§ 2. Определители второго и третьего порядка.

1. Определители второго порядка. Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:

. (1.2.1)

Определение 1. Определителем второго порядка, соответствующим матрице (1.2.1), или просто определителем второго порядка, называется число, обозначаемое символом и равное:

. (1.2.2)

2. Решение систем двух линейных уравнений методом Крамера. В качестве примера применения определителей второго порядка рассмотрим систему двух линейных уравнений:

(1.2.3)

Составим следующие определители:

. (1.2.4)

Тогда решение системы уравнений (1.2.3) будет иметь вид:

. (1.2.5)

Соотношения (1.2.5) называются формулами Крамера. Определитель называется главным определителем системы (1.2.3), а определители и - определителями, соответ­ствующими первому и второму неизвестным. Формулы Крамера справедливы, если .

Справедливо утверждение: для того, чтобы неоднородная система двух линейных уравнений (1.2.3) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее главный определитель был не равен нулю: .

В случае если , то система либо не имеет решений, когда хотя бы один из определителей и отличен от нуля, либо имеет бесконечное множество решений, когда оба эти определителя равны нулю: .

3. Определители третьего порядка. Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка:

(1.2.6)

Определение 2. Определителем третьего порядка, соответствующим матрице (1.2.6), или просто определителем второго порядка, называется число, обозначаемое символом и равное:

. (1.2.7)

Элементы матриц (1.2.1,6), стоящие в определителях (1.2.2,7), будем называть элементами определителей: - для определителей второго порядка; - для определителей третьего порядка. Правило вычисления определителя третьего порядка можно проиллюстрировать следующей схемой:

Эта схема называется правилом треугольника. Первые три слагаемых, соединенных ли­ниями в левых скобках берутся со знаком «+», остальные (правые скобки)- со знаком «-».

4. Решение систем трех линейных уравнений методом Крамера. Можно теперь рассмотреть неоднородную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (1.2.8)

Систему (1.2.8) также можно решить по формулам Крамера. С этой системой связаны четыре определителя третьего порядка:

, (1.2.9)

где, по-прежнему - главный определитель системы, - определители, соответствующие неизвестным . Формулы Крамера для системы трех линейных уравнений по аналогии с (1.2.5) имеют вид:

. (1.2.10)

Как и ранее, для того, чтобы система уравнений (1.2.8) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель системы был отличен от нуля .

§ 3. Определители n-го порядка.

1. Понятие определителя n-го порядка. Понятие определителя -го порядка для любого введем индуктивно через определитель -го порядка. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу -го порядка:

. (1.3.1)

Определение 1. Минором элемента определителя -го порядка, соответствующим матрице (1.3.1), называется определитель -го порядка, получающийся из определителя -го порядка путем вычеркивания -ой строки и -го столба, на пересечении которых стоит элемент .

Минор элемента будем обозначать символом: (черта над буквой означает, что -я строка и -й столбец вычеркнуты).

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента определителя -го порядка называется число, равное:

.. (1.3.2)

Определение 3. Определителем -го порядка, соответствующим матрице (1.3.1) или просто определителем -го порядка называется число обозначаемое символом и равное:

. (1.3.3)

При формула (1.3.3) совпадает с формулой (1.2.2). Примем без доказательства следующие утверждения.

Теорема 1.1. Каков бы ни был номер строки , для определителя -го порядка (1.3.3) справедлива формула:

. (1.3.4)

Теорема 1.2. Каков бы ни был номер столбца , для определителя -го порядка (1.3.3) справедлива формула:

. (1.3.5)

Замечание 1. Число (-1) возводится в степень, равную сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Замечание 2. Формулы (1.3.4,5) дают правила вычисления определителей -го порядка путем их разложения по -ой строке и -му столбцу соответственно.

2. Теорема Лапласа. Установим формулу, обобщающую формулы (1.3.4,5). Для этого введем миноры матрицы (1.3.1) двух типов. Пусть - любой номер, меньший , а и - произвольные номера, удовлетворяющие условиям: , . Миноры первого типа являются определителями поряд­ка , соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1.3.1), стоя­щие на пересечении строк с номерами и столбцов с номерами .

Миноры второго типа являются определителями порядка , соответствующи­ми той матрице, которая получается из матрицы (1.3.1) в результате вычеркивания строк с номерами и столбцов с номерами . Миноры второго типа называются дополнительными по отношению к минорам первого типа.

