- •П.1. Поняття функціональної залежності, числова функція.
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Історія виникнення поняття функції.
- •3. Числова функція. Область визначення функції.
- •4. Способи задання функції
- •П.2. Неперервність функцій. Типи розривів числових функцій
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1. Неперервність функцій.
- •2. Типи розривів числових функцій
- •Тема 2. Степенева, показникова і логарифмічна функції. П.1. Логарифмування та потенціювання виразів
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Логарифмування виразів
- •Розв'язання
- •2.Потенціювання виразів.
- •Розв'язання
- •Тема 3 . Тригонометричні функції. П.1. Формули половинного аргументу, формули потрійного аргументу
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1. Формули половинного аргументу
- •2.Формули потрійного аргументу
- •Тема 4 . Рівняння, нерівності та їхні системи. П.1.Розв’язування задач, що приводять до розв’язування рівнянь та систем рівнянь
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Хімічні задачі
- •Задачі на рух.
- •Задачі, в яких кількість невідомих більша за кількість рівнянь системи.
- •Тема 5 . Вектори і координати. П.1. Вектори в просторі. Дії над векторами. Розклад вектора на складові
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Вектори в просторі. Дії над векторами.
- •Розклад вектора на складові.
- •Тема 6 . Систематизація та узагальнення фактів і методів планіметрії.
- •Лекційний матеріал до теми.
- •1.Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.
- •2. Формула площі трикутника за стороною і опущеною до неї висотою.
- •3.Формула Герона
- •4.Формули площ трикутника з використанням радіусів вписаного та описаного навколо трикутника кола
- •Тема 7 . Паралельність та перпендикулярність прямих і площин у просторі.
- •1.Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •Лекційний матеріал до теми.
- •Взаємне розміщення двох прямих у просторі
- •2.Теорема про існування і єдиність прямої, яка проходить через дану точку і паралельна даній прямій
- •Ознака паралельності прямих
- •Доведення
- •П.2. Теореми про паралельні площини
- •Лекційний матеріал до теми
- •2. Теорема про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами
- •Доведення
- •Розв'язання
- •П.3. Ознака перпендикулярності двох прямих в просторі
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 8. Похідна та її застосування.
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.2. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 9. Інтеграл та його застосування п.1. Правила знаходження первісної. Фізичні застосуванні первісної функції
- •Лекційний матеріал до теми
- •Правила знаходження первісних
- •Розв'язання
- •Розв'язання
- •2.Застосування первісної для відновлення рівняння руху точки
- •Розв'язання
- •П.2. Поняття криволінійної трапеції
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці.
- •Лекційний матеріал до теми
- •П.4. Рівняння гармонійних коливань
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 10. Многогранники. Об’єми та площі поверхонь многогранників п.1. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі. Двогранний кут
- •Лекційний матеріал до теми
- •1. Вимірювання відстаней у просторі.
- •Задача з точки м опустити перпендикуляр на пряму ав
- •2 . Поняття двогранного кута та його елементів, лінійного кута двогранного кута
- •Задача 3*
- •Задача 4*
- •Тема 11. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання
- •Лекційний матеріал до теми
- •1. Комбінації многогранників
- •Задача1
- •Розв'язання
- •2.Комбінації многогранників і циліндра
- •3.Комбінації многогранників і конуса
- •4.Комбінації многогранників і кулі
- •5. Куля і конус
- •6. Куля і циліндр
- •7. Конус і циліндр
- •Тема 12. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
- •Лекційний матеріал до теми
- •Тема 13. Повторення, узагальнення та систематизація навчального матеріалу, розв’язування задач.
- •Лекційний матеріал до теми
- •4. Геометрична прогресія.
- •Література
Лекційний матеріал до теми
Теорема 2 (друге правило). Якщо для диференційовної функції у деякій точці х0 її перша похідна дорівнює нулю, а друга похідна існує й відмінна від нуля, тобто , , то:
1) якщо друга похідна , то в точці х0 функція має мінімум;
2) якщо — максимум;
3) якщо — питання залишається відкритим, і для його розв’язання треба застосувати перше правило.
Зауваження. Для критичних точок, в яких похідна функції не існує або дорівнює нескінченності, друге правило не застосовується.
Приклад1. За допомогою другої похідної дослідити на екстремум функцію .
Розв’язування.
