(4h²/ l₁λ )+1=4*4*10^-6/1*5*10^-7=33

У точці А спостерігається мінімум інтенсивності.

2. Скляна пластина товщиною d , поставлена на шляху променя S₁A (рис.2.13), змінить оптичну довжину шляху. Тепер оптична довжина шляху буде складатися з геометричної довжини шляху l₁-d і оптичної довжини шляху n*d у самій пластині, тобто

L=( l₁-d)+nd= l₁+(n-1) d

Оптична різниця ходу променів

Δ₂= l ₁ - L+λ /2= l ₂ - [l ₁+ (n-1)d] + λ/2

або з формули (1)

Δ₂=Δ₁-(n-1)d

m₂=Δ₂/(λ/2)= [Δ₁-(n-1)d]/ (λ/2)

m₂=33-[2*6*10^-6*(1.55-1)]/5*10^-7=19.8

Число напівхвиль дробове, воно ближче до парного числа 20. Отже, буде часткове підсилення.

Відповідь: 1) m₁=33 у точці А мінімум інтенсивності. 2) m₂=19,8 у точці А підсилення інтенсивності світла.

Задача 2.

На тонку плівку з показником заломлення n₁= 1,5 падає нормально паралельний пучок світла довжиною хвилі λ =6*10^-7 м. Знайти мінімальну товщину плівки, при якій буде спостерігатися інтерференція світла у відбитих променях.

Д ано:

n₁=1,5

λ=6*10^-7 м

d_min-?

Рис. 2.14

Фізичну систему складає тонка плівка і пучок світлових хвиль (рис. 2.14). При падінні світлової хвилі на плівку відбувається відбиття її від обох поверхонь плівки. У результаті виникають дві світлові хвилі 1’,1’’. Оптична різниця ходу, що набувається променями 1’,1’’.

=2АВ n₁-АДn₂ (1)

де n₁ – показник заломлення плівки, n₂ – показник заломлення середовища, що оточує плівку (n₂=1). З рис 2.14 видно, що

АВ=d/cosr (2)

АД=АСsini=2dtgrsini (3)

На основі закону заломлення світла маємо:

sini/sinr=n₁/n₂=n₁ відкіля

sini=n₁sinr (4)

Тоді вираз (1) можна записати в вигляді (2) - (4)

1=2d

Необхідно врахувати, що в т. А відбивання відбувається від оптично більш щільного середовища, тому фаза хвилі змінюється на π і до різниці ходу додається λ/2 (λ- довжина хвилі у вакуумі), отже,

=2d +λ /2

Умова максимуму в інтерференційній картині можна записати

_max=2m(λ/2)=2d +λ /2 (5)

де m – 1,2,3…-порядок інтерференційного максимуму. Для визначення d_min необхідно у виразі (5) прийняти m=1. Оскільки паралельний пучок світла падає нормально на плівку, то sini=0, тоді

2d_minn=λ /2 d_min= λ/4n₁=10^-7 м

Відповідь: мінімальна товщина плівки дорівнює 10^-7 м.

Задача 3.

На екрані спостерігається інтерференційна картина в результаті накладання променів від двох когерентних джерел з довжиною хвилі (λ=500 нм). На шляху одного з променів перпендикулярно йому помістили скляну пластинку (n₁=1,6) товщиною d=5 мкм. Визначити, на скільки смуг зміститься при цьому інтерференційна картина.

Д ано:

λ=500 нм=5*10^-7 м

n₁=1,6

d=5 мкм=5*10^-6 м

m-?

Рис. 2.15

При внесенні скляної пластинки оптична різниця ходу між променями (рис. 2.15) зміниться на

=n₁d-n₂d

де n₂ – показник заломлення середовища (n₂=1).

Внесення пластинки призведе до зсуву інтерференційної картини на m смуг, тобто додаткова різниця ходу дорівнює mλ , тоді

Δ=d (n₁-1)=m₁λ - m₂λ =Δ mλ

відкіля

Δm=d (n₁-1)/λ =5*10^-6*(1,6-1)/5*10^-6 = 6

Відповідь: інтерференційна картина зміститься на 6 смуг.

Задача 4.

На скляний клин (n₁=1,5) із заломлюючим кутом α =40” нормально падає монохроматичне світло з довжиною хвилі λ=600 нм. Визначити в інтерференційній картині відстань між двома сусідніми мінімумами.

Д ано:

n ₁=1,5

α = 40’’=1,94*10^-4 рад

λ = 600 нм=6*10^-7 м

b -?