Теорема 1.3 (Лапласа). При любом номере и при любых фиксированных номерах строк таких, что для определителя -го порядка справедлива формула:

, (1.3.6)

называемая разложением определителя по строкам . Суммирование в этой формуле ведется по всем возможным значениям индексов , удовлетворяющих условиям: .

Замечание 3. В полной аналогии с (1.3.6) записывается формула разложения определителя -го порядка по каким-либо его столбцам.

3. Свойства определителей.

1. При транспонировании величина определителя сохраняется. Это свойство указывает на равноправие строк и столбцов определителя.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет свой знак на противоположный.

3. Линейное свойство. Будем говорить, что некоторая строка является линейной комбинацией строк , , …, с коэффициентами , если для всех .

Линейное свойство определителя можно сформулировать так: Если в определителе -го порядка некоторая -я строка является линейной комбинацией двух строк и с коэффициентами и , то , где - определитель, у которого -я строка равна , а все остальные строки те же, что и у определителя ; - определитель, у которого -я строка равна , а все остальные строки те же, что и у определителя . Линейное свойство определителя справедливо и в том случае, когда -я строка является линейной не двух, а нескольких строк. Корме того, линейное свойство определителя справедливо и для его столбцов. Приведем пример записи линейного свойства определителя для его строк:

.

4. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

5. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число равносильно умножению всего определителя на это число. Другими словами: общий множитель элементов некоторой строки (или некоторого столбца) можно вынести за знак определителя.

6. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

7. Если все соответствующие элементы некоторых двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

8. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится.

Замечание 4. Свойство 8 допускает и более общую формулировку: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк с какими угодно коэффициентами, то величина определителя не изменится.

С помощью понятия алгебраического дополнения теоремы 1.1 и 1.2 можно переформулировать так: сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца) равна величине этого определителя.

( для любого ). (1.3.7)

( для любого ). (1.3.8)

Теперь можно сформулировать последнее свойство определителей.

9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (или какого либо столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки (или любого другого столбца) равна нулю.

( для любых ). (1.3.9)

( для любых ). (1.3.10)

4. Определитель суммы и произведения матриц. Определитель суммы двух квад­ратных матриц одного и того же порядка равен сумме всех различных определителей порядка , которые могут получиться, если часть строк (или столбцов) брать совпадающими с соответствующими строками (или столбцами) матрицы , а остальную часть – совпадающими с соответствующими cnhjrfvb (или столбцами) матрицы . Приведем пример для определителя 2-го порядка:

Определитель матрицы , равной произведению двух квадратных матриц и равен произведению определителей матриц и .

. (1.3.11)

5. Понятие обратной матрицы. Пусть - квадратная матрица порядка , а - единичная матрица того же порядка. Матрица называется правой обратной матрицей по отношению к матрице , если . Матрица называется левой обратной матрицей по отношению к матрице , если . Убедимся в том, что если оби матрицы и существуют, то они равны между собой. Действительно:

. (1.3.12)

Теорема 1.4. Для того чтобы для матрицы существовали правая и левая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был отличен от нуля.

Доказательство. 1). Необходимость. Пусть для матрицы существует хотя бы одна из обратных матриц, например . Тогда . Но определитель произведения матриц равен произведению их определителей, поэтому:

, (1.3.13)

откуда следует, что . Необходимость доказана.

2). Достаточность. Пусть определитель . Обозначим, как и ранее символами алгебраические дополнения элементов матрицы и составим матрицу , в -ой строке которой стоят алгебраические дополнения элементов -го столбца матрицы , поделенные на величину определителя :

. (1.3.14)

Убедимся, что матрица является как правой, так и левой обратной матрицей по отношению к матрице . Достаточно доказать, что .

. (1.3.15)

В силу свойства 9 алгебраических дополнений определителя данное произведение матриц равно:

. (1.3.16)

Аналогично доказывается равенство . Теорема доказана.

Замечание 5. Квадратную матрицу, определитель которой не равен нулю , принято называть невырожденной.

Замечание 6. Впредь будем опускать термин «левая» и «правая» обратные матрицы. Будем говорить лишь о матрице , обратной по отношению к матрице .

. (1.3.17)

Свойство матриц быть обратными взаимно: если обратная к , то - обратная к . В дальнейшем матрицу, обратную к матрице , будем обозначать символом :

. (1.3.18)