Перша похідна цієї функції перетворюється в нуль у точках х = 1 і х = 3 (див. попередній приклад).
Друга похідна :
а) при х = 1 , звідси в точці х = 1 функція має максимум ;
б) при х = 3 , тобто в точці х = 3 функція має мінімум (див. рис. 4.14).
№1. Дослідити функцію на екстремум за другим правилом:
а) б)
№2. Дослідити функцію на екстремум за другим правилом:
а) б)
№3. Дослідити функцію на екстремум за другим правилом:
а) б)
Тема 9. Інтеграл та його застосування п.1. Правила знаходження первісної. Фізичні застосуванні первісної функції
Література:
1 Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)
2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків
3.М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань. Алгебра і початки аналізу.11
Методичні вказівки:
Правила інтегрування можна також одержати за допомогою правил диференціювання.
Правило 1. Якщо F(x) і G(x) — первісні відповідно функцій f(x) і g(x) на деякому проміжку, то функція F(x) ± G(x) є первісною функції f(x) ± g(x).
Правило 2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x), a C — стала, то CF(x) — первісна для функції Cf(x).
Правило 3. Якщо F(x) є первісною для f(x), a k і b — постійні числа, причому k 0, то F(kx +b) є первісною для функції f(kx + b).
Студенти повинні вміти:
Відновлювати рівняння руху точки, якщо задано рівняння швидкості точки
Питання для самоконтролю:
Що таке первісна функції?
Що означає неоднозначність первісної?
Геометричний зміст неоднозначності первісної.
Правила знаходження первісної
Фізичний зміст первісної функції.
Самостійне вивчення з розв’язуванням задач.
План.
Правила знаходження первісної.
Застосування первісної для відновлення рівняння руху точки
Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:
1.Поточний:
усне опитування
розв’язування задач.
2.Підсумковий:
тематична контрольна робота
державна підсумкова атестація
Лекційний матеріал до теми
Правила знаходження первісних
Нагадаємо, що операція знаходження похідної для заданої функції називається диференціюванням. Обернена операція знаходження первісних для даної функції називається інтегруванням.
Правила інтегрування можна також одержати за допомогою правил диференціювання.
Правило 1. Якщо F(x) і G(x) — первісні відповідно функцій f(x) і g(x) на деякому проміжку, то функція F(x) ± G(x) є первісною функції f(x) ± g(x).
Дійсно, оскільки F'(x)=f(x), G'(x)=g(x), то (F(x)± G(x))'=F'(x)± G(x)=f(x)± g(x).
Це правило можна сформулювати в іншій формі: інтеграл суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів:
Приклад 1. Знайдіть первісні для функції f(x) = х + cos x.
Розв'язання
Оскільки для х одна із первісних є , а для cos x однією із первісних є sin х, то однією із первісних функції х + cos х є функція + sin х, отже, F(x) = + sin х+C.
Відповідь: F(x) = + sin х+C.
Приклад 2. Знайти
Розв'язання
= .
Відповідь: .
Правило 2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x), a C — стала, то CF(x) — первісна для функції Cf(x).
Дійсно, оскільки F(x) = f(x) то (CF(x))' = CF'(x) = Cf(x).
Це правило можна сформулювати в іншій формі: постійний множник можна виносити за знак інтеграла .
Приклад 3. Знайдіть первісні для функції f(x) = 5еx + 7sin x - 3х2.
Розв'язання
Оскільки однією із первісних для функції ex є функція ex, то однією із первісних для функції 5еx є 5еx; оскільки однією із первісних для функція sinx є -cos x, то однією із первісних для функції 7sinx є -7cosx; первісною функції 3х2 є 3· = x3. Отже, F(x) =5еx - 7cos x - x3 + C — первісні для функції
f(x) = 5еx + 7sin x - 3х2.
Відповідь: F(x) = 5еx - 7cos x - x3 + C.
Приклад 4. Знайдіть .
Розв'язання
Відповідь: .
Правило 3. Якщо F(x) є первісною для f(x), a k і b — постійні числа, причому k 0, то F(kx +b) є первісною для функції f(kx + b).
Дійсно, за правилом похідної складеної функції маємо:
= F'(kx +b)·k= F'(kx +b)= f(kx + b).
Це правило можна записати в інтегральній формі:
Приклад 5. Знайдіть первісні для функцій: a) f(x) = (7 – 3х)5; б) f(x) = е2х-1.