§2. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства.

1. Понятие ортонормированного базиса и его существование. В данном параграфе будем рассматривать только евклидова пространства конечной размерности . Ранее нами было введено понятие базиса линейного пространства. В случае произвольного линейного пространства все его базисы являются равноправными и поэтому нет оснований отдавать предпочтение какому-либо из них. В евклидовом пространстве, когда введено понятие скалярного произведения элементов, можно рассматривать наиболее удобные с точки зрения выполнения различных операций базисы, которые называются ортонормированными. Ортонормированный базис в евклидовом пространстве играет ту же роль, что и прямоугольный декартовый базис в аналитической геометрии.

Определение. Будем говорить, что линейно независимых элементов: евклидова пространства образуют ортонормированный базис этого пространства, если все эти элементы, которые ортогональны, и норма каждого из них равна единице: т.е. если:

(4.2.1)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.3. Во всяком - мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.(доказательство в другой тетради)*

Доказательство. Согласно определению размерности линейного пространства , в пространстве найдется линейно независимых элементов . Докажем что можно построить элементов линейно выражающихся через элементы и образующих ортонормированный базис, не удовлетворяющих условию:

(4.2.1)

Проведем доказательство возможности построения элементов методом математической индукции. Если имеется только один элемент, то для построения элемента с нормой имеем:

(4.2.2)

Пусть , . Предположим, что нам удалось построить элементов , линейно выражающихся через элементы , попарно ортогональных и имеющих нормы, равные 1. Докажем, что к этим элементам можно присоединить еще один элемент , линейно выражающийся через , ортогональный к каждому из элементов и имеющий норму, равную 1. Докажем, что элемент имеет вид:

(4.2.3)

Действительно, элемент линейно выражается через элементы так как линейно выражается через , , а каждый из элементов линейно выражается через .

Отсюда следует, что при элемент не является нулевым элементом пространства потому что в противном случае обращалась бы в нуль некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов , в которой в силу (3) коэффициент при не равен нулю.

Далее, так как имеют место соотношения: (1-3) и из того, что , имеем:

(4.2.4)

т.е. ┴ .

Для завершения индукции остается доказать, что число можно выбрать так, что норма . Действительно, так как при элемент не нулевой пространства , то можно положить:

. (4.2.5)

Тогда норма:

(4.2.6)

Так как определяется выражением (4.2.5). Теорема доказана.

Согласно определению размерности евклидова пространства, найдется линейно независимых элементов пространства , образующих его базис. Согласно теореме 4.3 существует линейно независимых элементов , которые линейно выражаются через элементы , являются попарно ортогональными и имеют норму, равную единице. Укажем алгоритм, по которому можно по заданной системе элементов построить ортонормированный базис :

где ,

где ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(4.2.7)

Алгоритм, изображаемый формулой (4.2.7) называют процессом ортогонализации.

Замечание. В - мерном евклидовом пространстве существует множество ортонормированных базисов.

Примером ортонормированного базиса - мерного евклидова пространства со скалярным произведением (4.1.2) § 1 является базис:

(4.2.8)