II. 13. Сформулюйте принцип суперпозиції хвиль. Що називається хвильовим пакетом, груповою швидкістю?

Якщо середовище, у якому поширюється одночасно кілька хвиль, лінійне, тобто його властивості не змінюються під дією збурювань, створюваних хвилею, то до них можна застосувати принцип суперпозиції (накладання) хвиль: при поширенні в лінійному середовищі декількох хвиль кожна з них поширюється так, начебто інші хвилі відсутні, а результуючий зсув частки середовища в будь-який момент часу дорівнює геометричній сумі зсувів, які одержують частки, беручи участь у кожному хвильовому процесі.

Хвильовим пакетом називається суперпозиція хвиль, що мало відрізняються один від одного за частотою, які займають в кожний момент часу обмежену область простору.

Найпростіший хвильовий пакет складається із двох гармонійних хвиль із однаковими амплітудами, близькими частотами й хвильовими числами, причому dώ << і dk << k,. які поширюється уздовж позитивного напрямку осі х . Його рівняння

За швидкість поширення цієї негармонійної хвилі (хвильового пакета) приймають швидкість переміщення максимуму амплітуди хвилі, розглядаючи тим самим максимум як центр хвильового пакета. За умови, що t dώ - x dk = const, одержимо

Швидкість U є групова швидкість. Її можна визначити як швидкість руху групи хвиль, що утворюють у кожний момент часу локалізований у просторі хвильовий пакет.

II. 14. Які хвилі називаються стоячими? Як вони утворюються? Записати рівняння стоячої хвилі.

Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі - це хвилі, що утворюються при накладанні двох хвиль, які біжать, поширюючись назустріч одна одній з однаковими частотами й амплітудами, а у випадку поперечних хвиль і однаковою поляризацією.

Для виводу рівняння стоячої хвилі запишемо рівняння плоских хвиль, які поширюються назустріч одна одній уздовж осі ОХ у середовищі без загасання, мають однакові амплітуди й частоти й початкову фазу рівну нулю.

Рис. 3.6

Додавши ці рівняння й з огляду на, що k = 2π / λ, одержимо рівняння стоячої хвилі:

ξ = ξ₁+ ξ₂ = 2A cos kx cos ωt = 2A cos (2πx/λ)cos ωt. (1.8)

З рівняння стоячої хвилі випливає, що в кожній точці цієї хвилі відбуваються коливання тієї ж частоти ύ с амплітудою

А_ст = │2Аcos (2πx/λ)│, що залежить від координати х розглянутої точки.

У точках середовища, де

2?х / ? = ± mλ (m = 0, 1, 2, ...),

амплітуда коливань досягає максимального значення рівного 2А. У точках середовища, де

2?х / ? = ± (m + 1/2) λ (m = 0, 1, 2, ...),

амплітуда коливань перетворюється в нуль. Точки, у яких амплітуда коливань максимальна А_ст = 2А), називаються пучностями стоячої хвилі, а точки, у яких амплітуда коливань дорівнює нулю (А_ст = 0), називають вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що перебувають у вузлах, коливань не здійснюють.

З попередніх виразів одержимо відповідно координати пучностей і вузлів:

(m=0, 1, 2, …),

(m=0, 1, 2, …) (1...9)

На відміну від хвилі, що біжить, всі точки якої коливаються з однаковою амплітудою, але із запізнюванням по фазі хвилі, фаза коливань залежить від координати х розглянутої точки ), всі точки стоячої хвилі між двома вузлами коливаються з різними амплітудами, але з однаковими фазами в рівнянні стоячої хвилі аргумент косинуса не залежить від х. При переході через вузол множник 2А cos (2πx/λ) змінює свій знак, тому фаза коливань по різні сторони від вузла відрізняється на π, тобто точки, що лежать по різні сторони від вузла, коливаються в проти фазі.