Тема 12. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики

П.1. Розв’язування комбінаторних задач.

Література:

1.М.І.Шкіль. Алгебра і початки аналізу 11.

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків.Математика

3. О.С.Істер. Дидактичні матеріали з алгебри. 11 клас

Методичні вказівки:

Число розміщень з елементів по позначається символом і обчислюється за формулою

Число перестановок з елементів позначається символом

Перестановки являють собою окремий випадок розміщення з елементів в кожному, тобто

Сполучення з елементів по позначається . Вона знаходиться

Можна записати також у вигляді

або

Студенти повинні вміти:

Розв’язувати задачі на комбінаторику

Питання для самоконтролю:

1. Що таке розміщення?

2. Що таке перестановка?

3. Що таке сполучення?

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План

1. Розміщення.

2. Перестановки.

3. Сполучення.

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

• розв’язування задач.

2.Підсумковий:

• контрольна робота

• державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

Розрізняють три основні види з’єднань: розміщення, перестановки і сполучення.

Задачі, в яких здійснюється підрахунок можливих різних з’єднань, складених з кінцевого числа елементів за деяким правилом, називаються комбінаторними. Розділ математики, який займається їх розв’язання називається комбінаторикою.

1.Розміщення. Розміщеннями з елементів по в кожному називаються такі з’єднання, які відрізняються один від одного або елементами (хоча б одним), або порядком їх розташування.

Число розміщень з елементів по позначається символом і обчислюється за формулою

2.Перестановки. Перестановками з елементів називаються такі з’єднання з усіх елементів, які відрізняються одне від одного порядком розташування елементів.

Число перестановок з елементів позначається символом

Перестановки являють собою окремий випадок розміщення з елементів в кожному, тобто

або

Серед усіх перестановок з елементів рівне добутку послідовних чисел від 1 до включно. Добуток позначають символом (читається «п-факторіал»), причому вважають причому рівність можна переписати у вигляді

Використовуючи формулу (16.3), формулі (16.1) можна надати вигляду

При розв’язанні задач часто використовується рівність

3.Сполучення. Сполученнями з елементів по в кожному називають з’єднання, які відрізняються одне від одного хоча б одним членом.

Сполучення з елементів по позначається . Вона знаходиться

Можна записати також у вигляді

або

Крім того, при розв’язанні задач використовуються наступні формули, що виражають основні властивості сполучень:

(за визначенням вважають і );

Приклад 1. Знайти число розміщень: 1) з 10 елементів по 4; 2) з елементів по

Розв’язування.

Згідно з формулою отримуємо:

1)

2)

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розв’язування.

Використовуючи формулу перепишемо рівняння у вигляді

Враховуючи, що розділимо обидві його частини на тоді маємо

Приклад 3. Скласти всі можливі перестановки з елементів 1)  2) 

Розв’язування.

1) 3) 

Приклад 4. Обчислити значення виразів: 1) 2)

Розв’язування.

1)

2)

Приклад 5. Обчислити: 1) 2)

Розв’язування.

Згідно з формулою (16.7), отримаємо:

1)

2)

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язування.

Розв’яжемо друге рівняння: Так як то не задовольняє умові задачі.

Підставивши в перше рівняння системи, отримаємо Використовуючи формулу (16.9), маємо Тоді і, таким чином, звідки Таким чином, отримуємо відповідь:

№1. Знайти число розміщень: 1) 2)

№2. Обчисліть: 1) 2) 3)

№3.30 учнів обмінялися один з одним фотокартками. Скільки всього було роздано карток?

№4. Розв’яжіть рівняння: 1)  2)  3) 

№5. Розв’яжіть рівняння: 1)  2)  3) 

№6. Розв’яжіть рівняння: 1)  2)  3)  4)  5) 

№7. Складіть усі можливі перестановки з літер:

№8. Обчисліть значення наступних виразів: 1)  2) 

№9. Доведіть тотожності

1) 2) 

№10. Скоротіть дроби: 1)  2)  3) 

№11. Виконайте дії:

1) 2) .

№12. Обчисліть: 1) 2) 3) 4)

№13. Перевірте рівності:

1) 2) 3) 4)

№14. Перевірте рівності: 1) 2)

№15. Число сполучень з елементів по 3 в п’ять разів менше числа сполучень з елементів по 4. Знайти .

№16. Скількома способами з 15 робочих можна складати бригади по 5 чоловік в кожній?

№16. Розв’яжіть системи рівнянь:

1. 2)