Лекційний матеріал до теми

1. Властивості ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною

Теорема1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Цю теорему можна сформулювати по-іншому:

Паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

Д оведемо теорему.

Дано: a || b; γ перетинає a по прямій а; γ перетинає b по прямій b.

Довести: а || b (рис. 5).

Доведення Рис 5

Припустимо, що а b. Оскільки а і b лежать в γ , то вони перетинаються в деякій точці А; А Î a , бо a Ì a; А Î b, бо b Ì b. Отже, a і b перетина­ються, що суперечить умові: a || b . Отже, а || b.

Приклад 1.Паралельні площини a і b перетинають сторону АВ кута ВАС відповідно в точках А₁ і А₂, а сторону АС цього кута — відповідно в точках В₁ і В₂. Знайти: а) АА₂ і АB₂, якщо А₁А₂ = 2А₁А, А₁А₂ = 12 см, АВ₁ = 5 см; б) А₂В₂ і АА₂, якщо А₁В₁ = 18 см, АА₁ = 24 см, АА₂ = А₁А₂.

(Відповідь, а) АА₂ = 18 см; АВ₂ = 15 см; б) А₂В₂ = 54 см, АА₂ = 72 см.)

2. Теорема про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами

Теорема.

Дано: a₁ || a₂; А₁ Î a₁, В₁ Î a₁, А₂ Î a₂, А₁А₂ || В₁В₂.

Рис 6

Довести: А₁А₂ = В₁В₂ (рис. 6)

Доведення

Проведемо площину у через прямі А₁А₂ і В₁В₂.

Чотирикутник А₁В₁В₂А₂ — паралелограм, бо А₁А₂ || В₁В₂ (за умо­вою), А₁В₁ || А₂В₂ (за теоремою про паралельність ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною). Отже, А₁А₂ = В₁В₂.

Приклад 2.Паралельні відрізки А₁А₂, В₁B₂, С₁С₂ розміщені між паралельними площинами a і b (рис. 7).

а) Визначити вид чотирикутників А₁В₁B₂A₂, В₁С₁C₂В₂, А₁C₁С₂A₂.

б) Довести, що DА₁В₁С₁ = DА₂B₂С₂.

Рис 7

П риклад 3. Задача № 36 із підручника (с. 22).

Розв'язання

Нехай α не паралельна β. Прямі а, b, с, d — паралельні між собою (рис. 8). Площина α перетинає їх у вершинах паралелограма АВСD, а площина β перетинає ці прямі у точках А₁, В₁, С₁, D₁. Доведемо, що А₁В₁С₁D₁ — паралелограм. Площини ABB₁A₁, та DCC₁D₁ паралельні між собою, тому що АВ || DС, ВВ₁ || СС₁.

Рис 8

Ці дві паралельні площини перетинає площина β по прямих А₁В₁ та D₁С₁, тому А₁В₁ || С₁D₁. Аналогічно доводимо, що А₁D₁ || В₁С₁. Таким чином, А₁В₁C₁D₁ — паралелограм

№1.Рівні трикутники АВС і А₁В₁С₁ розміщені в площинах α і β так, що прямі АА₁, ВВ₁, СС₁ паралельні. Чи випливає з цього, що пло­щини α і β паралельні?

№2.Доведіть, що відрізки паралельних прямих, які лежать між площи­ною і паралельною їй прямою, рівні.

№3.Доведіть, що два кути з відповідно паралельними сторонами або рівні, або їх сума дорівнює 180°.

№4. Прямі а і b, які мають спільну точку, пере­тинають три дані паралельні площини α, β, γ в точках A₁, А₂, A₃ і В₁, В₂, В₃ відпо­відно (точка А₂ лежить між точками А₁ і А₃, а точка В₂ — між точками В₁ і В₃) (рис. 9). Укажіть, які з наведених твер­джень правильні, а які — неправильні:

а) прямі А₁В₂ і А₂В₃ мимобіжні;

б) пряма а і точки В₁ і В₃ обов'язково лежать в одній площині;

в) якщо А₁А₂ = 25 см, В₂В₃ = 4 см, А₂А₃ + В₁В₂ = 20см, то В₁В₃ = 14 см;

г) А₁А₃ : А₁А₃ = В₁В₂ : В₁B₂.

Рис 9