- •П.1. Поняття функціональної залежності, числова функція.
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Історія виникнення поняття функції.
- •3. Числова функція. Область визначення функції.
- •4. Способи задання функції
- •П.2. Неперервність функцій. Типи розривів числових функцій
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1. Неперервність функцій.
- •2. Типи розривів числових функцій
- •Тема 2. Степенева, показникова і логарифмічна функції. П.1. Логарифмування та потенціювання виразів
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Логарифмування виразів
- •Розв'язання
- •2.Потенціювання виразів.
- •Розв'язання
- •Тема 3 . Тригонометричні функції. П.1. Формули половинного аргументу, формули потрійного аргументу
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1. Формули половинного аргументу
- •2.Формули потрійного аргументу
- •Тема 4 . Рівняння, нерівності та їхні системи. П.1.Розв’язування задач, що приводять до розв’язування рівнянь та систем рівнянь
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Хімічні задачі
- •Задачі на рух.
- •Задачі, в яких кількість невідомих більша за кількість рівнянь системи.
- •Тема 5 . Вектори і координати. П.1. Вектори в просторі. Дії над векторами. Розклад вектора на складові
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Вектори в просторі. Дії над векторами.
- •Розклад вектора на складові.
- •Тема 6 . Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії.
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.
- •2. Формула площі трикутника за стороною і опущеною до неї висотою.
- •3.Формула Герона
- •4.Формули площ трикутника з використанням радіусів вписаного та описаного навколо трикутника кола
- •Тема 7 . Паралельність та перпендикулярність прямих і площин у просторі.
- •1.Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •2.Теорема про існування і єдиність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій
- •Ознака паралельності прямих
- •Доведення
- •П.2. Теореми про паралельні площини
- •Лекційний матеріал до теми
- •2. Теорема про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами
- •Доведення
- •Розв'язання
- •П.3. Ознака перпендикулярності двох прямих в просторі
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 8. Похідна та її застосування.
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.2. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 9. Інтеграл та його застосування п.1. Правила знаходження первісної. Фізичні застосуванні первісної функції
- •Лекційний матеріал до теми
- •Правила знаходження первісних
- •Розв'язання
- •Розв'язання
- •2.Застосування первісної для відновлення рівняння руху точки
- •Розв'язання
- •П.2. Поняття криволінійної трапеції
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці.
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.4. Рівняння гармонійних коливань
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 10. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників п.1. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі. Двогранний кут
- •Лекційний матеріал до теми
- •1. Вимірювання відстаней у просторі.
- •Задача з точки м опустити перпендикуляр на пряму ав
- •2 . Поняття двогранного кута та його елементів, лінійного кута двогранного кута
- •Задача 3*
- •Задача 4*
- •Тема 11. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання
- •Лекційний матеріал до теми
- •1. Комбінації многогранників
- •Задача1
- •Розв'язання
- •2.Комбінації многогранників і циліндра
- •3.Комбінації многогранників і конуса
- •4.Комбінації многогранників і кулі
- •5. Куля і конус
- •6. Куля і циліндр
- •7. Конус і циліндр
- •Тема 12. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 13. Повторення, узагальнення та систематизація навчального матеріалу, розв’язування задач.
- •Лекційний матеріал до теми
- •4. Геометрична прогресія.
- •Література
3. Числова функція. Область визначення функції.
У курсі алгебри і початків аналізу ми будемо користуватися таким означенням числової функції.
Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при
якій кожному числу x із множини D ставиться у відповідність єдине
число y.
Функції позначають латинськими (інколи грецькими) буквами. Розглянемо
довільну функцію f. Число y, яке відповідає числу x (на рисунку 1 це показано
стрілкою), називають значенням функції f у точці x і позначають f (x).
Область визначення функції f — це множина тих значень, яких може набувати аргумент x. Вона позначається D (f).
Область значень функції f — це множина, яка складається із всіх чисел
f (x), де x належить області визначення. Її позначають E (f).
4. Способи задання функції
Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.
Наприклад, якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функцію можна записати у вигляді формули: у = х2 або f(x)= x2.
Функцію також можна задати за допомогою таблиці.
Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:
Час доби х (год)
|
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
Температура тіла y=f(x) (С°)
|
39 |
38,5 |
38,3 |
37,3 |
37,1 |
37 |
Залежність у·= f(x) є функцією, х — незалежна змінна, у — залежна змінна.
f(9) = 39, f(12) = 38.5,..., f(24) = 37.
D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.
E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.
Наприклад, якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функцію можна записати у вигляді формули: у = х2 або f(x)= x2.
Областю визначення функції у = f(x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати).
Наприклад, формула має сенс при всіх , тому областю визначення функції вважають множину всіх дійсних чисел, що не дорівнюють нулю. Область її значень збігається з областю визначення і є об’єднанням інтервалів (–∞; 0) і (0; ∞).
Отже, для функції
При знаходженні області визначення слід пам'ятати:
Якщо функція є многочленом у = аn хn + αn-1 xn-1 +... + α1x + a0,
то D(y) = (- ; + ) = R.
2) Якщо функція має вигляд у = , де f(x) і g(x) — многочлени, то слід вважати g(x) 0 (знаменник дробу не дорівнює 0).
3) Якщо функція має вигляд у = , то слід вважати f(x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел).
Приклад. Знайдемо область визначення дробово-раціональної функції
Розв’язування.
Корені многочлена — числа 0, 1 і 2. Тому D(f) = (–∞; 0) (0; 1) (1; 2) (2; ∞).
Графіком функції f називають множину всіх точок (x; y) координатної площини, де y = f(x), а x пробігає всю область визначення функції f.
Підмножина координатної площини є графіком будь-якої функції, якщо вона має не більш як одну спільну точку з будь-якої прямої, паралельної осі Oy. Наприклад, множина, зображена на рис. 1, не є графіком функції, оскільки вона містить дві точки з однією і тією самою абсцисою a, але різними ординатами b1 і b2. Якби ми розглядали цю множину як графік функції, то довелося б вважати, що ця функція має при x = a відразу два значення b1 і b2, що суперечить означенню функції.
Часто функцію задають графічно. При цьому для будь-якого x0 з області визначення легко знайти відповідне значення y0 = f(x0) функції (рис. 2).
№1. Знайдіть значення функції:
a) f(x) = у точках 1; -1; 5; б) f(x) = у точках 3; 12; 52.
Відповідь: а) f(1) = 2, f(-1) = 0; f(5) = 1,2;
б) f(3) = 0; f(12) = 3; f(52) = 7
№ 2. Функцію задано формулою у = x2 на області визначення D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за допомогою:
а)таблиці; б)графіка.
Відповідь:
a) |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
y |
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
б) рис. 1
№3. Знайдіть область визначення функції:
а) у = х2 + х3; б) ; в) ; д) ; є) .
Відповідь:
a) D(y) = R; б) D(y) = (- ; 3) (3; + ); в) D(y) = (- ;-2) (-2;0) (0;+ );
г) D(y) = (- ; -3) (-3; 3) (3; + ); д) D(y) = (- ;l) (l;4) (4;+ );
є) D(y) = [-6; + ).
№4. Знайдіть область значень функції: а) у = ; б) у = -1.
Відповідь: а) Е(у) = [2; + ); б) Е(у) = [1; + ).
№5. Для функцій, графіки яких зображено на рис.2 , вкажіть D(y) і Е(у).
Рис. 2
Відповідь:
а) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1]; б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];
в) D(y) = (-1;1); E(у) = R; г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).
6. Які із ліній, зображених на рисунку 3, є графіком функції? Чому?
Відповідь: а); в).