§ 3. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

1. Понятие собственного значения и собственного вектора. Пусть - подпространство линейного пространства , - линейный оператор из .

Определение 1. Подпространство называется инвариантным подпространством оператора , если для каждого элемент также принадлежит .

Инвариантными подпространствами оператора являются ядра и образ оператора .

Определение 2. Число называется собственным значением оператора , если существует ненулевой вектор такой, что справедливо равенство:

(5.3.1)

При этом вектор называется собственным вектором оператора , соответствующим собственному значению .

Теорема 5.8. Для того, чтобы число было собственным значением оператора , необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора .

Следствие. Каждый линейный оператор имеет собственные значения.

2. Основные свойства собственных значений собственных векторов.

Теорема 5.9. Для того, чтобы матрица линейного оператора была диагональной в данном базисе , необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы были собственными векторами оператора .

Теорема 5.10. Пусть собственные значения оператора различны. Тогда соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

Следствие. Если характеристический многочлен оператора имеет различных корней, то в некотором базисе матрица оператора является диагональной.

§ 4. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве.

1. Понятие сопряженного оператора. Будем рассматривать линейные операторы в евклидовом пространстве конечной размерности .

Определение 1. Оператор из называется сопряженным линейному оператору , если для любых и вычисляется равенство:

(5.4.1)

Оператор называют также эрмитово сопряженным оператору . Операция эрмитова сопряжения заключается в последовательном выполнении операций комплексного сопряжения и транспонирования оператора . Оператор также является линейным.

Теорема 5.11. Каждый линейный оператор имеет единственный сопряженный оператор .

Свойства сопряженных операторов.

1) .

2) .

3) , в вещественном пространстве .

4) .

5) .

Замечание. Совершенно аналогично вводится понятие сопряженного оператора для вещественного пространства.

2. Самосопряженные (эрмитовы) операторы.

Определение 2. Оператор из называется самосопряженным (эрмитовым), если справедливо равенство:

(5.4.2) Теорема 5.12. Пусть линейный оператор, действующий в комплексном евклидовом пространстве . Тогда справедливо представление:

, (5.4.3)

где и - самосопряженные операторы, называемые действительной и мнимой частями оператора .

Операторы и называются коммутирующими, если справедливо равенство:

. (5.4.4)

Теорема 5.13. Для того, чтобы произведение самосопряженных операторов было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы и коммутировали.

Терема 5.14. Если оператор самосопряженный, то для любого скалярное произведение - вещественное число.

Теорема 5.15. Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

Теорема 5.16. Если - самосопряженный оператор, то собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям этого оператора, ортогональны.