Глава VI билинейные и квадратичные формы
§ 1. Билинейная форма.
1. Понятие билинейной формы. В данной главе рассмотрим билинейные формы, определенные в вещественном линейном пространстве, т.е. числовые функции двух векторных аргументов, линейные по каждому из этих аргументов. Рассмотрим также подробно квадратичные формы, представляющие собой билинейные формы, определенные для совпадающих значений их аргументов.
Определение 1. Числовая функция
,
аргументами которой являются всевозможные
векторы
и
вещественного линейного пространства
,
называется билинейной формой, если
для любых векторов
из пространства
и любого вещественного числа
выполняется соотношение:
(6.1.1)
Билинейная форма представляет собой
числовую функцию
двух векторных аргументов
,
определенную на всевозможных векторах
и
вещественного
линейного пространства
и линейную по каждому из этих аргументов.
При этом говорят, что билинейная форма
задана на линейном пространстве
.
Имеет место следующее специальное представление квадратичной формы:
, (6.1.2)
где - некоторый линейный оператор.
Определение 2. Билинейная форма
называется симметричной (кососимметричной),
если для любых двух элементов
пространства
выполняются соотношения:
. (6.1.3)
Справедливо утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм.
. (6.1.4)
Теорема 12.1. Для того чтобы
билинейная форма
,
заданная на всевозможных векторах
и
вещественного евклидова пространства
,
была симметричной, необходимо и
достаточно, чтобы линейный оператор
,
фигурирующий в представлении (6.1.2)
был самосопряженным.
Доказательство.1) Необходимость. Пусть - самосопряженный оператор, используя свойства скалярного произведения, получим:
. (6.1.5)
Выполняется соотношение (6.1.3) – квадратичная форма является симметричной.
2) Достаточность. Пусть теперь квадратичная форма симметрична, тогда имеем:
. (6.1.6)
Оператор
самосопряженный. Теорема доказана.
2. Представление билинейной формы в
конечно-мерном линейном пространстве.
Пусть в
- мерном линейном пространстве
задана билинейная форма
.
Выясним вопрос о представлении формы
в случае, когда в
задан определенный базис
.
Теорема 6.2. Билинейная форма при заданном в - мерном евклидовом пространстве базисе может быть однозначно представлена в следующем виде:
, (6.1.7)
где
,
а
-
координаты в базисе
векторов
и
соответственно.
Доказательство. Пусть:
,
. (6.1.8)
разложения векторов
и
по базису
.
Так как форма
линейна по каждому из аргументов, то
имеем:
(6.1.9)
Докажем теперь, что это представление единственно. Для этого предположим, что для справедливо представление (6.1.7):
. (6.1.7)
Пусть
,
тогда получим:
. (6.1.10)
Замечание 1. Любая квадратная
матрица
является в данном базисе
матрицей некоторой билинейной формы.
Доказательство. Пусть в
пространстве
дан базис
.
Тогда для
справедливы разложения:
. (6.1.11)
С помощью этой матрицы определим числовую функцию:
. (6.1.12)
Эта функция удовлетворяет условиям билинейной формы (6.1.1). Утверждение доказано.
Выражение (6.1.7) будем называть общим видом билинейной формы в - мерном линейном пространстве.
Замечание 2. Если
-
симметричная (кососимметричная)
билинейная форма, то матрица
этой билинейной формы является
симметричной (кососимметричной) и
наоборот: симметричная (кососимметричная)
матрица порождает симметричную
(кососимметричную) билинейную форму.
3. Преобразование матрицы билинейной
формы при переходе к новому базису. Ранг
билинейной формы. Рассмотрим в
линейном пространстве
два базиса
и
.
Пусть
,
-
матрицы данной билинейной формы в
указанных базисах. Выясним вопрос о
преобразовании матрицы
билинейной формы при переходе от базиса
к базису
.
Теорема 12.3. Матрицы
и
билинейной формы
в базисах
и
связаны соотношением:
, (6.1.13)
где
-
матрица перехода от базиса
к базису
,
а
-
транспонированная матрица
.
Доказательство. Элементы
нового базиса
выражаются через элементы
старого базиса
с помощью матрицы
по формулам:
. (6.1.14)
Так как
-
матрица квадратичной формы в базисе
относительно элементов
и
,
то согласно (6.1.14), получим:
. (6.1.15)
Элементы
матрицы
(транспонированной к
)
связаны с элементами
матрицы
соотношением
.
Подставляя эти соотношения в правую
часть формулы (6.1.15), получим:
. (6.1.16)
Поэтому сумма:
. (6.1.17)
Тогда:
. (6.1.18)
Поэтому имеем:
. (6.1.13)
Теорема доказана.
Следствие. Ранг матрицы равен рангу матрицы .
Действительно, так как матрицы и не вырожденные, то согласно теореме о произведении матриц ранг матрицы не изменяется при умножении ее на невырожденную матрицу.
Данное следствие позволяет ввести числовой инвариант билинейной формы – ранг билинейной формы.
Определение 1. Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном пространстве , называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства .
Определение 2. Билинейная форма , заданная в конечномерном линейном пространстве , называется невырожденной (вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства .