- •П.1. Поняття функціональної залежності, числова функція.
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Історія виникнення поняття функції.
- •3. Числова функція. Область визначення функції.
- •4. Способи задання функції
- •П.2. Неперервність функцій. Типи розривів числових функцій
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1. Неперервність функцій.
- •2. Типи розривів числових функцій
- •Тема 2. Степенева, показникова і логарифмічна функції. П.1. Логарифмування та потенціювання виразів
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Логарифмування виразів
- •Розв'язання
- •2.Потенціювання виразів.
- •Розв'язання
- •Тема 3 . Тригонометричні функції. П.1. Формули половинного аргументу, формули потрійного аргументу
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1. Формули половинного аргументу
- •2.Формули потрійного аргументу
- •Тема 4 . Рівняння, нерівності та їхні системи. П.1.Розв’язування задач, що приводять до розв’язування рівнянь та систем рівнянь
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Хімічні задачі
- •Задачі на рух.
- •Задачі, в яких кількість невідомих більша за кількість рівнянь системи.
- •Тема 5 . Вектори і координати. П.1. Вектори в просторі. Дії над векторами. Розклад вектора на складові
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Вектори в просторі. Дії над векторами.
- •Розклад вектора на складові.
- •Тема 6 . Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії.
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.
- •2. Формула площі трикутника за стороною і опущеною до неї висотою.
- •3.Формула Герона
- •4.Формули площ трикутника з використанням радіусів вписаного та описаного навколо трикутника кола
- •Тема 7 . Паралельність та перпендикулярність прямих і площин у просторі.
- •1.Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •2.Теорема про існування і єдиність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій
- •Ознака паралельності прямих
- •Доведення
- •П.2. Теореми про паралельні площини
- •Лекційний матеріал до теми
- •2. Теорема про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами
- •Доведення
- •Розв'язання
- •П.3. Ознака перпендикулярності двох прямих в просторі
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 8. Похідна та її застосування.
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.2. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 9. Інтеграл та його застосування п.1. Правила знаходження первісної. Фізичні застосуванні первісної функції
- •Лекційний матеріал до теми
- •Правила знаходження первісних
- •Розв'язання
- •Розв'язання
- •2.Застосування первісної для відновлення рівняння руху точки
- •Розв'язання
- •П.2. Поняття криволінійної трапеції
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці.
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.4. Рівняння гармонійних коливань
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 10. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників п.1. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі. Двогранний кут
- •Лекційний матеріал до теми
- •1. Вимірювання відстаней у просторі.
- •Задача з точки м опустити перпендикуляр на пряму ав
- •2 . Поняття двогранного кута та його елементів, лінійного кута двогранного кута
- •Задача 3*
- •Задача 4*
- •Тема 11. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання
- •Лекційний матеріал до теми
- •1. Комбінації многогранників
- •Задача1
- •Розв'язання
- •2.Комбінації многогранників і циліндра
- •3.Комбінації многогранників і конуса
- •4.Комбінації многогранників і кулі
- •5. Куля і конус
- •6. Куля і циліндр
- •7. Конус і циліндр
- •Тема 12. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 13. Повторення, узагальнення та систематизація навчального матеріалу, розв’язування задач.
- •Лекційний матеріал до теми
- •4. Геометрична прогресія.
- •Література
Лекційний матеріал до теми
1.Арифметична прогресія Арифметична прогресія — числова послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається те саме число. Це число називають різницею арифметичної прогресії. |
||
Приклад. 1; 3; 5; 7; 9 — арифметична прогресія. 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2; 2 — різниця арифметичної прогресії. |
||
|
Рекурентна формула арифметичної прогресії |
|
|
ап+1 = ап + d, d — різниця арифметичної прогресії. d = aп+1 – ап. |
|
|
|
|
Властивості арифметичної прогресії |
||
1. , де п >1 ап — п-й член арифметичної прогресії, є середнім арифметичним двох сусідніх за ним членів. |
||
2. Якщо (ап) — арифметична прогресія (скінченна), то: |
||
|
||
Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її кінців дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії. |
||
3. Теорема. Будь-яка арифметична прогресія (ап) може бути задана формулою an = kn + b, де k і b — деякі числа; і навпаки, якщо послідовність (ап) задана формулою an = kn + b, де k і b — деякі числа, то ця послідовність є арифметичною прогресією. |
2.Формула n-го члена арифметичної прогресії |
|||
де an — п-й член арифметичної прогресії; а1 — перший член арифметичної прогресії; d — різниця арифметичної прогресії; п — номер члена арифметичної прогресії. |
|||
Приклад. Знайдемо а9, якщо (ап) — арифметична прогресія, перші члени якої: 7,8; 8,9; 10; .... Розв'язання Знайдемо різницю арифметичної прогресії, у якої а1 = 7,8; a2 = 8,9; a3 = 10: d = a3 – a2 = 10 – 8,9 = 1,1. Формула п-го члена арифметичної прогресії має вигляд an = a1 + d(n – 1). Враховуючи, що а1 = 7,8, d = 1,1, маємо: ап = 7,8 + 1,1(п – 1). Отже, а9 = 7,8 + 1,1(9 – 1) = 7,8 + 8,8 = 16,6. Відповідь: а9 = 16,6. |
|||
3. Сума перших п членів арифметичної прогресії 1. Якщо a1 і an — перший і п-й члени арифметичної прогресії (аn), то сума Sn перших п членів цієї прогресії дорівнює:
2. Якщо a1 і d — перший член і різниця арифметичної прогресії (ап), то сума Sn перших п її членів дорівнює:
|