3. Основные свойства унитарных и нормальных операторов.

Теорема 11.18. Пусть - нормальный оператор. Тогда существует ортонормированный базис , состоящий из собственных элементов операторов и .

Доказательство. Согласно доказанной лемме операторы и имеют собственный вектор , причем . Собственные значения операторов и соответственно равны: и . Пусть - ортогональное дополнение элемента до пространства . - совокупность элементов , удовлетворяющих условию:

. (5.5.23)

Докажем, что если , то и . Действительно, так как , то:

. (5.5.24)

Так как , то . Аналогично:

. (5.5.25)

Поэтому: .

Таким образом, - инвариантное подпространство операторов и . Поэтому, согласно леммы 1, в подпространстве существует общий собственный элемент операторов и такой, что ,и , и .

Далее обозначим через ортогональное дополнение элемента до пространства . Рассуждая так же, как и выше, мы докажем, что в существует общий собственный элемент такой, что и , . Продолжая аналогичные рассуждения, мы построим в пространстве ортонормированный базис, состоящий из собственных элементов операторов и . Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть - нормальный оператор. Существует базис , в котором оператор имеет диагональную матрицу.

Следствие 2. Унитарный оператор имеет полную ортонормированную систему собственных векторов.

Теорема 5.19. Если у действующего в - мерном евклидовом пространстве оператора имеется попарно ортогональных собственных элементов , то оператор нормальный.

§ 6. Канонический вид линейных операторов.

Рассмотрим вопрос о выборе для данного линейного оператора специального базиса, в котором матрица этого оператора имеет простейший вид, называемый жордановой формой матрицы. Введем понятие присоединенного элемента оператора .

Определение 1. Элемент называется присоединенным элементом оператора , отвечающим его собственному значению , если для некоторого целого числа выполняются условия:

. (5.6.1)

При этом число называется порядком присоединения элемента .

Если - присоединенный элемент порядка оператора , то элемент является собственным вектором оператора .

Теорема 5.20. Пусть - линейный оператор, действующий в - мерном евклидовом пространстве . Существует базис

, (5.6.2)

образованный из собственных и присоединенных операторов, в котором действие оператора описывается следующими соотношениями:

. (5.6.3)

Замечание 1. Векторы базиса (5.6.2) являются собственными векторами оператора , отвечающими собственным значениям

Из определения присоединенных векторов и соотношений (5.6.2) следует, что векторы являются присоединенными векторами оператора порядка , отвечающими собственным значениям соответственно.

Замечание 2.. Обратимся к формулам (5.2.3,5.2.4)

. (5.6.4)

Подставляя 2-е уравнение в 1-е, получим:

. (5.6.5)

- собственные векторы, поэтому:

.

Замечание 3. Матрица линейного оператора в базисе имеет следующий, “клеточный” вид:

, (5.6.6)

где клетка представляет следующую матрицу:

(5.6.7)

Замечание 4. Матрица линейного оператора , записанная в виде (5.6.6) с учетом (5.6.7) называется жордановой формой матрицы этого оператора. При этом клетка называется жордановой клеткой матрицы . Поэтому теорема 5.20 называют теоремой о приведении матрицы оператора к жордановой форме.

Замечание 5. Жорданова форма (5.6.6) матрицы определена с точностью до порядка расположения клеток по диагонали матрицы. Этот порядок зависит от порядка нумерации собственных значений .