Рис. 2.16

Паралельний пучок світла, падаючи нормально до грані клина, відбивається від його верхньої і нижньої грані (рис. 2.16). Оскільки кут клина малий, то відбиті промені 1 і 2 практично рівнобіжні. Відбиті промені когерентні і на поверхні клина будуть спостерігатися інтерференційні смуги.

Умова мінімуму для клина в загальному випадку:

2dn₁cosr +λ /2 =(2m+1)λ /2, де m=0,1,2…

d – товщина клина в місці темної смуги, що відповідає номеру m; r – кут заломлення; λ/2 – додаткова різниця ходу, обумовлена відбиванням світлової хвилі 1 від оптично більш щільного середовища. Кут падіння і відповідно до умови дорівнює нулю, отже, і кут заломлення r=0, тоді

2dn₁=λm

відкіля

d=mλ /2n₁ (1)

З рис. 2.16 випливає, що

sinα =(dm+1-dm)/b (2)

Через малість кута sinα α, підставивши (1) одержимо

α = [((m+1) λ)-(mλ )]/2n₁b=λ /2bn₁

b=λ /2n₁α =6*10^-7/2*1.5*1.94*10^-4=1.03*10^-3

Відповідь: відстань між двома сусідніми мінімумами 1,03 мм.

Задача 5.

Плоскоопукла лінза (n₁=1,6) опуклою стороною притиснута до скляної пластинки. Відстань між першими двома кільцями Ньютона, що спостерігаються у відбитому світлі, дорівнює 0,5 мм. Визначити оптичну силу лінзи, якщо її освітлення відбувається монохроматичним світлом з λ=550 нм, що падає нормально.

Дано:

n ₁=1,6

r₁=0.5 мм=5*10^-4 м

λ=550 нм=5,5*10^-7 м

D-?

Рис. 2.17

Оптична сила лінзи в загальному випадку

D=(N-1) (1/R₁+1/R₂)

де N – відносний показник заломлення (n₁ і n₂ - відповідно показники заломлення лінзи і навколишнього середовища); R₁ і R₂ – радіуси кривизни поверхонь лінзи. Оскільки лінза плоско-опукла R₂= і 1/ R₂=0

тоді

D= (n₁-1)/ R₁ (1)

Для визначення радіуса лінзи скористаємося виразами для радіуса темного кільця Ньютона у відбитому світлі (рис. 2.17)

r_m = (m=0,1,2…)

де m – номер кільця.

Різниця радіусів перших двох темних кілець

r₁₂ = r₂-r₁=

відкіля

R= r₂₁2/( (2)

Підставивши (2) у (1) одержуємо

D=(n₁-1) ( )

D=(1,6-1)*5,5*10^-7( = 0,547 дптр

Відповідь: оптична лінза 0,547 дптр.

Задача 6.

Спочатку вертикальну мильну плівку спостерігають у відбитому світлі через червоне скло (λ₁=6,3*10^-7 м). При цьому відстань між сусідніми червоними смугами дорівнює 3 мм. Потім цю плівку спостерігають через синє скло (λ₂=4*10^-7 м). Знайти відстань між сусідніми синіми смугами. Вважати, що форма плівки за час спостережень не змінюється.

Дано:

λ ₁=6,3*10^-7 м

λ ₂=4*10^-7 м

х ₁=3 мм=3*10^-3 м

х₂-?

а)

б)

Рис. 2.18

В око спостерігача потрапляють промені, відбиті від тонкого клина перпендикулярно його поверхні. Тоді для k-ї і (k+1)-ї червоних смуг оптичні різниці ходи відповідно рівні:

k=2h_kn-λ/2;

k_max = kλ₁

_k+1=2h(k+1)n-λ /2;

_k+1max=(k+1) λ₁

(cosr =1 кута заломлення в обох випадках)

де h_k і h_k+1 – відповідні даним смугам товщини вертикальної мильної плівки, перетин якої клин (рис. 2.18 а, б).

_k+1- _k = 2h(k+1)n-(λ₁/2)-(2h_kn-(λ₁/2)=(k+1) λ₁ - kλ ₁

відкіля

2n(h_k+1-h_k)= λ₁, аналогічно для синіх смуг.

2n (h_m+1-h_m)=λ ₂

Розділивши почленно ці вирази, одержимо

З подібності заштрихованих трикутників (2.18) випливає:

х₁=х² *λ ₁/2λ

х₂=3*10^-3*4*10^-7/6,3*10^-7=1,9*10^-3 м.

Відповідь: відстань між сусідніми смугами 1,9 мм.

Задача 7.

