Глава V Линейные операторы.

§ 1. Понятие линейного оператора и его свойства.

1. Определение линейного оператора. Пусть и - линейные пространства, размерности которых равны соответственно и .

Определение 1. Оператором , действующим из пространства в пространство , называется отображение вида: , сопоставляющее каждому элементу пространства некоторый элемент пространства . При этом используются обозначения: или .

Определение 2. Оператор , действующий из в , называется линейным, если для любых двух элементов и пространства и для любого комплексного числа выполняются соотношения:

1). - свойство аддитивности оператора.

2). .

Замечание 1. Если пространство представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор , действующий из в , называется линейной формой или линейным функционалом.

Замечание 2. Если пространство совпадает с пространством , то линейный оператор, действующий в данном случае из в , называется линейным преобразованием пространства .

2. Действия над линейными операторами. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из в , определены операции суммы операторов и умножения оператора на число.

Пусть и - два линейных оператора, действующих из в :

1). Суммой операторов и называется линейный оператор , определяемый соотношением:

. (5.1.1)

2). Произведением линейного оператора на скаляр называется линейный оператор , определяемый равенством:

. (5.1.2)

Нулевым оператором линейный оператор, преобразующий все элементы пространства в нулевой элемент пространства . Нулевой оператор действует по правилу: .

Для любого линейного оператора существует ему противоположный оператор , определяемый по правилу:

. (5.1.3)

Справедливо следующее утверждение:

Множество всех линейных операторов, действующих из в , с указанными выше операциями суммы операторов, умножения оператора на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образуют линейное пространство. В этом легко убедиться, установив для элементов множества справедливость восьми аксиом линейного пространства (гл.2).

3. Свойство множества линейных операторов. Исследуем подробно линейное преобразование пространства . Т.е. рассмотрим действие линейных операторов внутри самого множества . Обозначим множество всех линейных операторов, действующих из в , символом .

Тождественным или единичным оператором называется оператор , действующий по правилу: .

Произведением операторов и из множества называется оператор , действующий по правилу:

. (5.1.4)

Действие оператора заключается в последовательном действии оператора из множества на элемент , а затем оператора на элемент , являющийся результатом действия оператора на элемент .

Заметим, что в общем случае операторы и некоммутативны, т.е.:

. (5.1.5)

Определение 1. Коммутатором операторов и называется оператор , определяемый по правилу:

. (5.1.6)

Легко видеть, что операторы и являются коммутативными, если их коммутатор равен нулю: .

Определение 2. Антикоммутатором операторов и называется оператор , определяемый по правилу:

. (5.1.7)

Если антикоммутатор двух операторов и рамен нулю , то операторі и называются антикоммутативными.

Замечание 1. В ряде частных случаев либо коммутатор, либо антикоммутатор двух операторов и могут оказаться равными некоторому скаляру (числу или скалярной функции).

Замечание 2. Любые выражения вида , называются пере­становочными соотношениями, где - линейный оператор (в частных случаях – скаляр).

Имеют место следующие свойства операции умножения операторов:

1). - сочетательное свойство относительно числового множителя.

2). - распределительное свойство относительно суммы операторов.

3). - распределительное свойство относительно суммы операторов.

4). - сочетательное свойство.

Замечание 3. Свойство 4) позволяет определить произведение любого конечного числа операторов: . В частности можно ввести оператор:

. (5.1.8)

Кроме того, можно ввести функцию оператора , действующую по следующему правилу:

. (5.1.9)

Определение 3. Оператор называется обратным по отношению к оператору из множества , если выполняется соотношение:

. (5.1.10)

Его обозначают как . Из определения обратного оператора следует, что

(5.1.11)

Если ; то .

Тогда можно утверждать, что, если и оператор имеет обратный оператор , то .

Будем говорить, что линейный оператор действует взаимнооднозначно из в , если любым двум различным элементам соответствуют различные элементы и .

Если линейный оператор действует взаимнооднозначно из в , то отображение представляет собой отображение пространства на пространство (самого на себя). Это означает, что каждый элемент представляет собой образ некоторого элемента :

. (5.1.12)

Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что линейно независимых элементов отображаются посредством оператора в линейно независимых элементов .

Доказательство. Пусть - линейно независимые элементы пространства . Тогда линейная комбинация:

(5.1.13)

обращается в нуль, если:

. (5.1.14)

Пусть теперь

(5.1.15)

нулевой элемент пространства . Так как оператор действует взаимнооднозначно из в , то в силу сказанного выше:

, (5.1.16)

если сам элемент

(5.1.17)

является нулевым элементом пространства . Но элементы линейно независимы. Поэтому справедливо равенство (5.1.14). Но тогда и линейная комбинация (5.1.15) обращается в нуль при условии (5.1.14), что и означает, что элементы:

(5.1.18)

также являются линейно независимыми элементами пространства .

Справедливо утверждение: Для того, чтобы оператор из множества имел обратный , необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из в .

Доказательство. 1). Необходимость. Пусть оператор имеет обратный оператор . Предположим, что не действует взаимно однозначно из в . Это означает, что некоторым различным элементам соответствует один и тот же элемент . Но тогда:

. (5.1.19)

Так как оператор имеет обратный и выполняется условие (5.1.19), то должно быть:

, (5.1.20)

Что противоречит сделанному предположению: . Необходимость доказана.

2). Достаточность. Пусть теперь оператор действует взаимно однозначно из в . Тогда каждому элементу соответствует единственный элемент . Ввиду взаимной однозначности соответствия имеется оператор такой, что:

(5.1.21) или (5.1.21`)

Оператор является линейным и, по определению, является обратным оператору . Утверждение доказано.

Определение 4. Ядром линейного оператора называется множество всех тех элементов пространства , для которых .

Ядро линейного оператора обозначается символом .

Для того, чтобы оператор имел обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнилось условие .

Определение 5. Образом линейного оператора называется множество всех элементов пространства , представимых в виде .

Образ линейного оператора обозначается .

Замечание 4. Если , то и наоборот, если , то .

Поэтому можно утверждать, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы оператор имел обратный, является требование .

Замечание 5. Если - линейный оператор, действующий из в , то и , т.е. ядро и образ оператора являются линейными подпространствами пространства . Поэтому можно ввести размерности и .

Сформулируем без доказательств ряд утверждений.

Теорема 5.1. Пусть - размерность пространства , пусть - линейный оператор из множества . Тогда:

. (5.1.22)

Теорема 5.2. Пусть и - два подпространства пространства таких, что . Тогда существует такой линейный оператор , что , а .

Определение 6. Рангом линейного оператора называется число, равное размерности образа этого оператора.

. (5.1.23)

Следствие из теоремы 5.1. Для того, чтобы оператор из имел обратный оператор , необходимо и достаточно, чтобы:

. (5.1.24)

Теорема 5.3. Справедливы следующие неравенства:

, . (5.1.25)

Теорема 5.4. Пусть и - линейные операторы из множества , а - размерность пространства . Тогда справедливо неравенство:

. (5.1.26)

Следствие из теорем 5.3. и 5.4. Если ( - размерность ), то

. (5.1.27)