3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

Теорема 1.7. Для того, чтобы определитель -го порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Доказательство. 1) Необходимость. Если определитель равен нулю, то базисный минор его матрицы имеет порядок . Тогда хотя бы одна из строк является не базисной. По теореме (1.6) она является линейной комбинацией базисных строк. В эту линейную комбинацию можно включить и оставшиеся не базисные строки, поставив перед ними нули. Т.е., если определитель , то по теореме (1.5.) его строки линейно зависимы.

Достаточность. Пусть строки определителя линейно зависимы. Тогда по теореме (1.5.) одна из строк, например , является линейной комбинацией остальных строк. Но если из этой строки вычесть линейную комбинацию остальных строк, величина определителя не изменится. В тоже время мы получим одну строку определителя, состоящую из нулей. По 6 свойству определителей такой определитель равен нулю. Теорема доказана.

Глава II. Линейные пространства.

§ 1. Понятие линейного пространства.

1.Определение линейного пространства. Множество элементов любой природы: называется линейным пространством, если выполнены следующие три требования.

1). Имеется правило, посредством которого любым двум элементам и множества ставится в соответствие третий элемент , называемый их суммой и обозначаемый символом: .

2). Имеется правило, посредством которого любому элементу множества и любому вещественному числу ставится в соответствие элемент этого множества, называемый произведением элемента на число и обозначаемый символом: .

3). Указанные два правила подчиняются следующим восьми аксиомам:

1. - (переместительное свойство суммы).

2. - (сочетательное свойство суммы).

3. Существует нулевой элемент такой, что для любого элемента (особая роль нулевого элемента).

4. Для каждого элемента существует противоположный элемент такой, что .

5. для любого элемента (особая роль числового множителя 1).

6. - сочетательное свойство относительно числового множителя.

7. - распределительное свойство относительно суммы числовых множителей.

8. - распределительное свойство относительно суммы элементов.

При введении понятия линейного пространства мы абстрагируемся не только от природы изучаемых объектов, но и от правил образования суммы элементов и умножение элементов на число. Если же природа элементов известна и указаны первые два правила, то линейное пространство называется конкретным.

Примеры конкретных линейных пространств.

1. Множество всех свободных векторов в 3-мерном пространстве: , на плоскости и на прямой .

2. Множество , элементами которого являются упорядоченные совокупности произвольных вещественных чисел . Элементы этого множества будем обозначать символом и называть их также векторами пространства , а вещественные числа - координатами элемента . Пространство называется - мерным координатным пространством.

Правила сложения элементов и умножение элемента на число формируются следующим образом:

( 2.1.1)

(2.1.2)

Правила (2.1.1,2) удовлетворяют аксиомам (1-8).

Замечание. Если в сформулированном выше правиле …- вещественные числа, то пространство называется вещественным линейным пространством.

Если на множестве задана операция скалярного перемножения элементов, то пространство называется - мерным евклидовым пространством. Частным случаем его является 3- мерное евклидово пространство.