На діафрагму з круглим отвором радіуса 1 мм нормально падає паралельний пучок світла довжиною хвилі λ=0,5 мкм. На шляху променів, що пройшли через отвір, поміщають екран. Визначити максимальну відстань b_max від центру отвору до екрана, при якій в центрі дифракційної картини ще буде спостерігатися темна пляма.

Д ано:

r=1 мм=10^-3 м

λ=0,5 мкм=5*10^-7 м

b_max-?

Рис. 2.19

Відстань, при якій буде видно темну пляму, визначається числом зон Френеля, що укладаються в отвір. Якщо число зон парне, то в центрі дифракційної картини буде темна пляма. Число зон Френеля, що містяться в отворі, зменшується в міру віддалення екрана від отвору. Найменше парне число зон дорівнює двом. Отже, максимальна відстань, при якій ще буде спостерігатися темна пляма в центрі екрана, визначається умовою, відповідно до якої в отворі повинні поміститься дві зони Френеля.

З рис.2.19 випливає, що відстань від точки спостереження О на екрані до краю отвору на 2 (λ/2) більше, ніж відстань R₀= b_max. За теоремою Піфагора одержимо:

r₂=(b_max+2λ/2)²- b_max²=2λb_max+ λ/2

Врахуємо, що λ<< b_max і зневажаючи λ/2 одержуємо

r₂=2λb_max

відкіля

b_max= r₂/2λ =(10-3)2/2*5*10^-7 = 1 м

Відповідь: максимальна відстань, при якому ще спостерігається темна пляма, дорівнює 1 м.

Задача 8.

На відстані а₁ =1 м перед діафрагмою з круглим отвором радіуса R=1 мм знаходиться точкове джерело світла з довжиною хвилі λ=5*10^-7 м. Відстань від діафрагми до точки спостереження b=2 м. Визначити: 1) число зон Френеля в отворі; 2) максимум чи мінімум інтенсивності буде в центрі дифракційної картини.

Д ано:

R=1 мм=10^-3 м

а₁=1 м

λ=5*10^-7 м

b=2 м

k-?

Рис.2.20

Фізичну систему складає світлова хвиля і діафрагма з круглим отвором. Оскільки джерело світла знаходиться на досить близькій відстані від діафрагми, то світлові хвилі будуть сферичними, а явище, що спостерігається на отворі – дифракція Френеля.

Розіб'ємо зображену на рис.2.20 хвильову поверхню Ф світлової хвилі на зони Френеля, що являють собою сегменти радіусом r_k і висотою h_k. З рис.2.20 видно, що r_k можна виразити через два прямокутних трикутники SCK, PCK:

r_k²=а_k²-(а-h_k)²

r_k²=b_k²-(b+h_k)²

де b_k – відстань від зовнішнього краю k-ї зони до точки Р (b_k=b+k* λ/2)

а²-а²+2аh_k- h_k²= b_k²-b²-2bh_k-h_k²

2аh_k+2bh_k=b_k²-b

h_k.=(b_k-b)/2(а+b)

з огляду на те, що

b_k²=b²+kλb+(k²λ ²)/4=b₂+kλb

(k²λ ²)/4 0, одержуємо

h_k.=(kλb)/2(а+b), тоді

r_k²=а²-(а-h_k)²=2аh_k-h_k² 2h_kа

h_k² 0

r₂=2аkλ b/2(а+b)

Оскільки радіус k – зони Френеля збігається з радіусом зовнішньої k зони Френеля r_k=R:

k=((а+b)R²)/аbλ k =((1-2)*(10-3)2)/1*2*5*10^-7 = 3

Відповідь: в отворі укладаються три зони Френеля, отже, у т. Р буде максимум дифракційної картини.

Задача 9.

Посередині між точковим джерелом монохроматичного світла з довжиною хвилі λ =550 нм і екраном знаходиться діафрагма з круглим отвором. Дифракційна картина спостерігається на екрані, розташованому на відстані 5 м від джерела. Визначити радіус отвору, при якому центр дифракційних кілець, що спостерігаються на екрані, буде найбільш темним.

Дано:

а = b=2,5 м

λ=550 нм=5,5*10^-7 м

r-?

Нехай отвір діафрагми відкриває k зон Френеля (див. рис.2.20). Тоді радіус k-ї зони Френеля є не що інше, як радіус отвору рівний

r_k=

r_k= м

Відповідь: радіус отвору в діафрагмі 1,17 мм.

Задача 10.

На щілину шириною а=0,1 мм падає нормально монохроматичне світло з довжиною хвилі λ=500 нм. Дифракційна картина проектується на екран, паралельний площини щілини, за допомогою лінзи, розташованої поблизу щілини. Визначити відстань від екрана до лінзи, якщо відстань l між двома першими дифракційними мінімумами, розташованими по обидві сторони від центрального максимуму, дорівнює 1 см.

Д ано;

а =0,1 мм=10^-4 м

λ=500 нм=5*10-⁷ м

l =1 см=10^-2 м

k=1

L-?

Рис.2.21

Умова дифракційних мінімумів від однієї щілини, на яку падає нормально світло:

аsin φ= kλ ,

де k=1 за умовою задачі. З рис.2.21 випливає, що

l =2Ltgφ ,

але оскільки l /2<<L, то tgφ sinφ

sinφ = l /2L

Підставляючи значення sin φ в умову дифракційних мінімумів від однієї щілини, одержуємо

а l /2L=λ

L=a l /2λ

L=10-4*10^-2/2*5*10^-7=1 м

Відповідь: відстань від екрана до лінзи дорівнює 1 м.

Задача 11.

На дифракційну ґратку нормально до її поверхні падає монохроматичне світло з довжиною хвилі λ=550 нм. На екран, що знаходиться від ґратки на відстані L=1 м, за допомогою лінзи, розташованої поблизу ґратки, проектується дифракційна картина, причому перший головний максимум спостерігається на відстані l =12 см від центрального. Визначити: 1) період дифракційної ґратки; 2) число штрихів на 1 см її довжини; 3) максимальне число максимумів, що дає ґратка; 4) кут дифракції, що відповідає останньому максимуму.

Дано:

λ =550 нм=5,5 *10-⁷ м

L=1 м

k =1

l =12 см=0,12 м

l’=1 см=0,01 м

d-? n-? N-? φ_max-?

Рис.2.22

Період дифракційної ґратки знайдемо з умови головного максимуму:

dsinφ =kλ

де k=1 – порядок спектра.

З рис.2.22 випливає, що tg φ= l /L, оскільки l <<L, то

tg φ sin φ і вираз можна записати:

d l /L= λ d= λL/ l

d=5.5*10^-7*1/0.12=4.58*10^-6 м

Число штрихів на 1 см:

n= l ’/d=0.01/4.58*10^-6=2.18*10³ м-1

Оскільки найбільший кут відхилення променів ґраткою не може бути більш π/2, тоді максимальне значення k_max можна знайти з умови:

dsin

Природно, що число k повинне бути цілим. Загальне число максимумів, що дає дифракційна ґратка дорівнює:

N=2k_max+1

тому що максимуми спостерігаються як праворуч так і ліворуч від центрального максимуму (одиниця враховує центральний максимум):

N=(2d/λ )+1=(2*4.58*10-6/5.5*10-7)+1=17

Кут дифракції, що відповідає останньому максимуму, знайдемо, записавши умову максимумів від дифракційної ґратки у вигляді:

dsin відкіля

Відповідь: період дифракційної ґратки d=4,58 мкм, число штрихів на 1 см довжини ґратки n=2,18*10³ см^-1; максимальне число максимумів N=17; кут дифракції, що відповідає останньому максимуму 73⁰36^/.

Задача 12.

Дифракційна ґратка довжиною l =5 мм можє розрізнити в першому порядку дві спектральні лінії натрію λ₁=589,0 нм і λ₂= 589,6 нм. Визначити, під яким кутом у спектрі третього порядку буде спостерігатися світло з λ₃=600 нм, що падає на ґратки нормально.

Дано:

l =5 мм=5*103 м

λ₁=589,0 нм=5,89*10^-7 м

λ₂=589,6 нм=5,896*10^-7 м

λ₃=600 нм=6*10^-7 м

k₁=1

k₂=3

φ-?

Для знаходження шуканого кута запишемо умову дифракційного максимуму:

dsinφ =k₂λ ₂

відкіля

φ=arcsin ((k₂λ ₂)/d) (1)

Період дифракційних ґраток

d= l /N

де N – загальне число штрихів дифракційних ґраток.

Знайдемо N з формули розрізнювальної здатності дифракційних ґраток,

R=k₁N=λ ₁/ λ

де

λ =λ ₂-λ₁

тоді

N=λ₁/k₁ λ

і

d= l k₁ λ /λ ₁

Підставивши (1) у (2), знайдемо шуканий кут:

φ=arcsin(k₂λ ₂λ ₁/ l k₁ λ

φ=arcsin(3*6*10^-7*5.89*10^-7/5*10^-3*1*0.006*10^-7)= 20⁰40΄

Відповідь: світло в спектрі третього порядку буде спостерігатися під кутом 20⁰40΄.