25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равен r.

26. В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник. Боковая грань, проходящая через один из катетов, образует с плоскостью основания угол . Найдите объем пирамиды, если образующая конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом .

Варіант 6

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Из точки Е - середины меньшего основания ВС равнобедренной трапеции ABCD проведен к, ее плоскости перпендикуляр ЕР, равный 4 см. Найдите расстояние от точки Р до диагонали АС, если АВ = ВС = 12 см и ABC = 120°.

2. Стороны прямоугольника равны 9 см и 12 см. Из середины большей стороны восставлен перпендикуляр длиной 4,8 см к плоскости прямоугольника. Найти расстояние от конца этого перпендикуляра до одной из диагоналей.

3. Некоторая точка равноудалена от сторон правильного треугольника на 49 см. Периметр треугольника равен 144 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

4. Квадрат и прямоугольник, площади которых соответственно равны 64 см и 24 см , имеют общую сторону. Расстояние между стороной квадрата и стороной прямоугольника, которые параллельны между собой, равно 7 см. Вычислите угол между плоскостями квадрата и прямоугольника.

5. Ортогональной проекцией трапеции является равнобокая трапеция с основаниями 7 см и 25 см и диагоналями, перпендикулярными к боковым сторонам. Угол между плоскостями этих трапеций равен 60°. Вычислите площадь данной трапеции.

6. Ортогональной проекцией данного правильного треугольника, площадь которого см², является треугольник со сторонами 14 см, 16 см и 6 см. Вычислите угол между плоскостями этих, треугольников. Выясните, может ли данный треугольник быть правильным?

7. Длины ребер тетраэдра KCDM равны. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра DM и перпендикулярной ребру СМ. Определите вид полученного сечения.

8. Дан куб . Вычислите угол между векторами и , где К - середина ребра DD .

9. Проверьте коллинеарность векторов (3; - 1; 2) и (- 9; 3; -6). Установите, какой из них а) длиннее и во сколько раз, б) как они направлены - одинаково или противоположно?

10. Докажите, что точки А (2; 4; - 4), В (1; 1; - 3), С (- 2; 0; 5), D (- 1; 3; 4) являются вершинами параллелограмма ABCD.

11. Точки А (3; - 6; 2) и А симметричны относительно координатной плоскости yOz. Найдите расстояние AA .

12. В верхнем основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Через эту вершину и основание треугольника, который является нижним основанием призмы, проведена плоскость, которая образует с ним угол . Найти объем призмы, если диагональ боковой грани, которая содержит основание равнобедренного треугольника, равна d.

13. В основании прямой призмы лежит равнобокая трапеция с боковой стороной с и острым углом , причем диагонали трапеции перпендикулярны к боковым сторонам. Диагональ призмы образует с плоскостью основания угол . Найдите объем призмы.

14. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен . Найдите объем пирамиды, если высота пирамиды равна Н.

15. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом . Две боковые грани, которые содержат катеты этого треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом . Определите полную поверхность пирамиды, если наименьшее боковое ребро равно d.

16. Высота усеченной пирамиды разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Определить площади полученных сечений, если площади оснований 32 м и 2 м .

17. Правильная пятиугольная пирамида SABCDE пересечена плоскостью, проходящей через вершины А и С основания и середины ребер SD и SE. Найти площадь сечения, если ребро основания пирамиды равно q, а боковое ребро равно b.

18. В цилиндре параллельно его оси, проведена плоскость, которая пересекает нижнее основание по хорде, которую видно из центра верхнего основания под углом , а из центра нижнего основания под углом . Найти площадь сечения, если высота цилиндра Н.

19. Площадь основания конуса 9 см ; полная поверхность его 24 см . Найти объем конуса.

20. В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания проведено сечение. Из вершины, которая не принадлежит этой стороне, к плоскости сечения проведен перпендикуляр, который равен а и образует с плоскостью нижнего основания угол . Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.

21. В основании прямой призмы лежит ромб с тупым углом . Сечение, проведенное через большую диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, наклонено к плоскости основания под углом . Площадь сечения S. Найдите боковую поверхность цилиндра, вписанного в данную призму.